2017地球物理学基础作业05及参考答案.pdf

2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 1 页 共 7 页 1. When a bell is struck with a hammer, it vibrates freely at a number of natural frequencies. The combination of natural oscillations that are excited gives each bell its particular sonority. In an analogous way, the sudden release of energy in a very large earthquake can set the entire Earth into vibration, with natural frequencies of oscillation that are determined by the elastic properties and structure of the Earths interior. The free oscillations involve three-dimensional deformation of the Earths spherical shape and can be quite complex. Before discussing the Earths free oscillations it is worth reviewing some concepts of vibrating systems that can be learned from the one-dimensional excitation of a vibrating string that is fixed at both ends. Any complicated vibration of the string can be represented by the superposition of a number of simpler vibrations, called the normal modes of vibration. These arise when travelling waves reflected from the boundaries at the ends of the string interfere with each other to give a standing wave. Each normal mode corresponds to a standing wave with frequency and wavelength determined by the condition that the length of the string must always equal an integral number of half-wavelengths (Fig. 3.16).As well as the fixed ends, there are other points on the string that have zero displacement; these are called the nodes of the vibration. The first normal (or fundamental)mode of vibration has no nodes. The second normal mode (sometimes called the first overtone) has one node; its wavelength and period are half those of the fundamental mode. The third normal mode (second overtone) has three times the frequency of the first mode, and so on.Modes with one or more node are called higher-order modes. 当用一把锤子敲击一个钟时，钟会以一系列的固有频率自由的颤动。被激发 的固有震动的联合给每个一钟独特的音响。与此相似，在一个大地震中能量的突 然释放可以使整个地球颤动， 这种颤动的固有频率决定于弹性性质和地球内部的 结构。自由振荡涉及地球球面形状的三维变形，可能相当复杂。在讨论地球的自 由振荡之前，有必要回顾一下振动系统的一些概念，这些概念可以从两端固定的 一维振动的激发中学习。 弦的任何复杂的弦振动都可以用一些简单振动的叠加来表示，称为简正振 动。当从两端的边界反射出的行波相互干涉以产生驻波时，就会产生这种现象。 每一个简正模态对应于一个驻波， 它的频率和波长取决于长度必须等于半波长的 整数的弦（图 3.16)。在弦上还存在一些除固定端外的具有零位移的其他点，这 些被称为振动的节点。第一个简正（或基本）模态振动没有节点。第二个简正模 态（有时称为第一谐波）有一个节点，它的波长和周期是基态的一半。第三个简 正模态（第二谐波）的频率是第一模态的三倍，一个或多个节点的模态称为高阶 模态。 2.Explanation of nouns (20points) surface wave（面波）面波）：沿界面及界面一定深度范围内传播的一类地震波，振幅 随深度增加而衰减，能量集中在介质分界面并沿分界面传播，包括瑞利波，勒夫 波和斯通利波。 dispersion（频散）频散）：面波速度随着周期（或频率）而变化而变化，成为面波频 散。 在记录中面波是很多列波的叠加， 随着到时的先后， 各相位的周期逐渐改变。 2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 2 页 共 7 页 除均匀半空间的瑞利面波无频散外，所有的地震面波都具有频散特性。 group velocity（群速度群速度）：由于频散，各种频率的波以各自速度传播，相互叠加， 形成合震动，其振幅不断变化，用其极大值速度表征其传播速度，该速度为群速 度，即波群整体移动速度。波传播时能量与振幅平方成正比，绝大部分能量集中 于振幅极大处，因此，群速度也是能量和信号的传播速度。 phase velocity（相速度）相速度）：单色简谐波传播时，其同相面传播的速度。 3.Assuming a homogeneous elastic plate covered on the homogeneous elastic semi-infinite space, the top interface is z=0 and the bottom interface is z=h. Solve the dispersionequationoflovewavepropagationanddiscussitsdispersion characteristics.(25points) 取x、y坐标轴在自由表面上(0z)，z轴垂直向下，令层中横波速度为 1 ，密度为 1 ， 半空间中横波的速度为 2 ，密度为 2 ，且有 21 ，Love 波振幅在层中为 1 v，在半空间 为 2 v，x轴为波的传播方向，振幅垂直与x轴且平行于分界面，即振动沿y轴方向， 1 v， 2 v 满足方程： ) 1 ( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 t v z v x v t v z v x v 解得， )2( , 0 , )( 2 )( 1 2 11 hzeCev hzeBeAev wtkxizb wtkxizbzb 期中， )4( )3( , , 2 22 2 1 22 1 22 11 c k kkkb kkkb 因要满足z的收敛条件，在 2 v中去掉了 zb e 2 项，k为波数，c为面波速度。 式(2)因满足自由表面边界条件和层与半空间界面连续条件 当0z时，)5(0 1 1 z v xy 当hz 时，)6( , 2 2 1 1 21 z v z v vv 式(2)代入式(5)、(6)化解，得 )7( 0 211 211 2211 hbhbhb hbhbhb CebBeAeb CeBeAe BA 消去 B 得， 2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 3 页 共 7 页 )8( 0 0 211 211 2211 hbhbhb hbhbhb ebCeebA CeeeA 式(8)A、C 要不全为零，其系数行列式为零，即 )9(0 - 211 211 2211 hbhbhb hbhbhb ebeeb eee 解得， )01 (th 11 22 1 11 11 b b ee ee hb hbhb hbhb 要使式（10）成立，则有 )11( 11 kkk 由（11）、（3）得， )12( 1 22 1 1 b ikkib 由此，式（10）化为 )13(tan 11 22 1 b b hb 或者 )41 ( 1 1 1tan 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 c c c kh 上式（14）就是 Love 波得频散方程，它确定、k、c三者中任何二个之间得隐含关系，c 与的隐含关系即c是的函数，也就是波速c与频率有关，对不同的频率的波速不同。 解频散方程（14）得， )15(210nn 1 1 tan 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 - 2 1 2 ， c c c kh 式（15）给出了 1 c 、kh的对应关系，由（11）知，方程（14）要有实根，应有 )61 (1 1 2 1 c 对任一满足条件（16）的 1 c 的值，（15）知均有无穷多个kh与之对应，每一个kh对应一 个 Love 波，当 n=0 时，称为基阶振型 Love 波，当 n=n 时为 n 阶振型 Love 波。 4. 在均匀弹性半空间中在均匀弹性半空间中,推导出推导出 Rayleigh 波波,并讨论并讨论 Rayleigh 波的基本性质波的基本性质 （速度特征、频散特征、质点位移特征等）（速度特征、频散特征、质点位移特征等）. (25 points) 将 x，y 坐标轴取在自由表面上，z 轴垂直向下，均匀弹性介质充满 z0 的半空间。 设波沿着 x 轴方向传播，在 y 轴方向波的相位完全相同，即为平面二维情况。 令位移函数为 2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 4 页 共 7 页 )2()( ) 1 ()( )( )( wtkxi wtkxi ez ez ，应满足波动方程 )4( 1 )3( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 t t 而 x，z 方向的位移分量为 )5( xz w zx u 将（1）、（2）分别代入（3）、（4）后得， )6( 0)( 0)( 22 2 2 22 2 2 kk dz d kk dz d 其中， )7(, kk 方程（6）得解为 )8( bzbz azaz DeBe CeAe 其中， )9(, 2222 kkbkka 上面系数为 C、D 得项因不满足z的收敛条件而被弃去，于是有 )10( )( )( wtkxibz wtkxiaz eBe eAe 自由边界条件为 ）（110, 0 00 z zx z zz 即 )12( 02 02 0 2 2 2 22 0 2 22 222 z z zxzx xzx 将式（10）代入（12）得， )13( 022 022 2222 2222 BkkAkkik BkkikAkk 式(13)A、C 要不全为零，其系数行列式为零，即 2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 5 页 共 7 页 )41 (042 22222 2 22 kkkkkkk 式（14）称为瑞利方程，或写为 )51 (01412 2 xmxxx 其中， )16(, 2 2 2 2 2 2 k k m k k x 解（15），得 )71 (0183)-8(2m116 23 xxxm 令1x,则（17）式左方=10， 令x，则（17）式左方x（注意1 2 2 m）， 因此方程（17）在 1 与之间至少有 x 的一个实根，也就是 , 1 2 2 x k k 或 , 2 2 2 2 22 c kk 则有， )18(,c 由此可见，对应的面波速度既小于纵波速度，也小于横波速度。 当（泊松固体）时，有 )91 (33 2222 kk 或 将（19）代入（16）得对泊松固体 3 1 m，将此代入（17）式，得 03426532 23 xxx 或 0312814 2 xxx 解得三个根为 )20( 4 33 , 4 3-3 , 4 1 x 由于要求和都随着z得增加而衰减，从（8）见应有 a、b 都是正实数。由（9） 可见，应有 kkkk,，由（16）可见，应有1x，而（20）中只有 4 33 x 满足此要求。 由此， 222 183. 1 4 33 kkk 或 )22(9194. 0 )21(087. 1 c kk 2017 年地球物理学基础第 5 次作业 第 6 页 共 7 页 由此得到在均匀弹性半空间可以存在这样的波，它沿着自由表面（x 轴）传播，它 的振幅随着离开自由表面的距离的增加而衰减（其位移函数、按 az e及 bz e的规 律衰减）。它的传播速度略小于横波速度，并与无关，即无频散现象，这就是瑞 利面波。 下面讨论瑞利波的质点的位移，由（5），将（10）代入（5）并利用（13）式消去 B 可得， )23( 2 2 2 2 )( 22 2 )( 22 tkxibzaz tkxibzaz ee kk ak aeAw ee kk ab eikAu 取实部 )42( )(cos