模糊集的基本运算.ppt

第二章模糊集的基本运算,一.模糊集的表示方法,模糊集合是论域X到0,1的映射,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：1)序偶表示法A=(x,A(x)|xX.例如:用集合X=x1,x2,x3,x4表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为:0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合A记为:A=(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56).,2)向量表示法当论域X=x1,x2,xn时,X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1),A(x2),A(xn).模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。3）Zadeh表示法当论域为有限集x1,x2,xn时,模糊集合可表示为A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+A(xn)/xn.注意,这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分数和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:,模糊集“年轻”A可表示为,注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。例如,论域X为1到10的所有正整数,模糊集“近似于5”A可表示为：,或,或,二.典型的隶属函数,构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”,即参考一些典型的隶属函数,通过选择适当的参数,或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。下面介绍典型隶属函数。1.偏小型降半矩形分布,降半形分布,降半正态分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降岭形分布。,2.偏大型升半矩形分布，升半形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。,“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布,其中取a=1/5,b=25,c=2.“年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布,其中取a=1/5,b=50,c=2.3.中间型(对称型)矩形分布,尖形分布,正态分布,柯西分布,梯形分布,岭形分布。,三.模糊集上的运算,几点说明经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).特别地,空集的隶属函数恒为0,全集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。,2.模糊集的包含关系设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX有CA(x)CB(x).,定义设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。,例论域X=x1,x2,x3,x4时,X上的模糊集A为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B为:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有BA.,帅哥,超男,定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).,3.模糊集的并设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB=xX|xA或xB.易证CAB(x)=maxCA(x),CB(x)=CA(x)CB(x).,定义设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(AB)(x)=maxA(x),B(x)=A(x)B(x),xX.,(AB)(x),4.模糊集的交定义非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(AB)(x)=minA(x),B(x)=A(x)B(x),xX.,(AB)(x),5.模糊集的补定义非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X上的一个模糊集,其隶属函数为A(x)=1A(x),xX.,注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:,例设论域X=x1,x2,x3,x4为一个4人集合,X上的模糊集合A表示“高个子”:A=(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合B表示“胖子”:B=(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4).则模糊集合“高或胖”为:AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4)=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合“又高又胖”为:AB=(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4).模糊集合“个子不高”为:A=(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6).,四.模糊集的运算性质,1.经典集合的运算性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:设X为论域,A,B,C为X上的经典集合,则(1)幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);,(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)DeMorgan对偶律:(AB)=AB,(AB)=AB;(9)排中律(互补律):AA=X,AA=.注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABAB=AAB=B)。满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Booleanalgebra,即“有补的有界分配格”.,2.模糊集合的运算性质定理设X为论域,A,B,C为X上的模糊集合,则(1)幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);,(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)DeMorgan对偶律:(AB)=AB,(AB)=AB.,证明DeMorgan对偶律:对任意xX,由于(AB)(x)=1(AB)(x)=1(A(x)B(x)=(1A(x)(1B(x)=A(x)B(x)=(AB)(x).所以(AB)=AB.同理可证(AB)=AB.,注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例).满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数,也称为软代数(softalgebra).反例设论域X=a,b上的模糊集A=(a,0.6),(b,0.3).则A=(a,0.4),(b,0.7).从而AA=(a,0.6),(b,0.7)X,AA=(a,0.4),(b,0.3).,五.L型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上,并研究这类广义模糊集合及其性质。1.偏序集与格定义称(P,)为偏序集,若P上的二元关系满足以下三个条件:(1)自反性:aP,aa;(2)反对称性:ab且baa=b;(3)传递性:ab且bcac.对于偏序集(P,),如果对于任意a,bP总有ab或ba成立,则称P为线性序集或全序集。,设(P,)为偏序集,若存在aP使得对任意bP都有ab,则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba,则称a为P的最大元。易知,如果偏序集有最小元或最大元,则最小元或最大元是惟一的。为此,记0为最小元素,1为最大元素。设(P,)为偏序集,XP,若存在aP使得对任意xX都有xa,则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素,则称它为X的最小上界或上确界,记为supX或X.对偶地,可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或X)。,定义偏序集(L,)称为格,如果a,bP,上确界ab与下确界ab都存在。任意子集都有上、下确界的格称为完备格。上、下确界运算满足分配律的格称为分配格,这里分配律指有限分配律。定理设(L,)为格,则上、下确界运算满足:(1)幂等律:aa=a,aa=a;(2)交换律:ab=ba,ab=ba;(3)结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc);(4)吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.,定理设代数系统(L,)中的二元运算,满足:幂等律:aa=a,aa=a;交换律:ab=ba,ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc);吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.则:(1)ab=aab=b;(2)在L中定义二元关系如下abab=a.那么(L,)是格,且,是这个格(L,)的上、下确界运算。,2.Boole代数与DeMorgan代数定义设L是有界分配格,0,1分别是其最大元和最小元。对任意aL,若存在aL使得aa=1,aa=0,则称L为布尔代数。定义设P是偏序集,h:PP是映射。如果当ab时恒有h(a)h(b),则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a),则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a)=a,则h称为逆序对合对应或逆合映射,也称h为伪补。,定义设L是有界分配格,h:LL是L上的一元运算且满足(1)h(h(a)=a,(2)h(ab)=h(a)h(b),h(ab)=h(a)h(b).则称L为DeMorgan代数。,易知DeMorgan代数中h是逆合映射。设X为非空集合,则幂集格(P(X),c)为布尔代数,而X上的模糊集全体构成的格(F(X),c)为DeMorgan代数。布尔代数是DeMorgan代数,反之不真。,3.L型模糊集及其运算定义设X为论域(经典集合),L是一个有逆合映射(伪补)h的格。则映射A:XL称为集合X上的L型模糊集合。记FL(X)=A|A:XL为L型模糊集合.设A,BFL(X),若xX有A(x)B(x),则称A含于B,记为AB.易知(FL(X),)为偏序集。可分别定义并、交、补如下:(AB)(x)=A(x)B(x),(AB)(x)=A(x)B(x)。Ac(x)=h(A(x).,容易验证：如果L是分配格(完备格),则FL(X)也是分配格(完备格)。如果L是DeMorgan代