87-09考研数学一真题.pdf

1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)当x=_时,函数2xyx= 取得极小值. (2)由曲线lnyx=与两直线e 1yx= + 及0y=所围成的平面图形的面积是_. 1x= (3)与两直线1yt= +及 121 111 xyz+ =都平行且过原点的平面方程为_. 2zt=+ (4)设L为取正向的圆周 22 9,xy+=则曲线积分 2 (22 )(4 ) L xyy dxxx dy+ = _. (5)已知三维向量空间的基底为 123 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),= 则向量(2,0,0)= 在此基 底下的坐标是_. 二、二、二、二、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 求正的常数a与,b使等式 2 200 1 lim1 sin x x t dt bxx a t = + 成立. 三、三、三、三、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 7 7 7 7 分分分分) ) ) ) (1)设f、g为连续可微函数,( ,),(),uf x xy vg xxy=+求,. uv xx (2)设矩阵A A A A和B B B B满足关系式2 ,+AB= ABAB= ABAB= ABAB= AB其中 301 110 , 014 = A A A A求矩阵.B B B B 四、四、四、四、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 求微分方程 2 6(9)1yya y+=的通解,其中常数0.a 五五五五、选择题选择题选择题选择题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 4 4 4 4 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 12121212 分分分分. . . .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, , , ,只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求求求, , , ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) ) ) (1)设 2 ( )( ) lim1, () xa f xf a xa = 则在x a=处 (A)()fx的导数存在,且( ) 0f a(B)()fx取得极大值 (C)()fx取得极小值(D)()fx的导数不存在 (2)设()fx为已知连续函数 0 ,( ) , s t Itf tx dx= 其中0,0,ts则I的值 (A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t (3)设常数0,k则级数 2 1 ( 1)n n kn n = + (A)发散(B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关 (4)设A A A A为n阶方阵，且A A A A的行列式|0,a=A A A A而 * * * * A A A A是A A A A的伴随矩阵，则 * |A A A A等于 (A)a(B) 1 a (C) 1n a (D) n a 六六六六、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 10101010 分）分）分）分） 求幂级数 1 1 1 2 n n n x n = i 的收敛域，并求其和函数. 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 10101010 分）分）分）分） 求曲面积分 2 (81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy =+ 其中是由曲线 113 ( ) 0 zyy f x x = = = 绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的 夹角恒大于. 2 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 10101010 分）分）分）分） 设函数()fx在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,x函数()fx的值都在开区间(0,1) 内,且( )fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得( ).f xx= 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 问,a b为何值时,现线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax += += += += 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 3 3 3 3 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 2 2 2 2 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为 _;而事件A至多发生一次的概率为_. (2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子 中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为_. 已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_. (3) 已 知 连 续 随 机 变 量X的 概 率 密 度 函 数 为 2 21 1 ( )e, xx f x + =则X的 数 学 期 望 为 _,X的方差为_. 十一十一十一十一、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设随机变量,XY相互独立,其概率密度函数分别为 ( ) X fx= 1 0 01x 其它 ,( ) Y fy= e 0 y 0 0 y y , 求2ZXY=+的概率密度函数. 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、一、一、一、( ( ( (本题共本题共本题共本题共 3 3 3 3 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 5 5 5 5 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分) ) ) ) (1)求幂级数 1 (3) 3 n n n x n = 的收敛域. (2)设 2 ( )e, ( )1 x f xfxx=且( )0 x,求( )x及其定义域. (3)设为曲面 222 1xyz+=的外侧,计算曲面积分 333 .Ix dydzy dzdxz dxdy =+ 二、填空题二、填空题二、填空题二、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 4 4 4 4 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 12121212 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)若 2 1 ( )lim (1), tx x f tt x =+ 则( )ft= _. (2)设()fx连续且 3 1 0 ( ), x f t dtx = 则(7 )f=_. (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间( 1,1上定义为( )f x= 2 2 x 10 01 x x 为常数,r为A质点与M之间的距离), 质点M沿直线 2 2yxx=自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所 作的功. 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 已知,=APBPAPBPAPBPAPBP其中 100100 000,210 , 001211 = BPBPBPBP求 5 ,.A AA AA AA A 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 已知矩阵 200 001 01x = A A A A与 200 00 001 y = B B B B相似. (1)求x与.y (2)求一个满足 1 =P AP BP AP BP AP BP AP B的可逆阵.P P P P 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 9 9 9 9 分）分）分）分） 设函数()fx在区间 , a b上连续,且在( , )a b内有( ) 0,f x证明:在( , )a b内存在唯一的,使曲线 ( )yf x=与两直线( ),yfxa=所围平面图形面积 1 S是曲线( )yf x=与两直线( ),yfxb=所 围平面图形面积 2 S的 3 倍. 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 3 3 3 3 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 2 2 2 2 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于 19 , 27 则事件 A在一次试验中出现的概率是_. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于 6 5 ”的概率为_. (3)设随机变量X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 2 2 1 ( )e, (2.5)0.9938, 2 u x xdu = 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为_. 十一十一十一十一、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设随机变量X的概率密度函数为 2 1 ( ), (1) X fx x = 求随机变量 3 1YX=的概率密度函数 ( ). Y fy 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)已知(3) 2,f=则 0 (3)(3) lim 2 h fhf h = _. (2)设()fx是连续函数,且 1 0 ( )2( ),f xxf t dt=+ 则()fx=_. (3)设平面曲线L为下半圆周 2 1,yx=则曲线积分 22 () L xy ds+ =_. (4)向量场d ivu u u u在点(1,1,0)P处的散度d ivu u u u=_. (5)设矩阵 300100 140 ,010 , 003001 = AIAIAIAI则矩阵 1 (2 )AIAIAIAI=_. 二二二二、选择题选择题选择题选择题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, , , ,只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求求求, , , ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) ) ) (1)当0 x时,曲线 1 sinyx x = (A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面 22 4zxy=上点P处的切平面平行于平面2210,xyz+ =则点的坐标是 (A)(1, 1,2)(B)( 1,1,2) (C)(1,1,2)(D)( 1, 1,2) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) 11223 c yc yy+(B) 1122123 ()c yc yccy+ (C) 1122123 (1)c yc yccy+(D) 1122123 (1)c yc yccy+ (4)设函数 2 ( ),01,f xxx=而 1 ( )sin, n n S xbn xx = = ,则( )ffx=_. (4)积分 222 0 e y x dxdy 的值等于_. (5)已知向量组 1234 (1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),= 则该向量组的秩是_. 二二二二、选择题选择题选择题选择题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, , , ,只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求求求, , , ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) ) ) (1)设()fx是连续函数,且 e ( )( ), x x F xf t dt =则( )F x 等于 (A)e(e )( ) xx ff x (B)e(e )( ) xx ff x + (C)e(e )( ) xx ff x (D)e(e )( ) xx ff x + (2)已知函数()fx具有任意阶导数,且 2 ( ) ( ) ,f xf x=则当n为大于 2 的正整数时, ( )fx的n阶 导数 ( )( )n fx是 (A) 1 ! ( )nnf x + (B) 1 ( )nn f x + (C) 2 ( ) n f x(D) 2 ! ( ) n n f x (3)设a为常数,则级数 2 1 sin()1 n na nn = (A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散(D)收敛性与a的取值有关 (4)已知()fx在0 x=的某个邻域内连续,且 0 ( ) (0)0,lim2, 1cos x f x f x = 则在点0 x=处 ()fx (A)不可导(B)可导,且(0)0f (C)取得极大值(D)取得极小值 (5)已知 1 、 2 是非齐次线性方程组 =AXAXAXAXb b b b的两个不同的解 1 , 、 2 是对应其次线性方程组 =AX0AX0AX0AX0 的基础解析 1 ,k、 2 k为任意常数,则方程组 =AXAXAXAXb b b b的通解(一般解)必是 (A) 12 11212 () 2 kk + (B) 12 11212 () 2 kk + + (C) 12 11212 () 2 kk + (D) 12 11212 () 2 kk + + 三、三、三、三、( ( ( (本题共本题共本题共本题共 3 3 3 3 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 5 5 5 5 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分) ) ) ) (1)求 1 2 0 ln(1) . (2) x dx x + (2)设(2,sin ),zfxy yx=其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数,求 2 . z x y (3)求微分方程 2 44e x yyy += 的通解(一般解). 四、四、四、四、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 6 6 6 6 分分分分) ) ) ) 求幂级数 0 (21) n n nx = + 的收敛域,并求其和函数. 五、五、五、五、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 求曲面积分 2 S Iyzdzdxdxdy=+ 其中S是球面 222 4xyz+=外侧在0z的部分. 六六六六、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 7 7 7 7 分）分）分）分） 设不恒为常数的函数()fx在闭区间 , a b上连续,在开区间( , )a b内可导,且( )( ).f af b=证明 在( , )a b内至少存在一点,使得( ) 0.f 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设四阶矩阵 11002134 01100213 , 00110021 00010002 = BCBCBCBC 且矩阵A A A A满足关系式 1 () =A E C B CEA E C B CEA E C B CEA E C B CE 其中E E E E为四阶单位矩阵 1 , C C C C表示C C C C的逆矩阵 , C C C C表示C C C C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A A A A 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 求一个正交变换化二次型 222 1231 21 323 44448fxxxx xx xx x=+成标准型. 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变 力F 作用(见图).F 的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y轴正向的夹角小于. 2 求变力F 对质点P所作的功. 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 3 3 3 3 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 2 2 2 2 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)已知随机变量X的概率密度函数 1 ( )e, 2 x f xx = + 则X的概率分布函数( )F x=_. (2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,那么积事 件AB的概率()P AB=_. (3) 已 知 离 散 型 随 机 变 量X服 从 参 数 为2的 泊 松()Poisson分 布 , 即 2 2 e ,0,1,2, ! k P Xkk k =则随机变量32ZX=的数学期望()E Z=_. 十一十一十一十一、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设二维随机变量(, )X Y在区域:01,Dxyx中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积 分 3 (1)(2) L y dxxy dy+ 的值最小. 五、五、五、五、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 将函数( )2( 11)f xxx=+ 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 2 1 1 n n = 的和. 六六六六、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 7 7 7 7 分）分）分）分） 设函数()fx在0,1上连续,(0,1)内可导,且 1 2 3 3( )(0),f x dxf= 证明在(0,1)内存在一点,c使 ( ) 0.f c= 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 已知 1234 (1,0,2,3),(1,1,3,5),(1, 1,2,1),(1,2,4,8)aa=+=+ 及(1,1,3,5).b=+ (1)a、b为何值时, 不能表示成 1234 , 的线性组合? (2)a、b为何值时, 有 1234 , 的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设A A A A是n阶正定阵,E E E E是n阶单位阵,证明+A EA EA EA E的行列式大于 1. 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( ,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行. 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 2 2 2 2 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1) 若 随 机 变 量X服 从 均 值 为 2 、 方 差 为 2 的 正 态 分 布 , 且240.3,PX=则 0P X=_. (2)随机地向半圆 2 02(yaxx a 其它 求随机变量2ZXY=+的分布函数. 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)设函数( )yy x=由方程ecos()0 x y xy + +=确定,则 dy dx =_. (2)函数 222 ln()uxyz=+在点(1,2, 2)M处的梯度grad M u=_. (3)设( )f x= 2 1 1x + 0 0 x x ,求 3 1 (2).f xdx 四、四、四、四、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 6 6 6 6 分分分分) ) ) ) 求微分方程 3 23e x yyy += 的通解. 五、五、五、五、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 计 算 曲 面 积 分 323232 ()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy + 其 中为 上 半 球 面 222 zaxy=的上侧. 六六六六、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 7 7 7 7 分）分）分）分） 设( )0,(0)0,fxf有 1212 ()()().f xxf xf x+ 的单调减少区间为_. (2)由曲线 22 3212 0 xy z += = 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3,2)处的指向外侧的单位 法向量为_. (3)设函数 2 ( )()f xxxx=+ 证明. ba ab 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 已 知 二 次 型 222 1231232 3 ( ,)2332(0)f x x xxxxax x a=+通 过 正 交 变 换 化 成 标 准 形 222 123 25,fyyy=+求参数a及所用的正交变换矩阵. 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设A A A A是n m矩阵,B B B B是mn矩阵,其中,nmI I I I是n阶单位矩阵,若,=ABIABIABIABI证明B B B B的列向量 组线性无关. 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点( 1,0)与A同时出发, 其速度大小为2 ,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件. 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 2 2 2 2 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出 的是次品的概率为_. (2)设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布,则随机变量 2 YX=在(0, 4)内的概率分布密度 ( ) Y fy=_. 十一十一十一十一、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设随机变量X的概率分布密度为 1 ( )e,. 2 x f xx = + (1)求X的数学期望EX和方差.DX (2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么? 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1) 0 11 lim cot() sin x xx = _. (2)曲面e23 x zxy+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_. (3)设esin, x x u y =则 2u x y 在点 1 (2,) 处的值为_. (4)设区域D为 222, xyR+则 22 22 () D xy dxdy ab + =_. (5)已知 1 1 1,2,3,1, 2 3 = 设,=A A A A 其中 是 的转置,则 n A A A A=_. 二二二二、选择题选择题选择题选择题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, , , ,只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要只有一个符合题目要 求求求求, , , ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) ) ) (1)设 434234 222 2 222 sin cos,(sincos),(sincos), 1 x Mxdx Nxx dx Pxxx dx x =+= + 则有 (A)NPM(B)MPN (C)NMP(D)PMN两平面所围 成立体表面的外侧. 五、五、五、五、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 9 9 9 9 分分分分) ) ) ) 设()fx具有二阶连续函数, (0)0,(0)1,ff=且 2 ()( ) ( )0 xy xyf x y dxf xx y dy+=为一全微分方程,求 ()fx及此全微分方程的通解. 六、六、六、六、( ( ( (本题满分本题满分本题满分本题满分 8 8 8 8 分分分分) ) ) ) 设()fx在点0 x=的某一邻域内具有二阶连续导数,且 0 ( ) lim0, x f x x = 证明级数 1 1 ( ) n f n = 绝对收 敛. 七七七七、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求 由S及两平面0,1zz=所围成的立体体积. 八八八八、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 8 8 8 8 分）分）分）分） 设四元线性齐次方程组()为 12 24 0 0 xx xx += = , 又已知某线性齐次方程组()的通解为 12 (0,1,1,0)( 1,2,2,1).kk+ (1)求线性方程组()的基础解析. (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九九九九、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设A A A A为n阶非零方阵 * ,A A A A是A A A A的伴随矩阵,A A A A是A A A A的转置矩阵,当 * =AAAAAAAA时,证明0.A A A A 十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 2 2 2 2 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 6 6 6 6 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB=且( ),P Ap=则()P B=_. (2)设相互独立的两个随机变量,XY具有同一分布率,且X的分布率为 X01 P 1 2 1 2 则随机变量max, ZX Y=的分布率为_. 十一十一十一十一、 （本题满分（本题满分（本题满分（本题满分 6 6 6 6 分）分）分）分） 设随机变量X和Y分别服从正态分布 2 (1,3 )N和 2 (0,4 ),N且X与Y的相关系数 1 , 2 xy = 设 , 32 XY Z=+ (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数. xz (3)问X与Y是否相互独立?为什么? 1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学数学数学( ( ( (一一一一) ) ) )试卷试卷试卷试卷 一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题( ( ( (本题共本题共本题共本题共 5 5 5 5 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 3 3 3 3 分分分分, , , ,满分满分满分满分 15151515 分分分分. . . .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) ) ) (1) 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x +=_. (2) 2 0 2 cos x d xt dt dx = _. (3)设()2,=ab cab cab cab ci则()() ()+abbccaabbccaabbccaabbccai=_. (4)幂级数 21 12 ( 3)