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第3章 有限元分析的力学基础 由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力、温度、位移约束等）将产生变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。具体地，将在五个简化条件下，定义有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件，本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。3.1 变形体的描述、变量定义、分量表达3.1.1 变形体在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed body)，它与材料的物理性质密切相关。如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形状变形体和任意形状变形体。简单变形体如杆、梁、柱等，材料力学和结构力学研究的主要对象就是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述将是有限元方法的重要基础。3.1.2 基本变量当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先，我们可以观察到物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。图3.1 变形体的描述描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应有材料参数来描述物体的材料特性。图3.2 变形体的描述及所需要的变量总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移(displacement) (描述物体变形后的位置)应变(strain) (描述物体的变形程度)应力(stress) (描述物体的受力状态) 对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用微小体元(representative volume) dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。3.1.3基本方程 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变、应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程： 受力状况的描述：平衡方程 (equilibrium equation) 变形程度的描述：几何方程 (strain-displacement relationship) 材料的描述：物理方程 (应力应变关系或本构方程) (stress-strain relationship or constitutive equation) 3.2 弹性体的基本假设 为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。 (1) 物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2) 物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。(3) 物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4) 线弹性(linear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5) 小变形(small )假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量 (二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。3.3 平面问题的基本力学方程 平面问题 (2-dimensional problem)，简称2D问题。 对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材料类型、指定的边界条件(受力和约束状况)。如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。 三大类方程为 力的平衡方程(变形体的内部) 几何变形方程(变形体的内部) 材料的物理方程(变形体的内部、边界)边界条件为 位移方面(变形体的边界) 外力方面(变形体的边界)3.3.1 三大类方程之一：力的平衡方程1. 微小体元上的平面应力分量平面问题实际上是空间问题的一种特殊情况，即物体在厚度方向(z)上较薄，因此，认为在沿厚度方向上各种应力很小(或为零)，可以忽略。设在变形体上的任意一点a (x，y)取一个微小体元dxdy_ t (注意t为厚度)，如图3.4所示，每一个侧面上的任意力(单位面积上的)都可以分解为沿x方向和沿y方向的力，对于垂直于侧面上的力(即沿着所在平面的法线方向)叫做正应力(normal stress)，而位于侧面内的力(即沿着所在平面的切线方向)叫做剪应力(shear stress)。对于图3.4所示的几何体，bc边与厚度t组成的侧面我们记作bc_t，它与ad_t侧面在x方向上相差dx的距离，而cd_t侧面与ab_t侧面在y方向上相差dy的距离。下面给出各个侧面上的应力定义：(3.1)其中DAy表示法线方向沿y轴的平面，DPx为作用在DAy面上合力沿着x方向的分量，若用指标符号来表示syx，可写成s21。若改变(3.1)式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。 应力符号有两个下标，第一个下标表示受力面的法线方向，第二个下标表示力的方向，如图3.3所示。对于图3.4所示的微小体元dxdy_t，其各个受力面上的所有应力都标注在该图中。图中的和分别为作用在物体上沿着x方向和y方向的单位体积力(body force)。图3.3 应力符号的含义图3.4 空间坐标系中的平面问题 (z方向无任何力，其等厚度为t) 在推导平衡方程之前，做好以下准备。准备1：应力的增量计算 在推导平衡方程时，需要计算不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx或dy的差别，以sxx为例，由高等数学中的Taylor级数展开，有(3.2)略去二阶以上微量，有(3.3) 准备2：应考虑各个方向合力的平衡 在表达各个面上的合力时应注意以下几点： 有四个侧面，在平衡方程中，应考虑所有合力的平衡； 应力在经过dx或dy变化后的位置上有增量表达； 约定：正应力沿外法线方向为正，剪应力的正方向如图3.4所示； 应力在各个侧面上为均匀分布。 2. 微小体元的几个平衡关系 对如图3.4所示的微小体元dxdy_t (平面问题)，应考虑以下平衡关系： 沿x方向所有合力的平衡； 沿y方向所有合力的平衡； 所有合力关于任一点的力矩平衡。就平衡关系，有(3.4)具体地，有其中和分别为沿x方向和y方向的单位体积力。利用(3.3)式，上式化为(3.5)进一步化简后，有(3.6)同理，就平衡关系，由，有(3.7)就平衡关系(力矩平衡)，对微小体元dxdy_t的中心点求力矩，由，得(3.8)略去高次项后，有(3.9)这就是剪应力互等定理(reciprocal theorem of shear stress)。因此，以后可以将这一关系直接引用到方程中去。3微小体元的平衡方程 归纳以上的推导，平面问题的平衡方程为(3.10)如果代换其中的第三式，则(3.10)式可写为两个方程，即(3.11)3.3.2 三大类方程之二：变形的几何方程 设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后为APB，P点变形到P点的x方向位移为u，y方向位移为v，如图3.5所示。图3.5 平面问题中的变形表达 1. 平面变形量 (应变)的定义 从图3.5可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方向：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。 (1) 定义x方向的相对伸长量为(3.13) (2) 定义y方向的相对伸长量为(3.14) (3) 定义夹角的变化 PA线与PA线的夹角为(3.15) PB线与PB线的夹角为(3.16)则定义夹角的总变化为(3.17)平面变形体的几何方程 归纳以上方程，则平面问题中定义应变的几何方程为(3.18)写成指标形式(3.19) 由几何方程可以看出，就平面问题，如果已知2个位移分量u和v，可以通过(3.18)式惟一求出3个应变分量。但如果是一个反问题，即已知3个应变分量是，就不一定能够惟一求出2个位移分量u和v，除非这3个应变分量满足一定的关系，这个关系就是变形协调条件(compatibility condition)，其物理意义是，材料在变形过程中应是整体连续的，不应出现“撕裂”和“重叠”现象，如图3.6所示。(a) 变形前 (b) 变形后的“撕裂”现象 (c) 变形后“重叠”现象 (d) 协调的变形状态图3.6 变形的协调性 基于几何方程，可以推导出变形协调条件为(3.20)即(3.21)只有满足了变形协调条件(3.21)的应变分量或应力分量(该方程也可通过物理方程用应力分量来表达)，才能惟一确定变形体的连续位移场。3.3.3 三大类方程之三：材料的物理方程 材料的物理方程也叫做材料的应力应变关系或本构方程。根据广义Hooke定律(generalized Hooke law)，平面应力情况下的物理方程为(3.22)写成矩阵形式为：或逆形式(3.23)其中E为弹性模量(elastic modulus)或杨氏模量(Youngs modulus)，G为剪切模量(Shear modulus)，m为泊松比(Poissions ratio)，且有关系(3.24)3.3.4 边界条件 边界条件 (boundary condition)，简称BC。一般包括位移方面和力平衡方面的边界条件，对于变形体的几何空间W，其外表面被位移边界和力边界完全不重叠地包围，即有关系W=Su+Sp，其中Su为给定的位移边界，Sp为给定的力边界。 1. 位移边界条件在平面问题中，有关于x方向和y方向的位移边界条件，即(3.25)其中和为在Su上指定的沿x方向和y方向的位移，Su为给定的位移边界。2. 力的边界条件对于如图3.7所示的力边界条件，和可分为所作用的沿x方向和y方向的面力，在力的边界上取微小体元dxdy_t (平面问题)并考察它的平衡问题。图3.7 边界条件 由微小体元的x方向合力平衡，有(3.26)注意ds为边界上斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为，则上式简化为(3.27)同样，可建立y方向合力和力矩的平衡方程；将微小体元的三个平衡方程汇总，有(3.28)其中Sp为给定的力边界，由于，则重写上式，有(3.29)3. 边界条件汇总将位移边界条件记为BC(u)，将力边界条件记为BC(p)。综上所述，将边界条件写成指标形式。(3.30)(3.31)其中nj为边界一点上外法线的方向余弦。3.4 空间问题的基本力学方程 空间问题 (3-dimensional problem)，简称3D问题。可将2D问题的基本方程推广到3D问题，图3.8为3D情形下的应力分量。图3.8 空间问题中的应力分量3.4.1 空间问题的基本力学变量 空间问题变形体中任意一点的位移有沿x方向、y方向、z方向的位移分量，即位移分量为(u，v，w)，而应力分量有9个，见图3.8，由剪应力互等，有，因此独立的应力分量为6个，应变分量的情况与应力相同，空间问题三大类变量汇总如下：位移分量：u v w应变分量：exx eyy ezz gxy gyz gzx 应力分量：sxx syy szz txy tyz tzx3.4.2 空间问题的三大类力学方程和边界条件 可以完全按平面问题的推导方法，或直接将2D情形下的方程进行扩展得到以下方程。 (1) 平衡方程(3.32) (2) 几何方程(3.33) (3) 材料的物理方程 (应力应变关系或本构方程)(3.34)或写成另一种形式(3.35) (4) 边界条件(BC) 位移边界条件BC (u)(3.36) 力边界条件BC (p)(3.38) 以上变量和方程是针对从任意变形体中所取出来的dxdydz微小体元来建立的，因此，无论所研究对象(变形体)的几何形状和边界条件有何差异，但基本变量和基本方程是完全相同的，不同之处在于变形体的几何形状W和边界条件BC(u)及BC(p)，所以，针对一个给定对象进行问题求解的关键是如何处理变形体的几何形状和边界条件。3.5 弹性问题中的能量表示 弹性问题中的自然能量包括两类：施加外力在可能位移上所做的功，变形体由于变形而存储的能量。 出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组成的物理量，如势能(以位移为基本变量的表达)、余能(以应力为基本变量的表达)等，下面分别给出具体的表达式。3.5.1 外力功外力功也叫做可能功，即所施加外力在可能位移上所做的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力。这些力被假设为变形无关的不变力系，即为保守力系，则外力功(work by force) 包括这两部分力在可能位移上所做的功。 在力边界条件上，由外力(面力)在对应位移上所做的功(在Sp上)。 在问题内部，由体积力在对应位移上所做的功（在内）则外力的总功为(3.39)3.5.2 应变能 以位移(或应变)为基本变量所表达的变形能叫做应变能(strain energy)。3D情形下变形体的应力与应变的对应关系为可以看出，其应变能应包括两个部分：对应于正应力与正应变的应变能，对应于剪应力与剪应变的应变能。下面分别讨论这两种情形下应变能计算。1. 对应于正应力与正应变的应变能如图3.9所示，在Oxy平面内考察由于主应力和主应变的作用所产生的应变能。设在微小体元dW=dxdydz上只作用有sxx与exx，这时微体的厚度为dz，则由图3.9中的力与位移的关系，即FDu曲线(可由试验所得)，可求得微体上的应变能为(3.40)则在整个物体W上，sxx与exx所产生的应变能为(3.41)图3.9 正应力与正应变产生的应变能 另外两个方向上的主应力和主应变(syy与eyy，szz与ezz)所产生的应变能与上面的计算公式类似。2. 对应于剪应力与剪应变的应变能先考虑一对剪应力与剪应变，如图3.10所示，假设在微小体元dxdydz上只作用有txy与gxy，这时微体的厚度为dz，由于txy是剪应力对，即为txy和tyx，将其分解为两组情况分别计算变形能，如图3.10所示。 由于txy与gxy的作用，在微体上产生的应变能力(3.42)图3.10 剪应力与剪应变产生的应变能在整个物体W上，txy与gxy所产生的应变能为(3.43) 另外的剪应力和剪应变对(与，与)所产生的应变能与上面的计算公式类似。3. 整体应变能由叠加原理，将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的应变能相加，可得到整体应变能(3.44) 若用指标形式来写变形体的应变能，则有(3.45)3.5.3 系统的势能 对于受外力作用的变形体，基于它的外力功(3.39)和应变能(3.44)的表达，定义系统的势能(Potential energy)为(3.46)3.6 虚功方程 虚位移的概念已在理论力学和材料力学中讲过。虚位移是指满足物体变形连续条件和几何约束条件的任何可能的无限小位移，虚位移不改变物体上原有外力的作用。物体上的外力在虚位移上所作的功称为虚功。对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功必等于零，这就是刚体的虚位移原理。实际上，它是以功的形式表达的刚体平衡条件。在结构有限元分析中，各种结构单元的单元刚度矩阵、载荷向节点的简化等几乎都是基于虚功方程推导出来的，因此，理解虚功方程的实质，对于今后理解、推导单元的刚度矩阵、载荷向节点的移置等很有帮助。 我们的研究对象为一个处于平衡状态的变形体，如图3.11所示。该物体是在体积力分量Fvx、Fvy、Fvz的作用下、在自由边界c1上所受表面上的分量为、的作用下、在约束边界c2的作用下，处于平衡状态。可以想象，在以上载荷作用下，物体肯定发生了变形，在物体内部肯定引起了真实的应力：。显然，物体就是在这样一种条件下，处于平衡状态，每个微单元体上的力系也都是一个平衡力系。图3.11现在设想该变形体发生了任意的虚位移，相应的虚应变，我们来计算相应的虚功。我们可以从两个方面着手来计算虚功。一个是从整体的角度，计算变形体上的外力在相应的虚位移上的虚功；另一个是从微观的角度，计算每一个微单元体上的力在相应的虚位移上的虚功，然后积分求和，得到总的虚功，再根据从这两个角度计算得到的虚功相等这一条件来得到虚功方程。整体的角度：作用在微单元体上的平衡力系中有体积力和各侧面上的应力组成的力系，因此，作用在所有微单元体上的力系的虚功之总和也相应地由两部分组成：式中，体力的总虚功；微单元体各侧面力的总虚功。又可分为两部分：一部分是物体内部相邻单元体公共侧面上的侧面力的总虚功，另一部分是物体边界侧面上的侧面力的总虚功。由于任意两个相邻微单元体在公共侧面上的力总是大小相等、方向相反，因此，它们的总虚功为零。在边界侧面，固定边界c2上的虚位移为零，所以相应的侧面力的虚功也为零。只是在有表面力作用的自由边界c1上的表面力虚功不为零，故有。因此：(3.47)微观的角度：因为每个微单元体的虚位移可以分解刚体虚位移和变形虚位移两部分，所以也相应地由两部分组成：式中，平衡力系在刚体虚位移上的总虚功，只有在变形虚位移上