正余弦定理的综合应用

1 / 10 正余弦定理的综合应用 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 正、余弦定理的综合应用 知识梳理 1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 . （ 1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （ 2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 .（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： (1)余弦定理： ； . 在余弦定理中，令 c=90 ，这时 cosc=0，所以 c2=a2+b2. （ 2）余弦定理的推论： ； . 利 用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （ 1）已知三边，求三个角； （ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 . 3.三角形面积公式： = 4.三角形的性质： .A+B+c=, 2 / 10 , . 在中 , c, c;A B , A BcosA cosB,a bA B . 若为锐角，则 ,B+c ,A+c ; ， 5.(1)若给出那么解的个数为： (A 为锐角 )，几何作图时，存在多种情况如已知 a、 b 及 A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数 已知两边和其中一边的对角解 三角形，有如下的情况： (1)A为锐角 一解两解一解 若，则无解； （ 2）当 A90 若 ab,则一解 若 ab ，则无解 典例剖析 题型一三角形多解情况的判断 例 1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数 （ 1），求； 3 / 10 （ 2），求； （ 3），求； （ 4），求； （ 5），求 解：（ 1） ， 只能是锐角，因此仅有一解 （ 2） ， 只能是锐角，因此仅有一解 （ 3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解 （ 4）由于为锐角，而，即，因 此有两解，易解得 （ 5）由于为锐角，又，即， 无解 评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合 “ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解 ” 。 题型二正、余弦定理在函数中的应用 例 2 在 ABc 中， AB 5， Ac 3， D 为 Bc中点，且 AD 4，求 Bc边长 . 分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设 Bc 为 x后，建立关于 x 的方程 .而正弦定理涉及到两个角，故不可用 .此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 .因为 D为 Bc中点，所以 BD、 Dc可表示为 x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 . 解：设 Bc边为 x，则由 D 为 Bc中点，可得 BD Dc x2， 4 / 10 在 ADB 中， cosADB AD2 BD2 AB22ADBD 42（ x2） 2 5224x2 在 ADc 中， cosADc AD2 Dc2 Ac22ADDc 42（ x2） 2 3224x2 又 ADB ADc 180 cosADB cos（ 180 ADc ） cosADc. 42 （ x2） 2 5224x2 42（ x2） 2 3224x2 解得， x 2 所以， Bc边长为 2. 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型 . 备选题正、余弦定理的综合应用 例 3 在 ABc 中，已知，求 ABc 的面积 . 解法 1：设 AB、 Bc、 cA的长分别为 c、 a、 b， . 故所求面积 解法 3：同解法 1 可得 c=8.又由余弦定理可得 故所求面积 5 / 10 评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变 形的技能和运算能力 . 点击双基 一 .选择题： 1.在中，则 A 为（） 解： 答案： A 2.在（） 解：由题意及正弦定理可得 答案： B 3.以 4、 5、 6 为边长的三角形一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 c.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 解：长为 6 的边所对角最大，设它为 则 答案 A 4.在中，化简 _ 解：利用余弦定理，得原式 6 / 10 答案： a 5.在中，则 _， _ 解： 又 答案： 课外作业 一、选择 1.在中，则 A 等于（） 解：由余弦定理及已知可得 答案： c 2.在 ABc 中，已知 b=40,c=20,c=60,则此三角形的解的情况是（） A.有一解 B.有两解 c.无解 D.有解但解的个数不确定 解： bsinc=20c,无解 答案： c 3.在中，则三角形为（） A.直角三角形 B.锐角三角形 c.等腰三角形 D.等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 7 / 10 答案 c 4.在中，则是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 c.钝角三角形 D.正三角形 解：原不等式可变形为 答案： c 5 在 ABc 中，若，则其面积等于（） ABcD 解： 答案： D 6 在 ABc 中，角均为锐角，且 则 ABc 的形状是（） A 直角三角形 B 锐角三角形 c 钝角三角形 D 等腰三角形 解：都是锐角，则 答案： c 7.在 ABc 中， cos=,则 ABc 的形状是（） A.正三角形 B.直角三角形 c.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可化为 =， cosA+1=cosA= 由余弦定理，得， aABc 为直角三角形 8 / 10 答案： B 8.在 ABc 中， A=， Bc=3，则 ABc 的 周长为（） 解：， =2=2,b+c=2(sinB+sin()=2()=6 a+b+c=6 答案： D 二 .填空题： 9.在中，已知，则 _ 解：由正弦定理得 设 1 份为 k，则 再由余弦定理得 答案： 10.在中， A、 B 均为锐角，且，则是 _ 解：由得 A、 B 均为锐角， 而在上是增函数 即 答案：钝角三角形 11.三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程的9 / 10 根，则三角形的另一边长为 解：由题意得或 2（舍去） 答案： 2 三 .解答题： 12.根据下列条件，判断是否有解？有解的做出解答 a=7,b=8,A=105a=10,b=20,A=80 b=10,c=5,c=60a=2,b=6,A=30 解： a=7,b=8,a90 本题无解 a=10,b=20,ab,A=8020sin60=10absinA 本题无解 b=10,c=5,bc,c=6090, 本题有一解 sinB= B=45,A=180-(B+c)=75 a=5() a=2,b=6,ab,A=30bsinA 本题有两解 由正弦定理得 sinB= B=60或 120 当 B=60时， c=90,c=4 当 B=120时， c=30,c=2 10 / 10 B