天津理工大学大学物理：刚体.ppt

1,在运动过程中，如果刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动就叫平动。,1.刚体运动学,平动与转动,刚体是一理想模型：在任何情况下，其形状和大小都不发生任何变化的物体，也就是说物体上任意两点之间的距离永远不变。,平动和转动是刚体最基本的两种运动。刚体的任何更复杂的运动都可以看成是这两种运动简单的或复杂的合成。,图中的AB即是这样一条直线。,刚体的定轴转动,2,容易看出，刚体作平动时其上各点的运动是完全相同的。知道了一点的运动情况，也就知道了各点的运动情况。,换句话说，在刚体运动学中，平动的刚体可简化为一质点来处理。在刚体动力学中也可以这样作。这就使得我们可以集中力量来研究刚体的转动问题了。,在这个意义上，描述质点运动的各种物理量，如速度、加速度等都可用来描述整个刚体的运动。,3,本章主要介绍的刚体绕固定轴的转动。,刚体运动时，其上各点都绕同一直线作圆周运动,刚体的转动,转轴,刚体转动时转轴固定不动,刚体绕固定轴的转动,对于固定的参照系如地球而言，某一直线上的各点保持不动，其它各点都以该点到该直线的垂足为圆心，在垂直于该直线的平面内作不同的圆周运动，这根直线就是转轴，这种运动就是刚体的定轴转动。,考察门窗的运动-看成刚体,4,刚体绕固定轴转动时，通常取一垂直于该固定轴的平面作为转动平面，0为转轴与某一转动平面的交点，p为刚体上的一个质点。此质点在这一转动平面内绕0点作圆周运动。,显然刚体中任何其它质点也都在各自的转动平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上。,由于各点离开转轴的距离和方位不同，所以各个质点的位移、速度和加速度一般各不相同，但是可以看出在相等的时间间隔内，其上各点都绕转轴转过相同的角度。,可以想见，质点作圆周运动时，用一些角量的变化来描述要比用线量来描述方便的多，下面看一下如何用角量来描述圆周运动。,5,总之，影响到刚体转动运动状态变化的原因不仅与力的大小有关，而且与力的作用点的位置以及力的方向有关。为概括上面这些因素的作用，引入力矩这样一个物理量。,2.力矩与转动定律,经验告诉我们，要使原来静止的物体以某一角速度转动；或使已经转动的物体改变其角速度，则不仅与所施的力的大小有关，且与力的作用点的位置及力的作用方向有关。,如开门窗时，用力越大门就转的越快，若力的大小相同，则作用点离轴越远门就越容易转动。即使用同样大小的力作用于同一点，力的方向不同效果就不一样。如果力的方向与轴平行或通过转轴，则将不能打开或关上门窗。,6,力矩,图为可绕0轴旋转的一刚体。设刚体所受外力F，在垂直于转轴0的平面内。转轴到力的作用线之间的垂直距离是d，d称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，用M表示,力的作用点离开转轴的距离是r，相应的矢径是，力与r之间的夹角是。可以看出，,所以上式可写成,7,如果外力不在垂直于转轴的平面内，可以把外力F分解成两个分力：一个与转轴平行F2；另一个F1在转动平面内，F2对刚体绕定轴转动不起作用，只有F1能使物体转动。因此我们把F理解为外力在转动平面内的分力。,8,力矩是矢量。它的方向和指向这样确定：方向垂直于r和F所决定的平面，在刚体绕定轴转动的情况下，M的方向和轴线方向相一致。它的指向由F和r所组成的右手螺旋决定，即由矢径的方向经过小于180o的角转到力的方向时，右手螺旋前进的方向。,根据力矩的大小和上面规定的力矩的方向，力矩可用下式表示,9,合力矩,若有几个力同时作用于刚体之上，则要求合力矩。由于力矩是矢量，它的合成遵从于平行四边形法则。但在刚体绕定轴转动的情况下，因为力矩只有两种可能的取向，用正负即可表示，因此力矩就可以用代数法求和。也就是说，在刚体定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上时，它们的作用相当于一个力矩的作用，这个力矩称之为这几个力的合力矩。它的量值等于这几个力的力矩的代数和,10,P点表示刚体中任一质点，质量是mi，P点到转轴距离ri。设刚体绕轴转动的角速度是，角加速度。质点所受到的外力Fi，内力fi（刚体中的所有其它质点对质点P所作用的合力）。为简单起见，假设外力Fi和内力fi都位于质点P所在转动平面内，它们与矢径ri的交角分别是i和i。,根据牛顿第二定律，质点P的运动方程为,刚体绕固定轴转动时，每一质点都作半径不同的圆周运动。根据刚体可看作是一不变的，由许多质点所组成的质点组来导出转动定律。,转动定律,11,把外力F和内力分解为切向力和法向力,可看出：法向力的作用线是通过转轴的，其力矩为零；起作用的只是切向力。,其中,等式两边分别乘上ri，得到,外力对转轴的力矩,内力对转轴的力矩,质点在切线方向上的运动方程是,12,对刚体内的全部质点，可写出同样的方程式。把这些式子全部相加，得到,因为内力总是成对出现的，彼此大小相等、方向相反，即内力的作用和反作用是沿着同一直线等值而反向，所以内力对转轴的力矩的总和等于零，即,因此上式变为,13,角加速度可移到求和号之外，即,等式左边是作用在刚体上的外力对转轴的力矩的代数和，即合外力矩，用M表示。,I是由刚体本身性质所决定的物理量，叫做刚体对转轴的转动惯量。于是，上式可写为,令,14,如果用矢量式表示，则为,上式表明：刚体在合外力矩M的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量I成反比。力矩的方向和角加速度的方向相同。,刚体的转动定律,15,转动惯量,由,知，转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积的总和。,由上面两式就可以算出一般物体绕某轴的转动惯量来。,相应的dm的体积元,体积元处的密度,体积元与转轴之间的距离,如果物体的质量是连续分布的，则上式可写成积分形式,16,转动惯量的物理意义,把转动定律,与牛顿第二定律,相比较,可以进一步了解转动惯量的物理意义：转动惯量I与质点的质量m相当。m是物体惯性大小的量度，与此类似，I是物体在转动中惯性大小的量度，或者说是物体保持转动运动状态本领大小的量度。,另外，由转动惯量I的定义,可以看出刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定的转轴的分布情况。,17,首先I与m有关；其次在m一定的情况下还和质量的分布有关。例如，两质量相同，形状大小也相同的圆盘，一个中间密度大而边缘密度小；另一个中间密度小边缘密度大，则I不同。例如一圆环与一圆盘，若质量m与半径R均相同，则圆环的I大于圆盘的I，粗略地讲质量的分布离轴越远越分散，则I就越大。,最后I还和轴的位置有关。例如，对于细长棒，绕通过中心的转轴和绕通过一端的转轴的I不同，这是由于轴的位置不同则每一质点到轴的距离就发生变化，因而I就不同。所以在提到I时都叫做某一轴的转动惯量。,18,质量为m，长为L的均匀细棒的转动惯量，假定,转轴通过棒的一端并与棒垂直时,质量为m，半径为a的薄圆盘，绕通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。,质点的转动惯量：,记住,转轴通过棒的中心与棒垂直,19,例题：如图所示，一滑轮可看作均匀薄圆盘。质量为m，半径为R。在圆盘边缘上绕一细绳，两端挂着质量为m1与m2的物体。若m1m2，忽略轴上摩擦力，且绳与圆盘之间无滑动。求圆盘角加速度与物体m1、m2的加速度a。（圆盘对中心轴的转动惯量mR2/2）,初看起来，滑轮两边的物体一上一下，似乎是质点动力学问题。但绳子不是在滑轮上滑过去，而是通过摩擦带动滑轮旋转。既然有摩擦，滑轮两边绳中张力并不相等，其差与滑轮转动有关。既然涉及到滑轮的转动，就不是质点动力学问题，而是刚体动力学问题了。,20,运用隔离法，对滑轮及物体进行受力分析。选地面为参照系，由牛顿第二定律可列出物体的运动方程,由于绳与滑轮之间无滑动，所以两物体的加速度大小相同。a1=a2,滑轮的运动方程可由转动定律给出,21,解上述方程即可得出,22,由此看出，滑轮两边的张力并不相等。但若滑轮质量可以忽略，即m=0，则有,这就是质点动力学问题了。,23,2如图所示，Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为3m、2m和1m的三个质点，QR=RS=l，则系统对00轴的转动惯量为_。,24,4均匀细棒OA的质量为M，长为L，可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（A）合外力矩从大到小,角速度从小到大,角加速度从大到小.（B）合外力矩从大到小,角速度从小到大,角加速度从小到大.（C）合外力矩从大到小,角速度从大到小,角加速度从大到小.（D）合外力矩从大到小,角速度从大到小,角加速度从小到大.,由A静止下落，此时角速度为0，竖直位置时角速度最大，A点时重力矩最大，由M=I知角加速度最大，竖直位置时，重力矩为0，角加速度为0。,A,25,设棒的质量为m，当棒与水平面成60角并开始下落时，根据转动定律有,其中,于是,3一长为l的均匀直棒可绕其一端与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成600角。然后无初转速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为全ml2/3，其中m和l分别为棒的质量和长度，则放手时棒的角加速度_；棒转到水平位置时的角加速度_。,棒转到水平位置时,26,1刚体对轴的转动惯量取决于_、_、_。,2.有两个半径相同、质量相等的细圆环，1环的质量分布均匀，2环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的德轴的转动惯量分别为J1和J2，则（A）J1J2（B）J12（B）1=2（C）1J2（B）J12（B）1=2（C）10。,C,30,3.刚体绕定轴转动的动能,转动动能,转动的物体能够作功，这说明转动物体具有一定的动能。那末它的动能是如何计算的呢？前面讲过，刚体可以看作是无数质点所组成的一不变的质点组，它的动能就等于各质点动能的总和。,考虑刚体中第i个质点，质量mi，离开转轴垂直距离ri，刚体绕固定轴转动时各质点的角速度相等，而线速度v不同，因此第i个质点线速度的大小,相应的动能,整个刚体的动能就是各质点的动能之和(动能公式),31,4.刚体的角动量及角动量守恒定律,角动量（动量矩）,质点的角动量,在质点动力学中，可以用动量来描述物体的运动状态。同样在转动问题中，也可以用角动量来描述物体的转动运动状态。角动量起的作用和线动量相类似。下面以质量为m的质点所作的圆周运动为例引入角动量的概念。,32,设圆半径为r，则质点m对圆心的位置矢量是,质点的动量是,方向处处和它的矢径垂直。,把质点动量的量值p和矢径r的乘积定义为质点对给定点即圆心0的角动量的量值，即,33,一般情况下，质点的动量P和它对于给定点的矢径不一定垂直，这时质点对某一给定点的角动量的量值应为质点的动量p和0点到p点的垂直距离d的乘积,因为,所以,或写成矢量形式,角动量是矢量，它的方向由右手螺旋法则确定。亦即方向垂直于r和p所组成的平面，指向由r经小于180o的角，转到p的右手螺旋的前进方向所确定。,34,刚体的角动量,刚体可看作是由许多质点所组成的一不变的质点组。考察其上第i个质点，它绕轴作半径为r的圆周运动。该点对转轴0的角动量的量值是,物体绕定轴转动时，整个物体的角动量就是各质点的角动量的总和,或写成,35,有了角动量的概念后，转动定律也可以用角动量来表述,物体所受对某给定轴的合外力矩等于物体对该轴的角动量的时间变化率。,相类似,相类似,36,角动量原理,设刚体在合外力矩M的作用下，绕定轴作匀变速运动。t时刻的角速度是1，角动量是L1，转动惯量为I。在t+t时刻的角速度是2=1+d，角动量变为L2，则角加速度为,由转动定律知,或,转动物体所受到的冲量矩，等于这物体在这段时间内的角动量的增量。此即角动量原理。,37,角动量守恒定律,由上式知，如果物体所受到的合外力矩,即,则,注意：角动量守恒的条件是合外力矩M等于零，但并不等于没有力矩对物体作用。它可能是根本没有外力矩作用，也有可能有力矩作用，但其矢量和为0。,当物体所受的合外力矩M为零时，物体的角动量I保持不变。此即角动量守恒定律。,38,下面的例子可以帮助我们理解角动量守恒的概念。,假定一人站在轴处光滑的转台上，两手各握住一个哑铃。手下垂时使台以一定的角速度转动，当两手平举时可以见到转速变小。为什么会这样呢？原因是这个系统有共同的角速度，但在举手的过程中转动惯量随时间增加。由于对转轴的合外力矩为0，因此按I=恒量，当I增加时，应减少。跳舞时，演员的快速旋转就运用了这个道理。,39,一人站在静止的转台上，一只手握住一个重轮的轴。轮子的轴和台的轴一致。若用另一只手不停地推动重轮转动，将会看到人和转台一起向反方向转动。原因是这个转轴是由两部分组成，各以角速度1、2绕同一轴转动。设两部分的转动惯量各为I1、I2，由于不受外力矩作用，角动量守恒。而且最初是静止的，因此有,即,旋转方向是相反的。,40,7一飞轮以角速度0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍，啮合后整个系统的角速度为（A）30（B）0/3（C）0（D）无法判断。,角动量守恒,B,聂,41,8.一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，角速度为1，如图所示，射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在同一直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，若子弹射入圆盘后的瞬间，圆盘的角速度为2，则（A）12（B）12（C）1=2（D）不能确定,角动量守恒,射入后I2I1，减小,A,42,10一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，则它受热膨胀时（A）角速度不变。（B）角速度变小。（C）角速度变大。（D）无法确定角速度如何变化。,光滑轴，转动动能不变。,受热膨胀：I=mr2，r增大，I增大，则变小；,遇冷收缩：I=mr2，r减小，I减小，则变大。,B,43,5如图所示，A、B两飞轮的轴杆在一条直线上，并可用摩擦啮合器C使它们连接，开始时B轮以角速度B转动，A轮以角速度A转动，设在啮合过程中两飞轮不受其它力矩的作用。当两飞轮连接在一起后，共同的角速度为，若A轮的转动惯量为JA；则B轮的转动惯量JB=_.,角动量守恒,44,6如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴0在水平面内转动，转动惯量为ML2/3，一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿出棒后子弹的速率为v/2，则此时棒的角速度应为_.,角动量守恒,45,7光滑的水平桌面上有一长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点O且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为mL2/3，起初杆静止，桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为_.,子弹角动量,角动量守恒,46,8有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达离转轴为r处时，转台的角速度为_,人的转动惯量为mr2,角动量守恒,47,4花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为0。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J0/2。这时她转动的角速度变为_.,5如图所示，一杆长l=100cm，可绕通过其上端的水平光滑固定轴0在竖直平面内转动，相对于0轴的转动惯量J=20kg.m2。原来杆静止并自然下垂。若在杆的下端水平射入质量为m=0.01kg、速率v=400m/s的子弹并嵌入杆内，计算杆和子弹一起运动时的角速度的大小。,练习：,48,4花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为0。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J0/2。这时她