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25 新课程理念下数学定理的教学方法创新探讨 新课程理念下数学定理的教学方法创新探讨 摘要摘要 “学生是数学学习的主人, 教师是数学学习的组织者, 引导者和合 作者.”有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践能力、自主 探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. 本文通过分析新课程的特点： 讲背 景、讲思想、讲应用；多一点情境和归纳, 多一点探索和发现, 多一点思考和回 顾, 分四方面对数学定理教学方法进行探讨. 关键词 关键词 教学创新 自主发现 新课程标准提倡重视学生自主学习的过程,强调教师要以生为本,要做到让 学生经历知识形成的过程.对于定理的教学,如果教师都是从“正面”叙述和证 明,那么学生看到的只是完美无缺的“成品”,他们往往不清楚其来龙去脉,特别 是不理解为什么要有这么多条件和前提,这一美妙的结果当初是如何寻找到的, 这一连串的问题就成为学生学习的“阻碍”.学生把握的效果就可想而知了, 所 以,在进行定理教学时,如果老师能做到先引导学生自己“发现”定理,有目的地 创设问题情境, 引导学生主动探讨证明思路, 通过实验、演算、推理或观察、分 析、类比、归纳等步骤, 探索规律, 建立猜想, 自我发现定理. 这样学生一定会 理解得更深刻、更透彻、应用得更自如、更普及.并且这样进行教学, 还能有效 地提高学生的创造力, 培养他们的创新精神. 下面, 笔者根据多年来的教学实 践, 就怎样引导学生自主学习数学定理, 谈谈自己的做法和体会. 1 创设生活实际问题背景, 引导学生自主发现1 创设生活实际问题背景, 引导学生自主发现 我们知道, 数学来源于现实生活, 数学的发展应归结为现实所需. 当学生 要学习某种新知识之前, 如果他们先了解这项知识在生活中的背景材料, 那么 对知识的理解会自然, 接受也坦然, 记忆长远, 学习态度也会表现得更主动更 有兴趣. 例如学习重要不等式的两个定理时, 可通过如下两个实际应用问题, 引导 学生从中发现重要不等式的定理及其推论. 某商店在节前进行商品降价酬宾销 售活动, 拟分两次降价. 有三种降价方案： 甲方案是第一次打a折销售, 第二次 26 打b折销售；乙方案是第一次打b折, 第二次打a折销售；丙方案是两次都打 2 ab+ 折销售. 请问：哪一种方案降价较多？ 学生通过审题、 分析、 讨论, 共同得出： 甲乙方案给顾客的优惠率都是1ab； 丙方案给顾客的优惠率是 2 1 () 2 ab+ , 最后归结为比较ab与 2 () 2 ab+ 大小的问题. 用作差法即可得 2 () 2 ab ab + , 另外通过平方展开或开方即可得重要不等式：（1） 22 2abab+, （2） 2 ab ab + . 这样给出重要不等式的两个定理, 已是水到 渠成, 相当自然. 在中学数学中, 很多数学问题都具有生活的背景和意义. 从学生的角度来 说, 这些生活实例构成了他们的新知识的基础, 是获取新知识的不可或缺重要 组成部分. 所以, 在教学中要善于发掘问题的内在联系, 抽象问题的本质, 进 而用数学语言 （符号） 来表达问题的实质. 这个过程是学生亲身体会、 全面思考、 分析问题的过程, 是培养学生思维的深刻性和创造性的必要手段. 2 通过实验猜想, 引导学生自主发现 2 通过实验猜想, 引导学生自主发现 实验并非是物理化学的专利, 实际上数学教学也离不开实验. 正如波利亚 所说： “数学有两个侧面, 一方面它是欧几里得式的严谨科学, 从这个方面看, 数学像是一门系统的演绎科学； 但另一方面, 创造过程中的数学, 看起来却像一 门试验性的归纳科学”. 所以, 从第二 个侧面来看, 数学也是一门实验科学. 我们在高中数学教学中看到：有诸多课 题的发现与验证可以用实验操作, 一些 问题的解决也可以用实验作“催化剂”. 因此, 在进行定理教学时, 也可根据情 况, 通过组织学生做与定理相关的实验, 引导学生观察实验结果发现定理. 例如在立体几何中学习线面垂直 的判定定理一节中, 我们可先从观察日 常生活中, 对线面垂直的感性材料开始 入手, 比如说旗杆与地面, 屋梁与墙面 27 等. 如何判定呢？教师可将准备好的一块三角形纸片, 如图一, 将翻折后的纸 片放置在水平的桌面上, 并请学生观察折痕 AD 与桌面垂直吗？又如何来翻折, AD 才能与桌面垂直？在动手操作的过程中, 学生很容易发现：当且仅当折痕是 边 BC 上的高, 这样翻折之后折痕不偏不倚站立着, 即 AD 与桌面垂直, 如图二, 问：这又是为什么？教学自然而然地进入到一个“数学问题”的讨论：因为 ADBC, 翻折之后这一垂直关系不变, 即在右图中有,ADBD ADCD, 这样看来, 似乎应有以下结论：AD 与桌面内的两条相交直线垂直, 则 AD 垂直于 桌面, 这不就是线面垂直的判定定理吗？那么能不能再退一步, 即折痕 AD 与桌 面上的一直线垂直, 是否足以保证 AD 垂直于桌面？让学生再动手试一试看：我 们将折纸展开并让它竖起来, 发现尽管有 AD垂直于 BC, 但纸张并不能稳稳地竖 立在桌面上, 看来 AD 至少要与平面内的两条相交直线垂直, 才有 AD 垂直于桌 面. 在学生的操作实验中, 一个抽象的数学问题直观地展示在自己面前. 所以, 在教学中, 合理地、科学地创设“数学实验”, 让学生在自身的体验和思考过程 中, 主动地发现和构建新知识, 这比教师硬塞给他们要强百倍. 不仅如此, 更 重要的是在这样的体验中, 学生逐渐地会用数学的眼光看身边的事实, 用数学 的头脑来分析周围的世界. 3 通过特例猜想, 引导学生自主发现 3 通过特例猜想, 引导学生自主发现 特例是数学学习中获取信息, 寻求问题解决的一种基本方法, 是培养学生 学习主动性和创新精神的一种有效手段. 而特殊性寓于一般性之中, 因此, 教 师可引导学生从特例开始考察, 然后去猜想、 归纳出一般性结论. 为此, 教师可 设计与定理相关的探索性问题, 组织学生参与观察、思考、归纳并猜想出命题. 例如在进行“余弦定理”的教学时, 教师可设计如下探索性问题： 请同学们考虑下面的问题, B 同学的家距学校 A 1500 米, C 同学的家离学 校 A 1000 米, 问这两个同学的家相距多远？ 有的同学回答：500 米或 2500 米, 而有的同学 不同意, 认为 BC 间的距离不确定. 于是画出图三, 1500 ,1000ABm ACm=, 这时 BC 间的距离随角 A 的大小的变化而变化. 设,BCa ACb ABc=, 第一位同学的回答实际上就是 28 当0A = 时, acb=； 当180A =时, abc=+, 为了考察a与, ,b c A间的关系, 我们再看几个特例：当90A=时 222 abc=+；当45A=时, 作出高 CD, 利用勾 股 定 理 , 得 22222 22 ()()2 22 abcbbcbc=+=+； 当120A=时 , 222 abcbc=+；L归纳以上的特例, 一般地, 有 222 abcmbc=+, 这里的m 与角A有何必然联系？引导学生得出2cosmA= , 于是余弦定理呼之欲出. 在此教学过程中, 让定理的发现构建在学生已有知识的基础上, 让学生参 与“探索、猜想、论证、应用”的全过程, 符合现代教育理论中“要把学生学习 知识当作认识事物的过程来进行教学” 的观点. 所以, 在数学教学中, 恰当地运 用特例, 对于正确理解、巩固和掌握定理, 起到十分重要的作用. 4 通过演算推理, 引导学生自主发现 4 通过演算推理, 引导学生自主发现 在学习三角函数时, 学生都表现出很烦燥, 那么多的公式, 死记硬背, 生 搬硬套, 证明过程难以想象, 学起来特别没劲. 对于这种现象, 我在教学中, 不断地思索, 能不能先来个旧知变新知？使学生自然而然地发现某个命题呢？ 例如在学习三角函数的两角和与差的正弦、余弦、正切公式中, 我们不妨 先引入下面的一个习题, 让学生在算的过程中得出结论. 问题问题 如图四, ,ABDBACBADBCDa=, 求：AB 分析：此题是一道关于直角三角形中角与边的关系 问题, 对学生来说, 要把AB解出, 是很容易的事, 所 以不用花很长时间, 学生就做出了下面两种答案： 学生甲： 在ADC中, DAC=, 所以有： sin()sin aAC = , 即： sin sin() AC = , 又在Rt ABC中, 有： sinsin sin sin() a ABAC = . 学生乙： 在Rt ABC中, cotcot BC BCAB AB = 29 在Rt ABD中, cotcot BD BDAB AB = 所以cotcotABABa=, 即 cotcot a AB = 虽然两个同学的答案从形式上有很大差别, 但都是对的. 为了引起学生的 争议, 我故意把学生甲的答案判错了. 这时, 四人小组讨论起来, 认为两个答 案都没有错. 于是我顺势改口, 如果两个结果都是正确的, 那么它们必然相等. 即： cotcot a = sinsin sin() a . 这时, 全班同学的思维积极性被充分的调动起来. 他们为了这一让老师不 能自圆其说的问题而欢呼雀跃. 纷纷披挂上阵. 对这一结果进行推导, 最后得 出一个他们并不诚服的结论： (cotcot)sinsinsin()= 即 sin()sincoscossin= 见到这个结果我可高兴了. 心想, 这不就是我们即将学习的两角差的正弦 公式吗？但我还是不想告诉学生, 因为此例中的, 两角不是任意角, 所以要 进一步组织学生猜想、 推广, 如果, 是任意的两个角, 那么此公式还成立吗？ 这样由我们熟悉的知识一下子就引出了任意角都成立的两角差的正弦公式, 让 学生感到很自然, 对激发学生的学习兴趣有重要的作用. 以上是笔者多年来的一点做法与体会,请同行批评指正.当然还有一些常见 的方法, 比如数形结合、 构造逆否命题、 利用多媒体辅助等等, 总之, 教无定法, 只要把课堂还给学生, 让学生