2009-2010 学年度第一学期 第二周高二数学02.pdf

高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 8 新课预习：根据教学大纲，以周为单位在网上以文本的形式发布“新课预习”或“阶段 小结”的内容，一中网校特聘教师根据每周教学所涉及的各知识点、重点与难点进行剖 析，并通过典型例题分析进行深入探究。学生利用此份文稿进行有针对性的预习，找出 自己存在的问题，并通过听课及时解决，从而切实提高听课效率。 2009-2010 学年度第一学期 第二周 课程内容 1.3 空间几何体的表面积与体积 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 8 教 材 封 面 教材出版社：人民教育出版社 教材版本：普通高中课程标准实验教科书 A 版 教材册次：必修 2 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 8 1、准备知识要点：初中学习过的几何体的表面积和体积公式 2、本阶段知识要点：从度量的角度认识空间几何体，根据柱、锥、台的结构特征并结合 它们的展开图，知道它们的表面积的计算公式；在初中学习几何体体积的基础上进一步学 习几何体的体积. （一）棱柱的侧面积与体积计算 S 斜棱柱侧=c1l；V 斜棱柱的体积=Sh=S1l； S 直棱柱侧=ch；V 直棱柱=Sh. c1斜棱柱的直截面周长 S1斜棱柱的直截面面积 l斜棱柱的侧棱长 h棱柱的高 c棱柱的底面周长 棱柱的表面积=侧面积+底面积 （二）棱锥的侧面积与体积的计算 名称 棱锥 正棱锥 图形 侧面积 棱锥的侧面积等于各个侧面积之和 如果正棱锥的底面周长是 c，斜高为 h， S 正棱锥= 2 1 ch 体积 如果一个棱锥的底面积为 S，高是 h，那么它的体积是 V 棱锥= 3 1 Sh 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 8 （三）棱台的侧面积与体积计算 名称 棱台 正棱台 图形 侧面积 侧面积等于各个侧面梯形面 积之和 如果正棱台的上、下底面周长是 C、C，斜高 是 h，那么它的侧面积是：V 正棱台侧= 2 1 （C+C）h 体积 如果正棱台的上、下底面面积分别是 S、S，高是 h，那么它的体积是 V 棱台 = 3 1 h（S+S+ SS ） （四）圆柱、圆台、圆锥性质侧面展开图形状及有关侧面积和体积的计算公式 圆柱 圆锥 圆台 直观图 性质 1平行于底的截面都是圆； 2轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. 侧 面 展 开 图 侧 面 积 S 圆柱侧=2RL（R 为底面 圆的半径，L 为母线长） 若 R 表示底面半径，l 表 示母线长，S 圆锥侧=Rl 若 R、r 分别表示上、下两 底面半径，l 表示母线长， S 圆台侧=l（R+r） 体积 V 圆柱体积=R 2 L V 圆锥体积= 3 1 R 2 h，h 表 示圆锥高线 V 圆台体积= 3 1 h（r 2 +R 2 +rR） 其它 1圆锥侧面展开图扇形中心角= l R 360 0 ； 2圆台侧面展开图扇形中心角= l R r 360 0 . （五）球的表面积与体积以及球面距离计算公式 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 8 如果球的半径为 R，则球的表面积 S 球=4R 2 ，球的体积 V 球= 3 4 R 3 . 例 1：如图，设三棱柱 A1B1C1-A2B2C2 被垂直于侧棱的平面 ABC 所截，直截面ABC 的面 积为 S，截得部分的三条侧棱长 AA1=h1，BB1=h2，CC1=h3，这部分的体积为 V. 求证：V= 3 1 S（h 1+h2+h3）. 证明：连接 AB1、B1C、A1C，把三棱柱 ABC-AB1C1分成三个四面体的体积之和，即 1 1 1 1 1 1 C B A C A B A C B AB C V V V V + + = 因为 AA1BB1CC1，且 AA1、BB1、CC1 均垂直于平面 ABC，所以 = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 3 1 , 3 1 1 2 C B A C ABC A BA A C A B A C ABC B B AB C V Sh V V V Sh V V ). h h (h 3 1 3 1 3 1 3 1 , 3 1 3 2 1 3 1 2 3 1 1 1 1 1 + + = + + = = = = S Sh Sh Sh V Sh V V V ABC C BCC A CC B A 所以 详释：（1）棱锥的表面积.棱锥的表面积一般用逐面加的方法（逐面加在解不规则问题时 常用），对正棱锥，可以用公式 S 侧= 2 1 Ch，其中，C 是底面的周长，h是侧面的高 （也叫斜高）.可以这样理解，如下图所示，每个侧面都是全等三角形，所以 S 侧 = 2 1 ABh+ 2 1 BC h+ 2 1 CAh= 2 1 （AB+BC+CA）h.或者 S 侧=n 2 1 ah，其中 n 是底面正多边形的边数，a 是底面正多边形的边长.S 表面积=S 侧+S 底. 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 8 （2）圆锥的表面积.圆锥的侧面展开图是扇形，所以侧面积是扇形的面积，S 侧 = 2 1 Cl=rl，其中 C 是底面周长，l 是母线长，r 是底面半径. （3）棱锥、圆锥的体积.棱锥、圆锥的体积是等底等高的柱体体积的 3 1 ，一个三棱柱 可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示，所以棱锥的体积 V= 3 1 Sh，圆锥也符合 V= 3 1 Sh= 3 1 r 2 h. 例 2：斜三棱柱的一个侧面面积为 Q，它与相对侧棱的距离为 2a，求斜三棱柱的体积. 解：如下图，设棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为l，侧面 A1C 的面积为 Q，过 A 作棱柱的直 截面是ADE，在ADE 中，作 AE 边上的高线 DF，则 DF=2a， AEl=Q AE= l Q . Q , Q 2 1 aQ l l a l S V l a DF AE S ADE ADE = = = = = 棱柱 说明：先由条件求出直截面的面积，再利用公式 V 棱柱=S 直截面l 侧棱长. 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 8 例 3：已知正四棱台上底面边长为 4cm，侧棱和下底面边长都是 8cm，求它的侧面积. 解法一：如上左图所示，在 RtB1FB 中，B1F=h，BF= 2 1 （8 4）=2（cm）， B1B=8cm.所以 B1F= 2 1 ). ( 15 2 B h ), ( 15 2 2 8 1 2 2 = = = = 正棱台侧 所以 所以 S cm F cm （48+4 4）2 ). ( 15 48 15 2 cm = 解法二：如上右图所示，正四棱台的侧棱延长后交于一点 P，设 PB1=x，则 8 4 8 = + x x ，则 x=8，所以 PB1=B1B=8cm 所以 E1 为 PE 的中点. 所以 PE1= ) ( 15 2 2 8 2 2 cm = ，PE=2PE1=4 15(cm)，所以 S 正棱台侧=S 大正棱台侧S 小正棱台 侧= 2 1 84PE- 2 1 44PE 1= 2 1 844 2 1 15 442 ). ( 15 48 15 2 cm = 说明：解法一关键是求出斜高 h，解法二说明有关棱台的问题可转化为棱锥问题解决. 例 4：有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球 过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：作出轴截面，分别求出三个球的半径，设正方体的棱长为 a. 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 8 （1）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个 切点及球心作截面如下图（1）所示.所以有 2r1=a，r1= 2 a ，所以 S 1=4r1 2 =a 2 . （2）球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面.如下 图（2）所示，有 2r2= 2 2 , 2 2 = r a a，所以 S2=4r2 2 =2a 2 . （3）正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面.如上图（3）