Matlab：一维数组及其应用.ppt

Matlab：一维数组及其应用,一、一维数组二、一维数组在二维绘图中的应用三、一维数组在向量运算中的应用四、一维数组在一元多项式运算中的应用,一、一维数组,数值数组(简称为数组)是Matlab中最重要的一种内建数据类型数组运算是Matlab软件定义的运算规则，其目的是为了数据管理方便、操作简单、指令形式自然和执行计算的有效。无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函数)，总认定那种运算对被运算数组中的每个元素(Element)进行运算。,1、一维数组的两种形式,行数组：n个元素排成一行又称为行向量（rowvector）列数组：m个元素排成一列又称为列向量（columnvector）,一般情况下，向量指列向量,2、用方括号创建一维数组,整个数组放在方括号里行数组元素用空格或逗号分隔x=2,pi/2,sqrt(3),3+5i列数组元素用分号分隔y=2;pi;3/4;j标点符号一定要在英文状态下输入x=生成空数组,3、用冒号创建一维数组,x=a:b,x=a:inc:b,默认inc=1,x=a,a+inc,a+2*inc,a，b必须为实数,a是数组x中的第一个元素，b不一定是数组x的最后一个元素。,4、用linspace()函数创建一维数组,x=linspace(a,b),x=linspace(a,b,n),x=linspace(0,pi,10)x=linspace(1+i,100+100*i),在a,b区间内生成n个数据，包括a和b在内,默认n=100,若a，b为实数，等效于：,5、用logspace()函数创建一维数组,x=logspace(a,b),默认n=50,x=logspace(a,b,n),x=logspace(a,pi),6、引用一维数组中的单个元素,x=1:5k=2a=x(k)引用数组x中的第k个元素，将其赋值给变量ab=x(end)引用数组x中的最后一个元素，将其赋值给变量b,c=x(8)会出现什么结果？,7、一维数组中单个元素的赋值,x=1:5a=1.5k=3x(k)=0将0赋值给数组x中的第k个元素x(end)=a将a赋值给数组x中的最后一个元素,x(8)=6.5会出现什么结果？,8、引用一维数组中的子数组,引用一维数组x中的第2、5、9个元素，将其赋值给变量a,x=linspace(1,5)a=x(2,5,9),b=x(end:-1:1)c=x(1:2:end)d=x(2:2:end),b=?c=?d=?,x=linspace(1,5)s=2,5,9a=x(s),9、给一维数组中的子数组赋值,将2、7分别赋值给x的第1、4个元素,x=linspace(1,5)x(1,4)=2,7,x=linspace(1,5)s=1,4a=2,7x(s)=a,10、Matlab中的函数在一维数组上的运算规则,Matlab中的很多函数都可以直接以数组作为输入参数，函数输出也为数组。,输入为行数组，则输出也为行数组,输入为列数组，则输出也为列数组,10、一维数组的转置运算,x.x,x做转置（行列，列行）x做共轭转置,若x的元素均为实数，则x.与x的结果相同,x=(1:100),11、一维数组与一维数组的运算,x+yx-yx.*yx./yx.yx.y,加减乘右除左除幂,两个一维数组之间进行运算，要求：1、两个数组都为行数组（或都为列数组）2、数组元素个数相同，,对应位置的元素做,C语言中，可使用循环语句完成类似的操作,y+xy-xy.*xy./xy.xy.x,12、一维数组与数的运算,若x为数组，c为数（实数或复数），,x+cxcc.*xx./cx.cx.c,加减乘右除左除幂,数组的每个元素都与数c做,c+xc-xc*xc./xc.xc.x,13、与一维数组相关的函数,一维数组相关函数的应用以线性拟合为例,测得铜导线在温度Ti下的电阻为Ri，编写一个M脚本文件，用matlab提供的数组函数对数据进行线性拟合，求出斜率、截距和相关系数，并与origin的拟合结果进行比较。,x=0:0.2:2*pi;plot(x,cos(x),k*-);,二、一维数组在二维绘图中的应用,1、plot(a,b,string),a,b都是一维数组，以a中元素为横坐标，b中元素为纵坐标作平面曲线。a,b必须具有相同长度。string是用单引号括起来的字符串，用来指定图形的属性（点、线的形状和颜色）,黑色、实线离散点用星号,属性可以全部指定，也可以只指定其中某几个。排列顺序任意,2、线型、标记和颜色,3、用plot函数同时绘制多条曲线,plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,),x1,y1,s1第一条曲线及其属性x2,y2,s2第二条曲线及其属性属性可以不写,4、在已存在的图形上添加新图形,可以使用hold命令在一个已经存在得图形上添加一个新的图形。holdon：在输入新的plot函数得时候，matlab不会将现存得坐标轴删除，而是将新得曲线添加到当前的坐标轴中。当新的数据超出了当前坐标限的范围，matlab就将坐标轴重新刻度。holdoff：将当前的图形窗口中的图形释放，用以绘制新的图形。hold：实现hold设置的切换。ishold：查询hold当前是on还是off,例：使用hold绘制多个图形,5、在一个图形窗口中绘制多个子图,一个图形窗口可以包含多个子图，每个子图拥有自己的坐标轴,subplot(m,n,p)将一个绘图窗口分割成mn个子图，并将第p个子图选定为当前的绘图区域。,子图从最上边一行开始，从左至右、从上至下依次编号,例：使用子图,被激活的子图在用户输入另一个subplot或者figure命令之前会一直保持被激活状态。,当一个新的subplot命令改变了在图形窗口中的子图数量的时候，原来的那些子图就被擦除掉了，以便给新的子图腾出空间。,为了回到默认的模式并且在整个图形窗口中只用一套坐标轴，可以使用命令subplot(1,1,1),6、在多个图形窗口中绘图,激活绘图窗口figure(n)关闭图形窗口close(n)closeall擦除窗口的内容clf：将一个图形窗口的内容擦除而不关闭它。clfreset：将当前的图形窗口擦除，然后将诸如hold这样的所有属性重新设置为它们的默认状态。,例：使用多个图形窗口,为了在一个已有的图形窗口中绘制一个新的图形，这个窗口必须是激活的，或者是当前的图形窗口。,上机练习,三、一维数组在向量运算中的应用,1、向量的模（长度）,a=4,3,1d=sqrt(sum(a.*a)或：d=sqrt(sum(a.2),2、两点之间的距离,a=4,3,1b=5,2,3AB=sqrt(sum(a-b).2),3、向量的方向角与方向余弦，单位向量,a=4,3,1d=sqrt(sum(a.2)e0=a./d,4、向量的线性运算,a=4,3,1b=5,2,3c=1.6,直接利用matlab的数组运算规则即可进行运算,pab=a+bsab=abd=c*a,5、向量的内积（点积，点乘）,dot(a,b)=,sqrt(dot(a,a),Matlab中提供了dot()函数实现向量的内积,6、两个向量之间的夹角,tmp=dot(a,b)/sqrt(dot(a,a)/sqrt(dot(b,b)theta=acos(tmp),7、向量的叉积（叉乘）,cross(a,b)=,Matlab中提供了cross()函数实现向量的内积,8、向量的混合积：,dot(cross(a,b),c),上机练习：,3.以A(1,2,3)，B(2,0,5)，C(4,2,-1)为顶点的三角形的面积。,4.求以A(0,0,2)，B(3,0,5)，C(1,1,0)，D(4,1,2)为顶点的四面体的体积。,四、一维数组在一元多项式运算中的应用,借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。,一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用中如对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多项式；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。多项式函数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数，从理论上讲，它可以表示绝大多数复杂函数。在许多计算机的计算和编程中，很多函数值如sin(x),cos(x)等的计算都是先将函数进行Tailor展开为多项式进行逼近计算的，并且都能达到很高的精度。,1、多项式的表示和创建,在matlab中，一个一元多项式用一个行向量来表示的，向量元素为多项式系数的降幂排列，其中最后一个元素代表多项式中的0幂项。,p=1,-12,0,25,116,2、多项式的符号表示,poly2sym()把系数向量表示的多项式转为符号表示,poly2sym(p)用默认字符x来表示多项式的变量poly2sym(p,v)用字符v来表示多项式的便量,p=1,-12,0,25,116px=poly2sym(p)pt=poly2sym(p,t),3、计算多项式的值,p=1,-12,0,25,116;x1=2.3;x2=-1,3,7;,y=polyval(p,x),p1=polyval(p,x1);p2=polyval(p,x2);,计算多项式p在x处的值，x可以是标量，向量或矩阵,4、求多项式的根,r=roots(p)此函数返回多项式p的根组成的向量,多项式和多项式的根都是用向量表示的，为加以区别，多项式的根表示成列向量。,p=1,-12,0,25,116r=root(p),对于系数为实数的多项式，如果其根出现复数，则复数必是成对出现的。,5、由根创建相应的多项式,r=1;2;-1;3;7p=poly(r),p=poly(r)r是一个向量，构造一个多项式，其根为r,由于matlab在进行数据处理时存在截断误差，因此，poly函数的返回值有可能在该出现0的位置出现了一个非常接近0的数，有时还会使某些系数带有一个很小的虚部。因此建议对poly函数的输出结果再进行一次处理，从而消除有可能出现的数据错误。例如，可以通过比较将绝对值极小的数强制置0，或利用real函数将实部从结果中提取出来，取消错误虚部的影响。,由根构造多项式时，所得到的多项式的第一项为1,练习,6、多项式的加法和减法,当两个多项式的阶次不同时，其系数向量的长度也不同，这时需要先将低阶多项式的系数向量前边补上足够的0，以便使它和高阶多项式具有相同的长度，然后再执行加法（减法）运算。,Matlab没有专门的函数执行多项式加法（减法）,如果两个多项式的阶次相同，其系数向量的长度相等，多项式的加法就是将两个多项式向量直接相加（相减）。,7、多项式的乘法,a=1,2,3,4b=1,4,9,16c=conv(a,b),w=conv(u,v)此函数返回多项式u和v的乘积,多项式的乘法就是多项式系数向量之间的卷积,如果要执行多个多项式之间的乘法运算，需要重复使用conv函数,数学物理方法（陆全康赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P87,8、多项式的除法,q,r=deconv(b,a)q：用来存储b/a的商多项式，r：用来存储b/a的余数多项式,余数通常都与除数和被除数中较长的那个向量等长，因此r的前面一般有若干个0,此函数表示多项式b除以多项式a得到商多项式q和余数多项式r，如果r的元素全部为0，则表示多项式b可以整除多项式a。,多项式的除法就是多项式系数向量之间进行解卷积运算,练习,9、多项式的微分（求导）,polyder()多项式微分,k=polyder(p)求多项式p的微分多项式,k=polyder(a,b)求axb的微分,q,d=poyder(b,a)：求有理分式b/a的微分q：分子多项式d：分母多项式,10、多项式的积分,p=1,6,20,48,69,72,44h=polyder(g)q=polyint(h,44),q=polyint(p,k)对多项式p积分，k为积分常数q=polyint(p)对多项式p积分，积分常数为0,11、部分分式展开（留数计算）,找出两个多项式b(x)和a(x)之比b(x)/a(x)的留数、极点及直项向量。,将部分分式展开的形式还原为两个多项式b(x)和a(x)相除的形式,r,p,k=residue(b,a),b,a=residue(r,p,k),求函数在指定点处的留数,数学物理方法（陆全康赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P130,数学物理方法（陆全康赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P157,数学物理方法（陆全康赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P160,数学物理方法（陆全康赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P161,12、多项式的矩阵运算,p是多项式的系数向量，相当于用矩阵X代替多项式的变量来对矩阵进行计算，X必须为方阵。,X=pascal(4)p=1,2,3polyval(p,X)polyvalm(p,X),Y=polyvalm(p,X),13、多项式拟合,p=polyfit(x,y,n)多项式曲线拟合（最小二乘法）,n=1就是进行线性拟合,多项式拟合时的注意事项,在进行曲线拟合时对多项