数学期望ppt课件

第四章随机变量的数字特征,1数学期望,2方差,3协方差及相关系数,4矩,1,4.1数学期望,数学期望的概念,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,2,例1：某班有N人参加考试，其中有ni个人为ai,i=1,2,解：,平均成绩为：,若用X表示成绩，则,求平均成绩.,3,一、数学期望的概念,1.离散型,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数绝对收敛，则称此级数的和为随,既有,数学期望简称期望，又称均值.,机变量X的数学期望。记作:EX.,4,例1甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：,X:甲击中的环数,Y:乙击中的环数,试问哪一个人的射击水平高?,解:甲、乙的平均环数为:,甲的射击水平比乙的高.,从平均环数上看,5,2.连续型,设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分,绝对收敛，则称此积分值为X的数学期望.,记为,说明,X的数学期望刻画了X变化的平均值.,6,例2设随机变量X服从Cauchy分布,其概率密度函数为,说明,由于,因而EX不存在.,(1)定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证.,(2)并不是任意一个随机变量均存在数学期望.,7,例3设有5个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xi,(i=1,2,3,4,5)都服从参数为的指数分布.,1.若将这5个电子装置并联,组成整机,求此整机的平均寿命E(M).,2.若将这5个电子装置串联,组成整机,求此整机的平均寿命E(N).,Xi(服从参数为的指数分布,解:,Xi的概率密度函数为,Xi的分布函数为,8,1.令：M=maxX1,X2,X3,X4,X5,X1,X2,X3,X4,X5是,其概率密度函数为：,独立同分布的,于是,利用第三章第五节P99;5.7式,9,2.令：N=minX1,X2,X3,X4,X5,X1,X2,X3,X4,X5是,其概率密度函数为：,独立同分布的,于是,利用第三章第五节P99;5.7式,10,N的分布函数为：,其概率密度函数为：,2.令：N=minX1,X2,X3,X4,X5,X1,X2,X3,X4,X5是,独立同分布的,于是,利用第三章第五节P99;5.8式,11,二、二维随机变量的数学期望,1.离散型,若(X,Y)是二维离散型随机变量，其边缘,分布律为,绝对收敛，则称此级数之和为X的数学期望.,如果级数绝对收敛，则称此级数的和为Y,的数学期望。记为：E(Y).,，如果级数,记为：E(X).,12,若积分绝对收敛，则称此积分值为X,记为：E(X).,若积分绝对收敛，则称此积分值为Y,记为：E(Y).,2.连续型,若(X,Y)是二维连续型随机变量，其关于,X,Y的边缘概率密度分别为：fX(x),fY(y).,的数学期望.,的数学期望.,13,若(X,Y)联合分布律为pij(i,j=1,2,)或f(x,y),则,14,三、随机变量函数的数学期望,定理1,设Y=g(X),g(x)是连续函数，,(2)若X的概率密度为f(x)，,（1）若X的分布律为:pk=PX=xk(k=1,2,),15,说明1.一个随机变量的数学期望是一个常数,它表示随机变量取值的平均,与一般的算术平均值不同，它是以概率为权数的加权平均.反映了随机变量分布的一大特征,即随机变量取值集中在期望值附近.数学期望定义本身就是期望计算的公式,但须知随机变量的分布率或概率函数.,是否绝对收敛,并不是任何一个随机变,2.一个随机变量的数学期望存在与否取决于,量均存在数学期望。,3.计算随机变量函数的数学期望时,只需知道X的分布即可。,16,定理2,若(X,Y)是二维随机变量，,(1)若(X,Y)的分布律为,(2)若(X,Y)的概率密度为f(x,y)，且,g(x,y)是二元,连续函数，,17,例6设(X,Y)在区域A上服从均匀分布.其中A为x轴,y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.求EX,E(-3X+2Y),EXY.,解,18,三、数学期望的性质,1.Ec=c,c是常数.,若aXb,则aEXb.,2.E(cX)=cE(X),c是常数.,3.E(aX+bY)=aEX+bEY.,4.若X,Y相互独立,则E(XY)=EXEY.,19,证明3,若X,Y是离散型随机变量,其联合概率函数为Pij,若X,Y是连续型随机变量,其联合概率密度为f(x,y),20,推论,设有随机变量,则有,推论,设有独立的随机变量,则有,21,例7一民航送客载有2