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高中资优生数学创新性学习的特点与激发 黄继红 2003 年 8 月，我由江苏海门来到了上海市松江二中，接触了我在上海的第 一批学生，担任高一年级两个实验班的数学教育和其中一个班的班主任工作。由 于高三的加一选修，到了 2005 年 9 月，原先两个实验班共 100 名的学生其中 有 53 位同学选择了物理学科，从而这 53 位同学组成了 2006 届高三（4）班， 很荣幸， 我是该班的班主任和数学任课老师。 对于一位来上海才 3 个年头的老师， 能送完一届自己一手由高一至高三教育过的优秀生，那是无比幸福的事情。又正 逢上海二期课改，我一方面努力解读新教材、领会课改理念和高考改革的信息， 另一方面， 我认真研究我的学生实际， 在实践中探索资优生数学素养提高的策略。 功夫不负有心人， 三年的努力， 换来了丰硕的成果， 全班重点大学达线率 100%， 高考数学 （理） 均分 134， 其中 145 分以上 5 位； 140144 分的人数 10 位； 130139 分的人数 25 位；120129 分的人数 9 位；110119 分的 人数 4 位。在全国高中数学联赛中，一位获上海市二等奖，三位获三等奖；在全 国数学希望杯竞赛中，一位获铜牌；在上海市应用数学竞赛中，一位获二等奖； 在上海市高中数学竞赛中，一位获三等奖。回顾过去三年的教育教学工作，我就 “高中资优生数学创新性学习的特点与激发”谈点体会。 一、资优生数学创新性学习的特征 1979 年国际著名学术团体罗马俱乐部发表的一项研究报告回答未来的挑 战中指出，学习总起来说有两种类型：一种是维持性学习（或称适应性学习）， 1 它的功能在于获得已有的知识、经验，以提高解决当前已经发生问题的能力；另 一种是创新性学习，它的功能在于通过学习提高一个人发现、吸收新信息和提出 新问题的能力，以迎接处理好社会日新月异发生的变化，它是通过重建整体来促 进思维的，它反映了综合一分析的时代精神。我认为：在人类走向学习化社会 的今天，更应着重培养资优生具有对未来社会的应变能力，具有独立思考、大胆 求索的精神。根据以上认识和我的实践，下面谈谈我对资优生数学创新性学习特 点的认识。 资优生的数学创新性学习是一种个性化的学习，体现了新颖、独特且有意义 的思维活动的特点。这种学习与具有规范程序的通用型学习不同，学习的方法和 内容具有强烈的个性色彩，他的思维不墨守成规、不同凡俗，有一定的价值。如 在高三复习过程中，学生不仅研究了函数 1 yx x 的定义域、值域、奇偶性、 单调性，而且研究了函数图象的对称性，甚至大胆证明了该函数图像是双曲线。 他们是这样思考的：先证明直线yx 和轴是函数图象的渐进线，猜想y (12)y x是函数图象的对称轴，然后加以证明。大部分同学用曲线的轴对称 定义进行了证明；有的设对称轴方程ykxb ，用待定系数的方法求得对称轴 方程； 值得新奇的是洪晓晨同学在前两种方法的基础上， 以原坐标系原点为极点、 正半轴为极轴， 建立极坐标系， 然后证明函数图象关于直线ox 37 , 88 对 称，显得运算、代数变形简单的多，赢得了同学们热烈的掌声；更让同学觉得了 不起的是杜卓同学，通过一个坐标系的旋转公式，将函数 1 yx x 改写为新直 角坐标系的方程是符合双曲线方程的标准形式，从而同学们终于理解了 2 1 yx x 的图像是双曲线的本质，也就理解了相关的对称性问题。由此可见， 在我的引导下，同学们不仅选材新颖，而且观察问题的角度新，分析问题的眼光 新，叙述事物的方式新，久而久之形成自己的个性及风格。 资优生的数学创新性学习是一种自主性的学习，从内容上体现了思维加想 象的特点。他们的主题意识强烈，思维敏锐，对一些“司空见惯”的事情敢于质 疑，他们不受自己设置的框框限制，勇于自我否定，能迅速而灵活地调整思维方 向，转移经验、侧向思维和遥远联想是其思维的具体表现，特别能进行知识的横 向联系，善于数形结合、建立模型思考问题。如在 2005 年 12 月复旦大学保送 生暨优秀高中毕业生选拔测试题中，有这样一道试题：“求证： ”。我们班有不少同学在常规方法不能解 决的情况下， 建立了这样一个具体模型：2个人， 其中n个是男生、n个是女生， 现从中选择n位同学参加志愿者服务，共有多少种不同的选法？然后，他们按男 生数进行分类：0、1、2、 、n共+1 类，得到共有 种不同的选法，也就是种，所以得 。再由 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( n 011220nnnn nnnnnnnn C CC CC CC C 011220nnnn nnnnnnnn C CC CC CC C 2 n C n n 2 n n C n kk nn CC 得 。从而，赢得了宝贵的 20 分。由此可见， 在创新能力的考查中，想象比知识更重要。我在平时的教学中，善于引导学生观 察、联想，尝试、提问、思考、调整等，能独立地对某些问题作出判断和决定， 推崇一题多解、一题多变，发挥联想的功能。 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( 资优生的数学创新性学习是一种专注性极强的学习， 体现了新形象和新假设 的产生带有突然性的特点。这种特性常被称为“灵感”。灵感是劳动的结果，是 3 人的全部高度积极的精神力量，一般在“原形”启发下凸显出来。灵感跟创造动 机和对思维方法的不断寻觅联系着。灵感状态的特征，表现为人的注意力完全集 中在创造的对象上，所以在灵感状态下，创造性思维的工作效率极高。如在高一 一堂研究数列实际应用问题的课上，一部分学生很难理解处理“等额”还款的方 法，出乎意料的是：张其文的一个形象假设“小猪理论”（后来同学们这 样称呼的）竟给大家解开了迷，即五年前的一对公猪、母猪，五年后不再是只有 两只猪了，因为正常情况下，大猪可以生小猪，小猪可以生小小猪。同学们 终于有了这样的体验：在金融领域内，五年前的欠款不再是五年后的那个款值 了，从而再次处理相关问题时，同学们觉得得心应手。又如在高二一次立体 几何的习题课上，我给同学们提出了这样一个问题：过空间同一点的四条射线两 两成等角 ，求 的大小。许多同学通过搭建模型，建立一个正三棱锥，从顶点 出发的三条侧棱所在射线两两成角 ，第四条射线是正三棱锥高线的反向延长 线，则正三棱锥高线与侧棱夹角为 ，然后寻找角 的三角方程求得。而我 们班的陈元久、季福昊等同学提出了下面的想法：这四条射线可看作从一个正四 面体外接球的球心出发与四顶点的连线所在的射线， 因为符合四条射线两两成等 角的条件，然后再求之顿时赢得了同学们的阵阵掌声。当大家问他们怎么想 到的，他们却不知所云，其实也就是一种“灵感”或者是一种“联想”。事实上， 小学生还几乎没有灵感，在中学阶段，灵感也只是一个开始，还很不明显，它必 须具有扎实的基本功，丰富的“原形”积累，合理的联想，良好的思维品质，超 强的有意注意能力，才能为灵感的萌生奠定基础。 资优生的数学创新性学习是一种探索性的学习， 体现了分析思维和直觉思维 统一的特点。他们有强烈的好奇心和大胆的想象力，问题意识强，对于渴望解决 4 的中心问题常常要进行反复的、 艰苦的、 长时间的探索。 我们先看这样一个案例： 在高三一堂我向全区高中数学教师公开的课上，我就课题数列与函数迭代引 导学生探究了这样一个问题：对于确定的函数y=f（x） ，xD，使得数列发生器 产生有限数列 n x无穷数列和 n x初始数据x的 0的探究。具体问题如下：现定义 f（x）= 12 x x 。 （1）若输入x0 8 1 ，则由数列发生器产生数列xn 请写出数列xn 的所有项； （2）若要数列发生器产生的数列只含有项，求输入的初始数据xk 0 的值； （3）若要数列发生器产生一个无穷数列，试写出两个初始数据x的值，并 说明理由。并回答符合条件的初始数据x 0 0还有哪些？ 同学们迅速完成了问题 （1） ， 即 xn 的所有项共三项， 依次是 111 , 642 ； 还没等其他同学将问题（2）思考完毕，徐驰同学已举手回答： 0 1 2(1) x k 。 他的回答不仅让同学吃了一惊，而且让听课的老师刮目相看。我紧接着问他推理 过程，他说是通过问题（1）的尝试和猜想搞出来的。我们可以看到：徐驰同学 的回答正反映了“概括化” 、 “跳跃性”的直觉思维的特点，但结论的正确性有待 证 明 ？ 谁 能 给 出 这 个 结 论 的 证 明 ？ 很 多 同 学 都 通 过 递 推 计 算 得 123 11 , 1 22(1)2(2) xxx kkk ,， 1 , 2(1) k x kk 即 1 2 k x ， 所以数列只含有k项。我在肯定他们正确的同时，又提出如果我们不知道猜想 0 1 2(1) x k 的结论，那么你们又怎么进行分析呢？张雪峰这样回答：我由递 推公式 1 , 21 n n x n x x 推得 1 11 2 nn xx ，从而得到通项公式 0 0 21 n x x nx ，因为 5 数列只含有k项，所以 1 2 k x ，则 0 1 2(1) x k 。张雪峰同学从确定数列通项 公式入手，遵循严密的逻辑规律，逐步推导，最后获得合理的结论，这是分析思 维的表现。下面请继续回答问题（3） ，不一会儿，几乎所有同学都有答案了，徐 文晶告诉大家，一切非负实数均可为初始数据0 x的值，因为得到的f（x）恒为非 负，则xn的项恒为非负，当然就不出现 1 2 的 x 项，所以得到无穷数列xn ； 我请大家继续探究：初始数据 0的值能取负数吗？姚琼说：由通项公式 0 0 21 n x x nx 可知，欲得到无穷数列xn ，当且仅当 0 0 21 x nx 恒有意义，所以当 且仅当 0 1 2 x n （）的所有值即可符合条件的初始数据xnN 0。对呀，姚琼 使用的分析法步步严密，每一步都符合条件的初始数据x0的充要条件，也就得到 初始数据x0的所有值。由此可见，数学问题的探究过程应是分析思维和直觉思维 的统一，在教学中对资优生的直觉思维，一是要保护，二是要引导，引导他们要 “知其然，又知其所以然” ，从而发展直觉思维和分析思维能力。 二、资优生数学创新性学习的激发 叶澜教授在主持的“新基础教育”改革实验中，提出以课堂为中心和起点， 关注师生生命自主和谐发展，其核心理念是把课堂还给学生，让课堂充满生命活 力；把班级还给学生，让班级充满成长气息；把创造还给教师，让教育充满智慧 挑战。我相信，以二期课改教育理念为指导，生成更多有时代色彩的课堂教学模 式，激发学生创新性学习，从而一定能建构出创新人才成长的平台。 6 重视数学知识形成过程的教学，采取“一导、二揭、三经历”的操作方式， 激发资优生新颖、独特且有意义的思维活动。数学知识的形成，一般要经历：知 识发生过程；发展深化过程；知识应用过程。目前我们教材提供的是多以定论形 式出现的封闭型知识，为了让资优生既继承人类优秀的文化遗产，又不断推进传 统文化，我采取了“一导、二揭、三经历”的操作方式。“一导”，即知识发生 过程的导入。当知识发生过程与学生已有的知识有密切联系时，我常常通过设计 问题，使学生在解决问题的过程中，自然形成新概念和新公式。如在“对数恒等 式”的新授课上，我提出了这样一个问题：利用指对数的互逆运算的关系式 和log b aN a Nb ，请写出其它形式的恒等式。陈杨同学迫不及待地冲向讲 台，在黑板上写出了“， logaN aN log b aa b ”两条等式，导致几乎所有学生 将公式“对数恒等式”命名为陈杨公式，这样既培养了学生学习数学 的热情，又激发了学生独立建构新知识的思维活动。“二揭”，即对数学知识形 成过程中所凝聚的思维因素给予充分揭示，通过问题，创设思维场，启迪学生思 维；通过学生说自己的思考过程，比较哪种想法最好等活动，培养学生思维的批 判性、独特性。“三经历”，即让学生经历思维实践，在参与中锻炼思维，可进 行“问题解决实践”、“小论文实践”、“命题实践”等方式，促进学生创新性 学习和数学素养的提高。 logaN aN 突出基本数学思想和方法的教育，特别是数形结合思想的教育，促进数学观 念的形成，激发资优生丰富的联想思维活动。什么是数学？在 19 世纪末，恩格 斯根据当时数学发展情况，做了一个精密的总结。他说，数学就是研究空间形式 和数量关系的科学。恩格斯这个定义，直到现在，仍然概括了数学的大部分。华 罗庚他关于形和数之间的关系，描写得非常好。他说，数缺形时少直观，形缺数 7 时难入微。数形结合百般好，隔离分开万事非。因此，我常常通过引导学生深入 的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的 联想思维大有帮助。那么如何进行数学思想方法的教育呢？我认为：首先，把数 学思想方法与教学内容有机地结合起来。其次，加强数学思想方法教学的系统性 和有序性的研究。数学思想方法的教学是一个长期的过程，为了整体上发挥最佳 的教学效益，有必要研究高中各年级、各章节数学思想方法的教学目标和训练序 列，把握对每种数学思想方法明确讲授的时机，取得更好的教学效果。另外，推 进数学思想向更高层次转化，培养学生用数学的思维方式去考虑问题、处理问题 的自觉意识或思维习惯，注重数学观念的形成。 引导学生积累“题源” ，夯实基础，通过竞赛辅导和参加各类竞赛，激发资 优生高度的数学研究意识和专注力，通过变换角度、类比等方式，诱发资优生的 “灵感”。翻开数学发现的历史，可以看到许多数学发现都来自数学家的灵感。 例如笛卡儿在 1619 年 11 月 10 日晚， 他带着长时间思索而不得其解的问题 （如 何把代数与几何结合起来的问题）入睡了，一夜连续作了几个梦，梦中找到了他 所要找寻的答案，对此，笛卡儿后来回忆道，受梦（灵感）的启示，第二天，我 开始懂得这惊人发现的基本原理。 这个基本原理就是坐标几何的思想。 1880 年， 法国著名数学家庞加勒为寻找富克斯函数的变换方法， 进行了长期的紧张思索工 作，但一直毫无头绪。一天，他打算暂时把工作停下来到乡下旅行，以便放松一 下自己的头脑。然而，就在他登上马车的一瞬间，一个新颖的思想闯入了他的脑 海，如他所言：我的脚刚踏上刹车板，突然想到一种设想，我用来定义富克 斯函数的变换方法同非欧几何的变换方法是完全一样的。以上事实表明：当思维 活动达到高潮，问题仍百思不得其解时，此时通过某一信息或偶然事件的刺激、 8 诱发才有可能迸发灵感。因此，我认为：首先，夯实基础是诱发灵感的前提。我 尝试了“题源教学法” 。 “题源”是相对“题海”而提出的，它是将同一类数学问 题引向深入，是对同一类数学问题的总体描述，揭示问题的本质特点。我在课堂 上常常通过习题变式，问题引伸和结论推广这种方式帮助和指导学生积累“题 源” ，既注意问题的相似点，又注意其差异处，使学生得到一个又一个的新突破 和新发现。其次，只有对数学具有强烈的探究欲望和过程，才能促进思维活动达 到高潮，我采用每周两个小时的竞赛辅导方式和利用学生参加各类竞赛的平台， 培养他们高度的专注力和探究意识。又通过变换角度、类比联想、问题反思等方 法，诱发资优生的“灵感”。如在解决下面问题中：已知关于x方程 有且仅有两个实根（含重根），求实数的取值范围。 学生一致认为高次方程化为低次方程是解本题的基本方法， 但将方程左边看作 422 2xaxxaa0a x 的四次多项式进行因式分解，感到难度很大。然后我旁敲侧击，问道：你对怎样 的多项式分解因式会得心应手？对于本问题方程左边的多项式你又可以怎么思 考？结果，不等我说完，几乎所有学生都知道看作a的二次多项式能很快达到因 式分解的目的，从而达到转化为两个一元二次方程有且仅有两个实根（含重根） 的问题。最后我又请学生对问题进行总结和反思，体验解题本质。我认为：如果 能长期