寒假数学第5讲《圆与扇形初步》.pdf

+ 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 1 圆圆圆与与与扇扇扇形形形初初初步步步 5 5 5 （1） 求下列图形的周长和面积。（单位： 厘米， 取 3.14） （2）根据已知信息，将表格填补完整。 （单位：厘米， 取 3.14） 半径（r） 直径（d） 周长（C） 面积 （S） 1 2 6 25.12 78.5 通过观察此表，回答：圆的半径扩大 n 倍，周长和面积分 别扩大几倍? 圆的基本公式 【分析】【分析】 （1） 30 2 r2 3.1494.2 2 C （cm） ， 22 30 r3.14 ()706.5 2 S ( cm2)； 2 r23.14743.96C （cm） ， 22 r3.147153.86S （cm2） ； 30 r=7 - 例例1 了解勾股定理历史，定义 了解勾股定理和弦图的证明 利用平方差公式和勾股定理解决 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 2 （2） 半径扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 2 n 倍. （1）一个圆的周长是 18.84，它的直径是 ，半 径是 ，面积是 。 （ 取 3.14） （2）一个圆的面积是 50.24，它的周长是_。 （ 取 3.14） 圆的基本公式 【分析】【分析】 （1）6，3，28.26； （2）25.12. （1）一个直径为 6 厘米的圆内并排放置三个圆，直径分 别是 1 厘米、2 厘米、3 厘米，将三个圆挖空后，剩余的 阴影部分面积是多少?内部三个圆的周长总和与大圆周长 比较，谁大谁小?（ 取 3.14） 圆的基本公式 半径（r） 直径（d） 周长（C） 面积（S） 1 2 6.28 3.14 2 4 12.56 12.56 3 6 18.84 28.26 4 8 25.12 50.24 5 10 31.4 78.5 - 例例2 - 练一练练一练 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 3 （2）四个顶点都在圆上的长方形 ABCD，长、宽分别是 4 厘米，3 厘米.将这个长方形挖空后，剩余的阴影部分面积 是多少?（ 取 3.14） 圆的基本公式 【分析】【分析】 （1）面积 222 1311 3( )( )17.27 222 S ， 周长相等，都是6. （2） 对角线 AC 正好是圆的直径,根据勾股定理，可知 AC 长为 5 厘米， 所以圆的半径为 2.5 厘米. 2 2.5347.625S . 【教学提示】 在 （1） 中， 只要内部圆都是排布在直径上， 则内外周长都是相等的。在（2）中，由于长方形对角线 AC， BD 的交点正好是长方形的中心， 也应当是圆的中心， 即圆心，所以对角线 AC 经过圆心，必定是直径，这样可 以避开中学知识解释为什么 AC 是直径。 （1）如图，有五个同心圆的半径分别是 1、2、3、4、5， 求图中阴影部分的面积. （ 取 3.14） 圆环的公式 C D B A C D B A - 例例3 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 4 （2）如图是圆环的一半，面积是 28.26 平方厘米，那么 图形的周长是多少?（ 取 3.14） 圆环的公式 【分析】【分析】 （ 1 ） 22222 54321S = (54321)1547.1 （2）根据 22 ()SRr ，所以 22 228.263.1418Rr ， 又有 3Rr ，根据平方差公式 22 ()()RrRr Rr ，则 1 836Rr ，图形周长是 1 2 32 ()6624.84 2 Rr . （1） 如图， 两个同心圆中， O 是直角， 阴影四边形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，求两圆之间圆环部分的面积。( 取 3.14) 圆环的公式 - 例例4 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 5 （2）如图，两个同心圆中， O =30 ，阴影四边形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，求两圆之间圆环部分的面积。( 取 3.14) 圆环的公式 【分析】【分析】 （ 1 ） 22 11 22 BCOADOABCD SSSRr 四边形， 所 以 22 240 ABCD RrS 四边形， 圆环面积 22 ()40125.6SRr. （2）如图，一个顶角为 30 的等腰三角形 XYZ，设腰 的长度是 a， 翻折后 XYW 是等边三角形， 所以 YW=a， 那么 YH= 1 2 a， 2 111 224 XYZ Saaa ， 所以BCOADOABCD SSS 四边形 = 22 11 44 Rr . 所 以 22 480 ABCD RrS 四边形 ， 圆 环 面 积 22 ()80251.2SRr. 【教学提示】直角三角形中，30 度所对应的直角边是斜 边的一半，这个结论很重要，应当让学生记住。 （2）中也 可以利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一 C D A O B A D C O B 30 a a H Z W X Y 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 6 半直接算出四边形 XYZW 面积。 （1）求下左图中扇形的周长和面积。 （ 取 3.14） （2）求下中图中两个扇形的面积之和。 （ 取 3.14） （3）求下右图中扇环的周长和面积，其中大圆半径是 5，小圆半径是 4.（ 取 3.14） 扇形的基本公式 【分析】【分析】 （1） 100 2 92918 15.733.7 360 C ， 22 1005 3.14 970.65 36018 Sr ； （2） 22 140605 3.14 662.8 3609 Sr . （3） 22 80 (54 )26.28 360 S . 一个扇形的半径是 10 厘米，周长是 35.7 厘米，试求出这 个扇形的圆心角及面积。 （ 取 3.14） 扇形的基本公式 【分析】【分析】 法 1：弧长为35.7 10215.7 厘米，半径为 100 r=9 60 140 r=6 80 - 练一练练一练 - 例例5 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 7 10 厘米的圆周长为 2 3.14 10=62.8，15.7 62.8= 1 4 ，所 以 扇 形 的 圆 心 角 是 1 36090 4 度 ， 面 积 就 是 22 11 3.14 1078.5 44 r 平方厘米。 法 2：直接利用公式：扇形面积 1 2 Slr ，其中 l 表示弧 长，r 表示半径.可知 1 15.7 1078.5 2 S 平方厘米。 【教学提示】扇形面积 1 2 Slr ，可以将扇形想象成一个高 为 r，底为 l 的三角形来解释此公式，也可根据面积 2 2 360360 nn r Sr ； 弧长 2 360180 nn r lr ， 来推导此公式， 此公式应重点强调。 如图，有 7 个半径为 1 的圆紧密排布，用一根线将其紧 紧围绕起来。(取 3.14) （1）求外围线圈的周长； （2）求图示阴影部分的面积。 CA B O P - 例例6 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 8 【分析】【分析】 （1）如图，线圈有直的部分和弯曲的部分， 显然 AC=PO=2，弧 AB 的圆心角是 60 ，长度为 60 2 3603 ，总的周长 2 6612218.28 3 C . （2）每个小块阴影面积为 2 90 2 1212 3602 ，一 共有 6 小块，总的面积 (2)61232.58 2 S . （1）如图，这是一个“方中有圆”的图形，已知圆的半径 为 1，请分别求出正方形和圆的面积，并计算正方形和圆 的面积比。 （2）如图，这是一个“圆中有方”的图形，已知圆的半径 为 1，请分别求出圆和正方形的面积，并计算圆和正方形 的面积比。 （3） 如图， 这是一个“方中有圆， 圆中有方”的奇妙图案， 已知圆的面积是 62.8，求大小两个正方形的面积. （取 3.14） - 例例7 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 9 方中圆，圆中方 【分析】【分析】 （1）圆的半径为 1，所以圆的面积为，显 然正方形的边长为 2，所以正方形的面积为 4。正方形 与圆面积的比为4: （2）正方形的边长为 2，所以面积为 4，而圆的半径是 正方形对角线的一半， 由正方形的面积是对角线平方的 一半， 可得对角线的平方为 8， 所以圆半径的平方为 2， 圆 的 面 积 为 2 ， 所 以 圆 和 正 方 形 面 积 的 比 为 。 （3）方圆方的面积比为4:2 ，62.8 20 ，所以大 正方形面积为 4 20=80，小正方形的面积是 2 20=40. 如图， 正方形 ABCD 对角线交于点 O， 图中的半圆和圆 弧的圆心分别是点 O 和点 C，已知左边的一块阴影部 分面积是2.58平方厘米， 求另外两块阴影部分的面积。 方中圆，圆中方 O C B A D O C B A D - 例例8 五年级 第 5 讲 圆与扇形初步 （C 版） 10 【分析】【分析】 根据4:模型， 容易知道 :4: ABCDBCD SS 正方形扇形 （相当于4:模型的一个角， 也会满足4:） 。 此时部 分占比为 4 2 22 ，和可以合并成 AOB，占比 为 1， 所以部分占比为