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数字信号处理习题数字信号处理习题 第一章第一章 1-4 今对三个正弦信号今对三个正弦信号 123 ( )cos2,( )cos6,( )cos10 aaa xtt xtt xtt= =进行理想采 样 进行理想采 样,采样频率为采样频率为8 s = ,求着三个采样输出序列求着三个采样输出序列,比较其结果比较其结果.画出画出 123 ( ),( ),( ) aaa xtxtxt的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象 的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象. 解答解答:由于由于 1 8 2 2 w = ,混迭混迭; 3 8 10 2 w = ,混迭混迭. 1-13 下列系统中下列系统中,表示输出表示输出,( )y n( )x n表示输入表示输入,试确定是否是线性系统试确定是否是线性系统?是否是时不变系统是否是时不变系统? (1) ( )2 ( )5y nx n=+ (3) ( )( ) n m y nx m = = 解答解答: 1212 12 1212 (1) ( )( )2( )( )5 2 ( )52( )5555 ( )( )555( )( ) T ax nbx nax nbx n ax nbx nab aT x nbT x nabaT x nbT x n +=+ =+ =+ 所以，非线性所以，非线性; 假设输入为假设输入为 0 ()x nn ,则有则有 00 ()2 ()5()T x nnx nny nn=+= 0 2 0 所以，时不变所以，时不变. 1212 121 (2) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) n m nn mm T ax nbx nax mbx m ax mbx may nby n = = +=+ =+=+ 所以，线性所以，线性; 0 00 ()()( )() n nn mm T x nnx mnx my nn = = 时不变时不变. 1-16 确定下列系统的因果性和稳定性确定下列系统的因果性和稳定性: 0 0 (1) ( )( ) ( ), ( ) (2) ( )( ), (4) ( )0.5( ) n k n n y ng n x n g n y nx k nn h nu n = = = = 有界 解答解答: 1 （1） 不能用令不能用令 x(n)=(n)来求来求 h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。 实际上，因实际上，因 g(n)有界，所以，当有界，所以，当 x(n)有界时，有界时，y(n)= x(n) g(n)= | |x(n)| | | |g(n)|, 所以系统稳定，|, 所以系统稳定，y(n) 只与只与 x(n)的当前值有关，显然是因果的。的当前值有关，显然是因果的。 （2） y(n)只与只与 x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。的当前值和过去值有关，是因果的。 当当 n时，即使时，即使 x(n)有界，可能有界，可能 y(n) ， （如 ， （如 x(n)=1） 0 (4)0, ( )0,; 1 | ( )|0.5( )|0.5 |2 1 0.5 . nn nnn nh n h nu n = = = = 时是因果系统 又 是稳定的 1-6 ( )x n和表示一个序列及其傅氏变换和表示一个序列及其傅氏变换,并且为实因果序列并且为实因果序列,利用利用( jw X e)( )x n( jw X e求下列各 序列的傅氏变换 求下列各 序列的傅氏变换: (3) ( )(2 ) ( ), (4) ( )2 g nxn n xn g n = = 为偶数 0,n为奇数 解答解答: 22 ()() 2222 (3) ()( )(2 ),2 111 ( )( 1)( )( )( 1)( ) 222 1111 ( )( )()() 2222 jwjwnjwn nn tt jwjwjw tt ttt twww jwjtjj tt G eg n exn etn x tx t ex t ex t e x t ex t eX eX e = = = = =+ =+ =+=+ 令 2 t 注意：当注意：当 t 为偶数时为偶数时 . =2x(2n)，当，当 t 为奇数时为奇数时 . =0 22 (4) ()( )( )2 2 ( )() jwjwnjwn nn j wmj wm m n G eg n exenm x m eX e = = = = 令 = 1-10 求以下函数的逆变换求以下函数的逆变换: z 11 1 (1) (1)(12)zz 解答解答: 2 11 11 1 (1) (1)(1 2) 12 13 112 (1) zz P zz un =+ n+1 见书本页的例3 =-u(n)-2 注意，因收敛域为注意，因收敛域为 1 |z|2,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为|z|1， 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|1，不符合题意。 |z|2,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为|z|1， 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|1，不符合题意。 1-21 试证的频谱为试证的频谱为 ()xn() jw X e . 解答解答: () ()( )() jwnjw njw nn xn ennx n eX e = = = (令 1-22 讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统 11 1 1 ( ) 1 a z H z az = ,式中式中 a 为实数为实数 (1) 对于什么样的对于什么样的 a 值范围系统是稳定的值范围系统是稳定的? (2) 如果如果 0a1,画出零点画出零点-极点图极点图,并标出收敛区域并标出收敛区域; (3) 在在 z 平面上用图解证明该系统是一个全通系统平面上用图解证明该系统是一个全通系统,即频率响应的幅度为一常数即频率响应的幅度为一常数. 解答解答: (1)0 a, 在半径为a的圆外; （3） 通过通过 z 平面上作图，可以发现，极点平面上作图，可以发现，极点 a 在单位圆内的实轴上，零点在单位圆内的实轴上，零点 1/a 在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 极点矢量长度极点矢量长度=)(2acos1a 2 + 零点矢量长度零点矢量长度=)(2ac