CES生产函数及其运用.pdf

数量经济技术经济研究2 00 2年第9期 CES 生产函数及其运用 严 ,忠 江海峰 内容提要本文给出了经济理论中C E S生产函数的使用条件 , 并分析了CE S生产函数 的基本性质及其在经济分析 中的应用 。 关键词 CES生产函数 替代弹性 前言 CES生 产 函数为常替代弹性生 产函数 Y=A(舀 、K一“+ 占 Z L 一 户)一 / “ (l) 的简称 , 这是因为式门 )所表示的生产函数的替代弹性 6 一1/ ( l + l , )为常数 。 在经济理论中 , 生 产 函数Y= F ( K , L ) 应满足 : 对任意的 K 、 L 有 , Y( 0 , L ) 二Y(凡0 ) = 0 。 有些 生 产 函数例如 c一D 函 数Y 二AK 尸 , 则 由 其函数表达式自然满足 Y( 0 , L) 一 Y (K , 0 ) 0 , 即为默认 。 在研究 CES生 产函数时 , 必 须 同时准确地给出其使用条件 : 汀 卜 “ ( j , K 宁 + 。 2 乙宁 ) 石 其中K O且L0 o 二 、 CE S 生产函数的性质 由以上讨论 , 我们首先给出C ES生产函数(l ) 的定义域为R 十 x R 对于固定的L 0 , 由(l )式可得人均产出函数 一 壬 一, ( 。l 肖 一 。2 ) 一 / 一 ,。、 1/ ( 知 一 l + 1 ) 一/尸 记为 y= 厂(k ) (2) 这 里k二K/ L 表示人均资本(或称劳动装备) 95 对(2 ) 求导 , 得 / ( l )一。、 ,/ / (知一) 卜 l )一 l么 k 一尸一l (3) 显然 , 当k 性质1 再对 0即K0且LO时 , 有 人均cEs生产 函 数 (2 )在其定义域R 十 x R + 内 , 恒有 八l O (3 ) 式求 导 , 得 么 一 么 / j , _ 、 、 / ; (k, 一 “。, ” 尹 (, +”)戈 可 “ + 少 一I )一2 (4) 由此又有 性质2 人均cE s生产 函 数(2 ) 在其定义域R + x R + 内 , 恒有 、八k ) O 由性质1 、 性质2知 , 人均CE S生产 函数(2 )为凹函数 。 性质 1的经济意义为: 边际产出大于零 , 即资本 k 每增加一个单位 , 则 产出y增加 /氏 一/I ) 一, j . 析 /I ) 戈讨 人 一尸十 少讨 人 一 ”一 个单位 性质 2说明人均C ES生 产 函数从经济上来说是规模递减的 , 即随资本 k 的增加 , 边际 产出递增的速度下降 。 三 、 CES 生产函数的运用 假设考虑三种生产要素的C ES函数 , 即固定资本品 K I 、 中间消耗品 K : 和劳动力 L , 并假设劳动力 L 在考察期内不变 , 即具有以下的生产 函数形式: ! Y , 二Aj IK 丫 + j Z Kg+j 3 L “ j万 , Oj , 0 , 户 1 (5) 在封闭的经济中第 t十1 年固定资本品投人来源于第 t 年 的剩余和第 t 年产出的再投人 部分 , 比例为 。, , 第 t十 1 年中间消耗来源于第 t 年产出的投 人 , 比例为 62 , 第 t 年消费均 来自当年的产出扣除下一年的再投人 部分 。 假设折旧率为 # , 整个社会的消费记为c( l) , 人均消费记为, J (l ) , 如上 两边同除 L , 人 均化后即有: 1 夕,=A j Ik 丁 + 石 Z k笠+巧31万 , o占 , 0 ,户 l (6) 且有如下关系 : k (z+ l)=k l(t)一 lk . (t)+ 。 l少(t) k Z (r+ l)= aZ夕(t) (7) (t)=(l一 al一aZ 万 , ( t) 一96一 取考察期 内的人均消费的效用达 到最大化 , 我们建立的模型如下: 、, x 了 二 v( 】( ,)、 】 少(l)= A占1kf+占 Z k盆+舀 3 1万 k l(t+ l)二k . (t)一 声 k l(t)+JI夕(t) k Z ( t+ l)“ JZ夕(t) 1 (t)= (l一 “l一“2 ) y(t) , 0j , l , i= (8) l , 2;00 , 助 0 , 则又 l , 兄 2 o , 即下 列条件成立 : 。一。,。 一“(月。, ) “一 l。2(月。 2 ) “ 6 。,l 一“( 河J , )。+ 占2(月。 2 ) 一 (, + l)0 上述两式相加可得到“ 2 “一) “ 六 。 此时系统均衡点是不稳定结点 。 而当p 即寸 , 则只 , , 只 : 2占,一 一尸(月a , ) 户+ (l+ l)石2(月口 2 ) 尸 此时系统均衡点是稳定结点 。 (2 ) 若p o时 , 系统均衡点是不稳定结点 。 而当Re (幻 0 时 , 系 统均衡点是稳定结点 。 (3 ) 若 q 0 , 则一个根为正 , 另一个根为负 , 即下列条件成立 : l西.2 一”( A al)“+ 占2(A aZ)“ 此时均衡点 为鞍点 。 有一枝分界线趋于均衡点 E , 这就是经济学中所说的 : 只有惟一的最佳 路径稳定地趋于均衡点 E 。 而另一枝分界线则离开均衡点 E 。 其余的轨线均从 “ 最佳路径 ” 饶过均衡点 而靠近另一枝分界线 。 亦即其相图犹如马鞍状 。 (4)若 、一。 , 即下 列条件成立 : ;一j ,l一 ”(月a, ) 尸一 , 石2(月a Z)“, 则 此时系统均衡点 为高阶的 ,