中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用【字体：大 中 小】【打印】 第一节中值定理中值定理是一元微分学的理论基础，在这个基础上，将使微分学在更广的范围内应用，这也是研究生考试的重点之一大纲内容与要求 理解并使用罗尔定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。考点分析 由于中值定理都有一个共同特点，它们都是在这样或那样的条件下，得出在指定的区间内至少存在一点，使得我们研究的函数在这点具有这样或那样的性质，因此我们的重点应放在掌握每个中值本身特点上，学会分析问题的基本方法和掌握这类问题（定理）的基本解题技巧。一、罗尔定理（请列出罗尔定理）如果函数f（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）内至少有一点，使得考点一 通过对罗尔定理的分析，我们可以得到这样的推广即在上有n阶导数，在n+1个点上函数值相等，则至少存在一点使【例1证明题】若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数且其中证明：在 内至少有一点使得【答疑编号911030101：针对该题提问】分析：f（x）在x1,x2, x2,x3上满足罗尔定理条件，因此存在f（1）=0, f（2）=0 在1,2上对于f（x）再用罗尔定理，即有f”（）=0证明：f（x）在（a,b）上有二阶导数，因此f（x）,f（x）都存在且连续，又有f（x1）= f（x2）=f（x3）因此f（x）在x1, x2 , x2, x3上满足罗尔定理条件故,使f（1）=0 f（2）=0于是f（x）在1,2上满足罗尔定理条件故使得f（）=0【例2证明题】（07年数学一（19）题）设函数,在a,b上连续，在（a,b）内具有二阶导数，且存在相等的最大值， 证明：存在使得【答疑编号911030102：针对该题提问】分析：证明f”（）= g”（），即证f”（）- g”（）=0考虑函数（x）=f（x）-g（x）,也就是证明”（）=0根据已知（a）= （b）=0,那么由推广的罗尔定理只要再找到一点（a,b）, 使（）=0即得结论。证明：考虑函数（x）=f（x）-g（x）,由于f（x）,g（x）在（a,b）内有二阶导数,从而（x）,存在且连续.又f（x）,g（x）在a,b连续，从而（x）在a,b连续。从而（x）在a,b连续，且（a）= （b）=0由于f（x）,g（x）有相同的最大值，设此值为M即有使f（x1）=M使f（x2）=M于是 （x1）= f（x1） -g（x1）=M- g（x1）0（x2）= f（x2） -g（x2）=f（x2）-M0若（x1）=0（或（x2）=0）则取=x1（或取=x2）有（）=0 （a,b）若（x1）0, （x2）0 故F（）=0由于f（x）在0, 连续，则F（x）在0, 可导，在0, ，, 上对F（x）用罗尔定理,则,使F（1）=F（2）=0，也就是f（1）=f（2）=0.【例4证明题】（95年考题）设函数f（x）和g（x）在a,b上存在二阶导数，并且g（x）0f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0 试证（1）在开区间（a,b）内g（x）0（2）在开区间（a,b）内 至少存在一点使【答疑编号911030201：针对该题提问】（1）分析：一般象这种出题方式通常采用反证法，假设在（a,b）内g（x）有零点，由已知g（a）=g（b）=0.则g（x）有三个零点,又g（x）存在.因此由推广的罗尔定理,将存在 ,使g（）=0与g（x）0矛盾.证明: 用反证法 假设使g（c）=0由于g（x）在a,b上存在二阶导数,因此在a,b上g（x）与g（x）都连续可导,又g（a）=g（c）=g（b）=0.于是在a,c,c,b上对g（x）用罗尔定理.,使g（1）=0 , g（2）=0又在1 ,2上对g（x）用罗尔定理使g（）=0 与 g”（x）0矛盾,故在（a,b）内g（x）0（2）分析:证明即证f（）g”（）- f”（）g（）=0也就是f（x）g”（x）- f”（x）g（x）在（a,b）内有零点.由已知只知道二阶导存在,并没有说二阶导连续,因此无法用连续函数的零点存在定理,我们考虑找它的原函数,把函数的零点存在问题,转化为它的原函数存在导数为零的点的问题,现在的问题是找f（x）g”（x）- f”（x）g （x）的原函数,如果观察力强,我们可直接找到.f（x）g”（x）- f”（x）g （x）= f（x）g （x）- f（x）g （x）如果观察不出来,我们可通过积分求出原函数.也就是: 证明: f（x）g”（x）- f”（x）g（x）有原函数（x）=f（x）g（x）- f（x）g（x）由已知（x）在a,b可导,且（a）=（b）=0由罗尔定理.,使（）=0即f（）g”（）- f”（）g（）=0由（1）知g（）0,于是有二.拉格朗日定理（请列出拉格朗日定理两个理论）如果函数f（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点（ab）,使等式f（b）-f（a）=f（）（b-a）成立拉格朗日定理在微分学中占有重要地位，我们具体分析拉格朗日定理以弦找切线，有了弦就一定有和它平行的切线。考点三 如果要证明f（）=K或f（）0等可考虑层区间a,b内找斜率具有相应特点的位。 【例5证明题】设f（x）在0,1连续，在（0,1）可导.f（0）=f（1）=0 . 证明至少存在一点（0,1），使f（）=1【答疑编号911030202：针对该题提问】分析：我们应该在0,1内找斜率是1的弦如果弦的一个端取原点，另一点取在曲线上哪一点可保证弦的斜率是1呢？直接找这样的点，实际是办不到的，因为满足连续可导过这三点的曲线有无数多，我们换个思路，作过原点斜率是1的直线y=x如果它与y=f（x）有交点，那么这个交点，就是我们要找的点，要证明y=f（x）与y=x有交点可通过证明f（x）-x有零点。证明：考虑函数=f（x）-x由于f（x）在连续且. 由零点存在定理使即由于f（x）在0,c连续. 在（0,c）可导由拉格朗日定理,使注意：证完以后，也可利用对用罗尔定理使也有【例6证明题】（08年数学二，（20）（1）证明积分中值定理：若函数在闭区间a,b上连续，则至少存在一点使得 【答疑编号911030203：针对该题提问】（2）若函数具有二阶导数，且满足,则至少存在一点使得 【答疑编号911030204：针对该题提问】（1）从略（2）分析：这种题目一般是用（1）的结论，去考虑（2）的证明。在（2）已知中有定积分于是由积分中值定理得证明可看成具有导数小于零的点。根据在x=1,2,点的关系，可看到。（1）0, （2）0 于是对（x）则存在斜率小于零的弦证明（2）由积分中值定理由于有二阶导数故，连续可导在1,2和上对用拉格朗日定理于是使 使 在上对用拉格朗日定理使【例7证明题】设函数f（x）在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内可导,且f（0）=f（1）=1,证明:对任何0K1的常数K,存在（0,1）使f（）=-K【答疑编号911030205：针对该题提问】分析:我们寻找斜率是-K的弦,由于0K1则-1-Ka0,f（x）在a,b上连续,在（a,b）内可导,证明使得【答疑编号911030301：针对该题提问】分析：我们先对等式进行了变形我们看到函数为所在区间为a,b证明:考虑函数由已知可得在 a,b连续，在（a,b）可导。由拉格朗日定理，使得即有注意：由于将换成x，得，求其原函数可取原函数考点五在用拉格朗日定理证明等式的时，等式中若出现,时，一般将会含有和的项分别放在等式两边。一般用两次拉格朗日定理或用两次柯西定理，也可将两个中值定理结合起来用，可根据具体题目来定：我们要确定对哪个函数，在哪个区上用中值定理。由于等式两端是f（）和g（x）。常见情况含有的式了为将换成x即是我们要确定的函数【例9证明题】（98年考研题）设函数f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f（a）=f（b）=1,试证使得【答疑编号911030302：针对该题提问】分析：将,分别放在等号两端,将换成x将换成x证明：考虑函数 由已知可得F（x）在a,b连续，在（a.b）可导，由拉格朗日定理，使由于f（a）=f（b）=1,于是有等式左端正好是函数在区间a,b端点处函数值的差与自变量差之比.考虑函数则在a,b上满足拉格朗日定理条件,则,使于是得也就是考点六 证明中值点的唯一性。在拉格朗日定理中,我们只知道至少有一个介于a,b之间,至于它的具体位置或的个数,我们并不知道.它的另外形式或我们只知道01.的具体值及是否唯一我们也不知道.但如果我们增加条件比如f（x）严格单调,那么的唯一性是可以得到的.因为严格单调函数的函数值与自变量是一一对应的.【例10证明题】（2001年数学一试题）设y=f（x）在（-1,1）内具有二阶连续导数且f（x） 0,试证:（1）对于（-1,1）内的任一x0, 存在唯一的,使成立.【答疑编号911030303：针对该题提问】（2）【答疑编号911030304：针对该题提问】（1）分析:题中的式子即为f（x）在区间0,x上的拉格朗日公式,由于x是（-1,1）中任意不为零的点.回此当x变支时,区间内的中值点也在变动,也就是是与x有关的.故写成,的唯一性可由f（x）的严格单调性得到.证明:由已知对,f（x）在以（0,x）为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,介于0,x,使.由于f（x）连续且f（x）0,因此f（x）在（-1,1）内不变号,于是f（x）在（-1,1）内严格单调,故唯一.（2）分析:我们要求Q（x）在时的极限,应有Q（x）的表达式.我们对f（x）在0,x上用拉格朗日定理得到f（x）中的值点Q（x）x如果我们对f（x）在0,上用拉格朗日定理,端点的差即为.证明:由于f（x）存在且连续,因此f（x）连续.对f（x）在0,为端点的区间上用拉格朗日定理,存在介于0,之间,使，在0与之间.代入题（1）中式子,得三、柯西定理如果函数f（x）及g（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）对任一x（a,b）,g（x）0,那么在（a,b）内至少有一点，使等式考点七用柯西定理证明等式.我们分析柯西定理公式等式两端分子分母具有对称性.我们在用柯西定理证明等式时,主要是确定两个函数及它们所在区间.首先我们将欲证明的等式含有的项放在等式一边,其余的项放在等式另一边,并把等号两端分子分母按柯西公式的形式变成对称的,即能得到解决所需的函数及所在区间.【例11证明题】若函数f（x）在0,1可导,则必存在一点,使【答疑编号911030401：针对该题提问】分析:我们将等式变形,将含有的项放在等式一边将等式两端按柯西公式化为分子分母对称形式由看到它是arctanx在点的导数值,而arctanx在1和0的函数值正好是和0.证明:f（x）和g（x）=arctanx在0,1可导,且。由于柯西定理使得即即考点八证明在（a,b）内含有,的等式时,一般要用两次中值定理,特别是拉格朗日定理和柯西定理.有时是综合运用这两个中值定理,要根据具体题目选择适合的方法.我们首先要将欲证明的等式中,将含和分别放在等式的两端.根据具体情况在等式一端用一次适合的中值定理,再对等式的另一端用一次中值定理.【例12证明题】设函数f（x）在a,b,连续,在（a,b）内可导,且f（x）0.试证存在使得【答疑编号911030402：针对该题提问】分析:我们首先将等式中的,分开等式右端为f（x）的导数与的导数在的值.如果对f（x）,在a,b上用柯西定理有再对f（x）用拉格朗日定理即可.证明:f（x）,在a,b连续,在（a,b）可导,且,由于柯西定理,使对于f（x）在a,b上用拉格朗日定理,使于是有由于f（x）0,即得【例13证明题】设函数f（x）,g（x）在a,b上连续,且g（b）=g（a）=1,在（a,b）内f（x）, g（x）可导,且g（x）+ g（x）0,f（x）0. 证明:,使【答疑编号911030403：针对该题提问】分析:将,分开等号左边分子,分母分别是f（x）,在点的导数.等号右边分子,分母分别是f（x）,ex在点的导数.由于已知中有g（b）=g（a）=1.我们先对等号左边的两函数f（x）,用柯西定理.这样便于化简.证明: f（x）,在a,b连续,在（a,b）可导.由柯西定理,使由于g（b）=g（a）=1,上式左端即为再在a,b上对f（x）,用柯西定理.有于是得由于f（x） 0有四、泰勒定理（1）假设函数f（x）在含有x0的开区间（a,b）内具有直到n阶的导数，则有此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。（2）假设函数f（x）在含有x0的开区间（a,b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对于x（a,b）,有其中，是x0与x之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。拉格朗日定理的常用形式是f（x）=f（x0）+f（）（x- x0） x与x0之间,它建立了函数变量与自变量及一阶导数之间的关系.泰勒定理是微分中值定理的高阶形式.它建立了函数改变量与自变量与各阶导数的关系.我们常用泰勒公式来讨论与高阶导数关系的问题.考点九首先要选择在哪一点展开, 一般题目中出现的一特殊点.如函数值为零的点,导数值为零的点或题目中出现的一些特殊点常被选择x0在将f（x）在x0点展开后,根据题目需要，经常将x取某些特殊值.如区间端点等,得到两个等式,然后将它相加或相减所得到我们需要的部分.【例14证明题】设在1,+上处,有f（x）0,且f（1）=2, f（1）=-30.证明:在（1,+）内方程f（x）=0仅有一个实根.【答疑编号911030404：针对该题提问】分析:我们根据已知条件可作出y=f（x）的大致图形, f（x）0，我们只要找到一点C1,f（c）0,即可得根的存在性。由于在x0=1点，知道函数值与一阶导数值，故考虑用泰勒公式，将f（x）在x0=1点展开。证明：把f（x）在x0=1处展成一阶泰勒公式 我们的目的是找到一点C，使f（c）0，我们怎么知道x取什么值时，等式右端小于零呢。由于有，我们无法解出x，使等式右端小于零。我们可通过放大的方法，将去掉而得出x。由于于是f（x）2-3（x-1）=5-3x,令5-3x0，得，则f（c）0,由已知得f（x）在1,c连续。由零点存在定理可知存在使f（）=0。即方程f（x）=0 在（1,+）内有实根。由于f（x）0,，因此f（x）单调减，于是当x1时，f（x）f（1）=-30,可知f（x）在1,+）严格单调减少，因此f（x）只有x=一个零点。则方程f（x）=0只有x=一个实根。【例15证明题】：96年考研题设f（x）在0，1上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|a, |f（x）|b，其中a,b都是非导数，C是（0，1）内任意一点，证明【答疑编号911030405：针对该题提问】分析：由于在条件结论中出现了f（x）,f（x）, f（x）,我们考虑用泰勒公式将它们联系起来,而证明的结论中有f（c）,因此考虑在x=c点展开.证明: f（x）在0,1有二阶导数,对任意的x（0,1）将f（x）在C点展成泰勒公式。, 在c,x之间我们的目的是得到f（c）的表达式,因此将x=0和x=1代入上式得:（1）（2）（2）-（1）,得到:即，命题得证。第二节导数的应用一、函数极值,最值及其求法（设函数f（x）在点，如果对于去心邻域内的任一x，有，那么就称是函数的一个极大值或极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。必要条件：设函数f（x）在处可导，且在处取得极值，那么.第一充分条件：设函数f（x）在处连续，且在的某去心邻域内可导，若在两侧的导数异号，那么f（x）在处存在极值；若在 两侧的导数同号，则f（x）在处没有极值。第二充分条件：设函数f（x）在处有二阶导，且，那么当当 注意:1.根据极值的定义,可看出极值是局部性质。2.极值是对连续函数的内点引入的概念,对区间端点,或不连续的内点是不考虑的。我们显然不能说f（0）=1是极大值 3.f（x）的极值点只能在驻点或不可导点取得4.最值是整体概念.5.对于f（x）在区间a,b上的最值点,可做如下考虑因此仅驻点、不可导点和端点是可能最值点。比较以上各点的函数值，最大（小）的即为最大（小）值.6.如果函数在a,b上单调,则两个端点的函数值f（a）和f（b）,一个为最大值,一个为最小值.7.如果一个函数在区间内可导,且有唯一驻点,在该点取极大（小）值,则该极大（小）值即为函数在区间内最大（小）值. 8.由于函数的单调性总是和研究其它问题联系在一起,特别是极值问题和不等式问题,我们应记住由一阶导f（x）的符号来判断函数的增减性. 【例15证明题】证函数f（x）对一切x（-,+ ）满足方程（x-1）f（x）+2（x-1） f（x）3=1-e1-x证明:（1）若f（x）在点x=a（a1）取得极值,它必是极小值.【答疑编号911030501：针对该题提问】（2）若f（x）在点x=1取得极值,它是极大值还是极小值【答疑编号911030502：针对该题提问】（1）分析:由题设f（x）有一阶和二阶导数,因此x=a一定是驻点,即f（x）0,即得结论.证明:由题设f（x）有一阶和二阶导数,又f（a）是极值,故f（a）=0将x=a, f（a）=0代入原方程,得:如a1,则e1-a1,有f（a）0如a1,则e1-a1,有f（a）0总之,a1时, f（a）0因此, f（a）是极小值. （2）分析:如（1）分析x=1是驻点,即f（1）=0,我们需要确定f（1）的符号,由于方程中有（x-1）f（x）,因此不能像（1）中那样直接将x=1代入方程,由于f（x）存在,因此f（x）是连续的,我们转而考虑f（x）在x=1的极限 证明:由于f（1）是极值,所以f（1）=0又由于f（x）存在,所以f（x）连续由原方程因为由极限的保号性,在x=1的领域内f（x）0,于是在x=1附近f（x）单调性增加,由于f（1）=0,因此在x=1附近,x1时, f（x） f（1）=0x1时, f（x） f（1）=0故f（1）是极小值. 【例17解答题】证函数f（x）在（-,+ ）内二阶可导,且f（x）0,又 （1）求f（0）, f（0） 【答疑编号911030503：针对该题提问】（2）试证:在（0, + ）内函数是单调增加的【答疑编号911030504：针对该题提问】（3）试证:在（-,+ ）内f（x）x【答疑编号911030505：针对该题提问】分析:从f（x）0可知,f（x）的图案是凹的,当我们解决了（1）中的问题之后,可大致确定f（x）的形状位置（1）解:由于f（x）存在,故f（x）, f（x）都是连续的,由 （2）分析：有了（1）及函数是凹的,我们大致可确定f（x）的形状和位置.即: 是否有几何意义呢?由可看出,g（x）代表原点和（x , f（x）点的割线斜率,直观上看随X的增大,斜率确实增大,我们用g（x）的符号来确定增减性.证明: 在x0时,我们只需确定xf（x）-f（x）0记H（x）=xf（x）-f（x）H（x）=f（x）+xf（x）-f（x）=xf（x）0（x0）于是H（x）在 单调增加当x0时,H（x）H（0）=0故g（x）0,因此g（x）在内单调增加 （3）分析:由于f（x）是凹的,y=x是过原点的切线,因此f（x）x,这也是凹函数的一个特征,我们来证明f（x）-x0证明:考虑函数F（x）=f（x）-x, F（x）=f（x）-1 F（x）=f（x）0,因此F（x）在内单调增加因F（0）=f（0）-1=0, 所以当x0时,F（x）f（x）=0,于是F（x）在单调增加,所以F（x） F（0）=0当x0时, F（x）f（0）=0,于是F（x）在内单调减少,所以F（x）F（0）=0,总之在内F（x）0,即有f（x）x. 【例18解答题】（04年数学二考题） （1） 证明f（x）是以为周期的周期函数【答疑编号911030601：针对该题提问】（2） 求f（x）的值域【答疑编号911030602：针对该题提问】（1）分析:只需证明f（x+）=f（x）,由f（x）的已知条件直接计算f（x+）即可 （2）分析:因为f（x）以为周期,故只需需讨论f（x）在0,上的值域,只要找到f（x）在0, 上的最大最小值,就可以了.解:由于f（x）以为周期,我们只讨论f（x）在0,上的值域即可,由于|sint|在连续,从而f（x）可导.比较以上两点及端点的函数值因此f（x）在0,上的最大值为 ,最小值为 ,故f（x）的值域为 二、函数的凹凸性与拐点 （1）函数曲线凸凹性与拐点的概念：若在某区间内，曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的，记为；若在某区间内，曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在该区间内凸的，记为。连续曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。（2）函数曲线凹凸性的判别法：若在区间（a，b）内，则曲线y=f（x）在该区间内凹；若在区间（a，b）内，则曲线y=f（x）在该区间内凸。（3）关于拐点:1.连接曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.2.必要条件:设f（x）在,内存在二阶导数,看是拐点,则必有3.函数曲线的拐点只能在使f（x）等于零的点或f（x）不存在的点取得.4.判别法方法一:f（x）在的某邻域内连续二阶可导可以不存在,如果在的左右两侧f（x）符号相反,则是曲线y=f（x）的拐点.方法二:设f（x）在的某领域内三阶可导,且,而f ,则是拐点. 考点十确定曲线的凹凸区间与拐点的步骤1.确定函数连续区间2.求f（x）,确定使f（x）为零的点及f（x）不存在的点.3.将上述点按由小到大将定义域分成若干子区间,确定每个子区间f（x）的符号,用以判断曲线的凹凸和求得拐点. 【例19填空题】（08年数学二考题）曲线的拐点坐标为_。【答疑编号911030603：针对该题提问】分析： 在连续X=-1时，y =0.且在x=0,y不存在在x-1两侧y异号，故（-1，-6）为拐点在x=0两侧y不变号，故（0，0）不是拐点因此拐点坐标（-1，-6） 【例20选择题】（00年数学二考题）设函数f（x）满足关系式：,且 ,则（A）f（0）是f（x）的极大值（B）f（0）是f（x）的极小值（C）点（0，f（0）是曲线y=f（x）的拐点（D）f（0）不是f（x）的极值,点（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点【答疑编号911030604：针对该题提问】分析:由,知x=0是驻点,将x=0,f（0）=0代入关系式,得,我们考察与在x=0两侧是否变号.在本题中不易做到,我们求三阶导数,由于等式 的右端可导,故左端可导,即存在,从而可知（0,f（0）是曲线拐点,故选（C） 【例21选择题】（06年数学一考题）设函数y=f（x）具有二阶导数，且,为自变量x在点x0处的增量，与dy分别为点x0处对应的增量与微分，如果，则：【答疑编号911030605：针对该题提问】分析：（1）由所给条件可知f（x）单调上升且是凹的由 ,dy的几何意义如图,可知,故选（A）或由凹函数的性质曲线在切线之上,故有即故选A 三、渐近线1.渐近线的概念当曲线C上动点P沿曲线C无限远移的，若动点P到某直线L的距离无限趋近于零，称直线L是曲线C的渐近线.2.渐近线的求法（1）铅直渐近线:若或则直线x=a是由线y=f（x）的铅直渐近线（一般出现在x=a无穷型间断点）（2）水平渐近线:若或则直线y=b是曲线y=f（x）的水平渐近线（3）斜渐近线:若又存在则直线y=ax+b是曲线y=f（x）的斜渐近线3.几点说明（1）上的连续函数无铅直渐近线.（2）铅直渐近线可没有,可有有限条,可有无限条.（3）水平和斜渐近线可没有,可有一条,至多两条.考点十一.求渐近线应根据渐近线的求法,依次考察曲线是否存在铅直,水平,斜渐近线,关键是正确的求出极限.【例21填空题】（05数学一 考题）曲线的斜渐近线方程为_【答疑编号911030701：针对该题提问】【例22选择题】（07数学一考题）曲线y=1/x+ln（1+ex）渐近线条数为（A）0（B）1（C）2（D）3【答疑编号911030702：针对该题提问】分析：曲线只有一个间断点x=0【例23选择题】（94年考题）曲线的渐近线条数为（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 【答疑编号911030703：针对该题提问】分析： 函数有三个间断点x=-1,0,2因此x=2不是铅直渐近线同样可求得x=-1也不是铅直渐近线因此时，是水平渐近线故选（B）四、不等试的证明考点十二利用函数的单调性或拉格朗日公式证不等式1.当不等式两端包含自变量x,将不等式各项移到不等式一端,使另一端为零.设一端的函数为F（x）,即证明F（x）0或者（0）（1）求F（x）判断导数符号,利用单调性证明.（2）如F（x）符号难以判定,则可继续求F（x）,或较高阶的导数.最终确定出F（x）的符号.2.如果不等式两端均为常数且包含区间端点a和b,可将a,b中较大的数改写为 x,用1中的方法证明出F（x）0或者（0）, 取x=b,即是欲证的不等式.3.利用最值证不等式.实际也是利用单调性,有两个单调区间若Fmin=0 则有F（x）0.若Fmax=0 则有F（x）04.若不等式中有f（b）-f（a）的项可考虑用拉格朗日定理.若f（x）有界,即mf（x）M则m（b-a）f（b）-f（a）=f（）（b-a）M（b-a）（ba） 【例24证明题】（04年数学一考题）设eabe2,证明【答疑编号911030704：针对该题提问】分析：即证这符合拉格朗日定理的形式在a,b上连续可导，由拉格朗日定理使 我们证明时考虑函数 ,（xe）因此在单调减于是即因此即 证明2 考虑函数我们利用单调性来证明因此f（x）在单调下降于是当时.从而f（x）在单调增当时f（x）f（a）=0特别当x=b时f（b）0 即 【例25证明题】（06年数学二考题）证明：当0ab时Bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【答疑编号911030801：针对该题提问】分析：这是一个对称的形式，如果设f（x）=xsinx+2cosx+x则上式为f（b）-f（a）0符合拉格朗日定理形式或证明f（x）0则f（x）单调增，有f（b）f（a）证明1.设f（x）=xsinx+2cosx+x. x 0, f（x）=sinx+xcosx-2sinx+=xcosx-sinx+f（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 ,x （0, ） 从而f（x）在0, 单调减，从而f（x）f（）=0, x （0, ） 于是f（x）在0, 单调增从而当0ab时,f（b）f（a）即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 证明2.设f（x）=xsinx+2cosx+x, x 0, f（x）在a,b上满足拉格朗日定理条件，有f（b）-f（a）=f（）（b-a） =（cos-sin+）（b-a）我们证明 cos-sin+0设 g（x）=xcosx-sinx+ x0, g（x）=-xsinx0