Lesson-02 节点导纳矩阵及节点网络方程的解法.pdf

李长松 Spring 2016 电力系统计算机辅助分析 潮流计算 短路计算 稳定性计算 电力网络 数学模型 发电机组和 负荷数学模型 第1章 第5/6章 第3章 第2章 第4章 什么是“数学模型” A mathematical model is a description for property or behavior of a system (or a process or a phenomenon) using mathematical concepts and language. A model may help to explain a system and to study the effects of different components, and to make predictions about behavior. natural sciences engineering disciplines social sciences mathematical model 什么是“数学模型”：an example Electrical resistance 0 l R A 00 ( )1()R tRtt 电力系统的数学模型 是对电力系统运行状态的一种数学描述。 把电力系统中的物理现象的分析归结为某种形式 的数学问题。 包括： 电力网络的数学模型 发电机的数学模型 负荷的数学模型 第1、2章 第4章 第4章 1.1 节点导纳矩阵 1.2 节点阻抗矩阵 1.3 电力网络方程的求解方法 电网仿真系统：WSCC9 system 发电发电 2 发电发电 1 发电发电 3 GEN1-230 GEN2-230GEN3-230 STNA-230STNB-230 STNC-230 区域区域-2-2 区域区域-1-1 电网仿真系统：IEEE 14 bus system 电网仿真系统：IEEE 30 bus system 电网仿真系统：IEEE 39 bus system 电网仿真系统：IEEE 118 bus system 导纳形式的节点方程 y24 1 3 2 4 y23 y34 y40 y30 y20 y12 y10 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 1 I 4 I 四节点网络 14 II、 ：节点注入电流 4 LD 3 1 2 LD 导纳形式的节点方程 y24 1 3 2 4 y23 y34 y40 y30 y20 y12 y10 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 1 I 4 I 10112121 122120223232424 23323434303 244234434044 () ()()()0 ()()0 ()() y VyVVI yVVy VyVVyVV yVVyVVy V yVVyVVy VI 待求量是什么？ 导纳形式的节点方程 10112121 122120223232424 23323434303 244234434044 () ()()()0 ()()0 ()() y VyVVI yVVy VyVVyVV yVVyVVy V yVVyVVy VI 101211221 121122023242233244 2322334303344 24234324344044 () ()0 ()0 () yyVy VI y VyyyyVy Vy V y VyyyVy V y Vy VyyyVI 整理 导纳形式的节点方程 101211221 121122023242233244 2322334303344 24234324344044 () ()0 ()0 () yyVy VI y VyyyyVy Vy V y VyyyVy V y Vy VyyyVI 4444343242 434333232 424323222121 1212111 0 0 IVYVYVY VYVYVY VYVYVYVY IVYVY 再整理 111012 1212 211212 Yyy Y y yY Y 说明什么？ 导纳形式的节点方程 4444343242 434333232 424323222121 1212111 0 0 IVYVYVY VYVYVY VYVYVYVY IVYVY 四节点网络 1314 2 31 3 4 11 1112 221222324 323334 3 424344 4 1 4 VI YY VYYYY YYY V YYY V YY I Y I Y I 矩阵形式 ijji YY YV = I 导纳形式的节点方程 YV = I 节点导纳 矩阵已知 节点注入 电流已知 节点电压 待求 2 I 3 I 14 0,0II 23 0II 导纳形式的节点方程 11 112211 21 122222 1 122 . nn nn nnnnnn Y VY VY VI Y VY VY VI Y VY VY VI 11 11121 21222 22 12 n n nnnn nn VIYYY YYYVI YYY VI n节点网络 矩阵形式 导纳形式的节点方程 11 112211 21 122222 1 122 . nn nn nnnnnn Y VY VY VI Y VY VY VI Y VY VY VI 11 11121 21222 22 12 n n nnnn nn VIYYY YYYVI YYY VI IYV n j jiji VYI 1 Y：节点导纳矩阵 节点导纳矩阵元素的物理意义 如果在节点i施加一单位电压，其余节点全部接地， 即 1, 0, 1,2, , ij VVjnji 11 22 i i iii nni IY IY IY IY 11 112211 21 122222 1 122 . nn nn nnnnnn Y VY VY VI Y VY VY VI Y VY VY VI 节点导纳矩阵元素的物理意义 节点i的自导纳：导纳矩阵第i列对角元素Yii，在数 值上等于节点i施加单位电压，其他节点都接地时， 节点i向电力网络注入的电流。 即：自导纳Yii是节点i以外的所有 节点都接地时节点i对地的总导纳。 11 22 ii i i ni i n IY IY IY IY 0iiiij j i Yyy 节点导纳矩阵元素的物理意义 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。 2 11 2i ii nn i i i IY IY IY IY jiji Yy 节点导纳矩阵元素的物理意义 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。 此时：节点j的电流实际上是 自网络流出并进入地中的电流， 所以Yji应等于节点i、j之间的 支路导纳的负值。 而且有： 2 11 2i ii nn i i i IY IY IY IY jiji Yy jiji YY 节点导纳矩阵的主要特点 Yij =Yji ，节点导纳矩阵具有对称性 若节点i和j没有支路直接相联时，则Yij = 0 导纳矩阵具有高度稀疏性，即非对角线元素中有 很多零元素 矩阵元素物理意义清楚，有规律可循，因而形成 节点导纳矩阵的程序简单 节点导纳矩阵的形成：p7 导纳矩阵阶数等于电力网络的节点数； 11 11121314 2221222324 31323334 33 41424344 44 VI YYYY VIYYYY YYYY VI YYYY VI 节点导纳矩阵的形成：p7 各行非对角元素中非零元素个数等于对应节点连接的不 接地支路数； 11 1112 2221222324 323334 33 424344 44 00 0 0 VI YY VIYYYY YYY VI YYY VI 节点导纳矩阵的形成：p7 各对角元素（即自导纳）：等于相应节点所连支路的导 纳之和； 11 1112 2221222324 3234 33 42434 23343 44 0 4 00 0 0 VI YY VIYYYY YY VI YY y I yy Y V 节点导纳矩阵的形成：p7 非对角元素（即互导纳）：等于相应节点之间的导纳的 负值。 11 1112 2221222324 33 424344 2334324 4 33 4 0 00 0 0 VI YY VIYYYY y VI YYY V yyyy I 节点导纳矩阵的修改 网络中含有非标准变比的变压器支路时，导纳矩 阵元素的修改 节点导纳矩阵的修改 网络中含有非标准变比的变压器支路时导纳矩阵 元素的修改 节点p的自导纳改变量 111 pp k Y kzkzz 节点q的自导纳改变量 22 111 qq k Y kzk zk z 增加节点p、q间的互导纳 1 pqqp YY kz 节点导纳矩阵的修改 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改 从网络的原有节点i引出一条导纳为yij的支路：意 味着增加了一个节点j jjij Yy ijjiij YYy ijii Yy 节点导纳矩阵的修改 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改 在网络的原有节点i、j之间增加一条导纳为yij的 支路 ijjjii yYY ijjiij yYY 节点导纳矩阵的修改 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改 在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为yij的 支路。相当于：在节点i、j间增加一条导纳为-yij 的支路 ijjjii yYY ijjiij yYY 节点导纳矩阵的修改 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改 原网络节点i、j之间的导纳由yij改变为yij 相当于：先在节点i、j间切除一条导纳为yij的支路， 然后再在节点i、j间追加导纳为yij的支路 节点导纳矩阵的形成：例题 例1-1 节点关联矩阵 描述电力网络连接情况的矩阵。 只含0、1、1，行号与节点号对应，列号与支 路号对应。 0表示该节点与相应支路不相连，1表示支路电 流的规定方向是流出该节点，1表示支路电流的 规定方向是流入该节点的。 每一列非零元素的位置表示相应支路两端的节点 号。 节点关联矩阵 10001000 01001110 00100101 00010011 A y24 1 3 2 4 y23 y34 y40 y30 y20 y12 y10 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 1 I 4 I 行号对应节点号 +1：流出节点 -1：流入节点 列号对应支路号 节点关联矩阵的作用 LkLkLk Iy V LLL IY V 由基尔霍夫第一定律可知，电力网络中任意节点i 的注入电流与支路电流有如下关系： 1 l iikLk k Ia I L IAI T LLLL VAIAIV= AY= AY=YV T L Y = AY A 设电力网络有n个节点，l条支路，对每条支路有如 下关系： 支路间存在互感时的节点导纳矩阵 在形成零序网络的节点导纳矩阵时应该计及平行 线路之间的互感。常用的方法是采用一种消去互 感的等值电路来代替原来的互感线路组 rs pq rsm mpq sr qp I I zz zz VV VV sr qp rsm mpq rs pq VV VV yy yy I I zm 支路间存在互感时的节点导纳矩阵 在形成零序网络的节点导纳矩阵时应该计及平行 线路之间的互感。常用的方法是采用一种消去互 感的等值电路来代替原来的互感线路组 ()()() ()()() pqpqpqmpsmpr rsrsrsmrqmrp IyVVyVVyVV IyVVyVVyVV sr qp rsm mpq rs pq VV VV yy yy I I 支路间存在互感时的节点导纳矩阵 在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同 一条母线。若pq支路和rs支路的节点p和r接于同 一条母线，则在消去互感的等值电路中，将节点p 和r接在一起即可 高斯消元法 三角分解法 因子表解法 YVI 高斯消元法 解线性方程组 上三角 方程组 高斯法=消元+回代 高斯消元法 1112111121 21222212 1,11 2,12 1 2 12, 2 12 n n n n nn nn nnnnnnnnn ab ab ab aaaaaa aaaaaa aaaaaa A AXB 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 增广矩阵 高斯消元法 (1)(1)(1)(1) 121311,1 1 nn aaaa ) 1 , , 3 , 2(/ 111 )1( 1 njaaa jj (1)(1)(1) 1211,1 (1)(1)(1) 2222,1 1 (1)(1)(1) 2,1 1 nn nn nnnn n aaa aaa aaa A (1)(1) 1 1 (2, 3, , 1;2, 3, , ) ijijij aaa ajnin 第1行规格化为： 消去第1列： 得到： 第k次消元运算（消去第k列）的计算通式为 ： 高斯消元法 ( )(1)(1) /(1,1) kkk kjkjkk aaajkn (1)(1)(1)(1)(1) 12131,111,1 (2)(2)(2)(2) 232,122,1 (3)(3)(3) 3,133,1 (1)(1) 1,11,1 ( ) ,1 1 1 1 1 1 nnn nnn nnn n nn nnnn n n n aaaaa aaaa aaa aa a A ( )(1)(1)( ) , ( 1, , 1;1, ) kkkk ijijikkj aaaajknikn n次消元后 ： 高斯消元法 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 11221331,1111,11 (2)(2)(2)(2)(2) 22332,1122,12 (3)(3)(3)(3) 33,1133,13 nnnnn nnnnn nnnnn xa xa xaxa xab xaxaxaxab xaxaxab (1)(1)(1) 11,1,11 ( )( ) ,1 nnn nnnnnnn nn nn nn xaxab xab ( )( )( )( ) ,1 11 (,1,2,1) nn iiii ii nijjiijj j ij i xaa xba xin n 进行回代计算，可解出xi，通式为 ： 展开： 三角分解法 系数矩阵A的三角分解 分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的乘积 分解为单位下三角矩阵L、对角线矩阵D和单位上 三角矩阵U的乘积 分解为下三角矩阵C和单位上三角矩阵U的乘积 AXB LRA LDUA CUA 三角分解法 分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的乘积 11121311112131 21212223222232 31323132333 1,11, 12,112 1 1 1 1 nn nn n nnnn nnn nnnnnnn aaaarrrr laaaarrr llaaaa rr lllaaar 1 1 1 1 1,2,1 1,2, j kjkjkp pjjj p i ikikip pk p lal rrjk ral rik （1-97） 三角分解法 分解为单位下三角矩阵L、对角线矩阵D和单位上 三角矩阵U的乘积 1 1 1 2 112 22 11 222 11211 n n nnnn n n u uu d d d r rr rrr LDUA 1, 2 , 1 , 3 , 2 / )( , 1 1, 2 , 1 / )( ), 2 , 1( 1 1 1 1 1 1 ij ni ddulal nij ni ddulau nidulad jj j k kkkjikijij i k iikkkjikijij i k kkkiikiiii （1-102） 三角分解法 分解为单位下三角矩阵L、对角线矩阵D和单位上 三角矩阵U的乘积 若A为对称矩阵，则有： () TTTTT AALDULDUU D L DUULDLA TT 1, 2 , 1 , 3 , 2 / )( , 1 1, 2 , 1 / )( ), 2 , 1( 1 1 1 1 1 1 1 1 22 ij ni ddllal nij ni dduuau niduadlad jjkk j k jkikijij ii i k kkkjkiijij i k i k kkkiiikkikiiii （1-104） 利用三角分解求解线性方程组 BAX 21 3132 123 1 1 1 1 nnn l ll lll 0 L 121 2 1 1 1 n n uu u U LDUABLDUX HUX FDH BLF 11 22 nn d d d D 1, 2 , 1 , 3 , 2 / )( , 1 1, 2 , 1 / )( ), 2 , 1( 1 1 1 1 1 1 ij ni ddulal nij ni ddulau nidulad jj j k kkkjikijij i k iikkkjikijij i k kkkiikiiii （1-104） 因子表解法 电力系统计算中，网络 方程经常需要求解多次， 每次只是改变方程右边 的常数向量B，而系数 矩阵A不变。 因子表：用于记录在用高斯消元法解线性方程组 的过程中，对常数项B全部运算的一种表格。 YV = I 节点导纳 矩阵已知 节点注入 电流已知 节点电压 待求 因子表解法 高斯消元法分为消去过程和回代过程。 回代过程的运算由对系数矩阵A进行消元运算后得 到的上三角矩阵元素确定，如式（1-85）。 111211,1 212222,1 12,1 nn nn nnnnn n aaaa aaaa aaaa A (1)(1)(1)(1)(1) 12131,111,1 (2)(2)(2)(2) 232,122,1 (3)(3)(3) 3,133,1 (1)(1) 1,11,1 ( ) ,1 1 1 1 1 1 nnn nnn nnn n nn nnnn n n n aaaaa aaaa aaa aa a A （1-85） 因子表解法 为了对常数项B进行消元运算（又叫前代运算）， 还必须记录消去过程运算所需要的运算因子。 消元过程中的运算又分为规格化运算和消元运算。 以按列消去过程为例 ( )(1)(1) ( )(1)(1)( ) /(1,2,) (1, 2, 1) iii iiii kkkk iiikk bbain bbabki 逐行放在下三角部分，和式（1-85）的上三角矩阵元素合 在一起，就得到了因子表 （1-115） )2( 1, ) 1() 1 ( 21, i i i k ikii aaa a ) 1( /1 i ii a将上式中运算因子 及 (1)(1)(1)(1) 1213141 11 (2)(2)(2) 2123242 (1) 22 (1)(3)(3) 3132343 (2) 33 (1)(2)(4) 4142434 (3) 44 (1)(2)(3) 1234 (1) 1 1 1 1 1 n n n n nnnn n nn aaaa a aaaa a aaaa a aaaa a aaaa a 因子表解法 ( )(1)(1) ( )(1)(1)( ) /(1,