江苏各地市高三历次模拟数学试题数列汇编

1 / 41 江苏各地市高三历次模拟数学试题数列汇编 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 目录（基础复习部分） 第七章数列 2 第 40课数列的概念和简单表示 2 第 41课等差数列 2 第 42课等比数列 5 第 43课数列求和 5 第 44课综合应用（） 11 第 45课综合应用（） 28 第七章数列 第 40课数列的概念和简单表示 已知，设为数列的最大项，则 8 （南京盐城模拟一）已知数列满足， N*)若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 . 答案：（说明 ：或写成第二数归法可证，第二步分奇偶） 设 单 调 递 增 数 列 an 的 各 项 均 为 正 整 数 ， 且a7=120,an+2=an+an+1,nN* ，则 a8= 答案： 194. 2 / 41 a7=5a1+8a2=120, 所以 a1=8k,a2=5m, 所以 k+m=3, 所以k=1,m=2. 第 41课等差数列 在等差数列中，则 若等差数列的前 5 项和且则 .-3 若一直角三角形的三边长构成公差为 2 的等差数列，则该直角三角形的周长为 24 等差数列中，则该数列前十项的和 （苏州期末）已知等差数列中，若前 5 项的和 ，则其公差为 .2 （苏北四市期末）在等差数列 中，已知，则的值为 22 （淮安宿迁摸底）已知是等差数列，若，则的值是 （盐城期中）在等差数列中，是其前项和，若，则 =.12 （南京盐城二模）记等差数列的前 n 项和为，已知，且数列也为等差数列，则 =。 50 （南通调研二）已知等差数列的首项为 4，公差为 2，前项和为若 ()，则的值为 【答案】 7 （南通调研三）在等差数列 an中，若 an+an+24n+6（ nN* ），则该数列的通项公式 an 【答案】 2n+1 （苏北三市调研三）设等差数列的前项和为，则的值为 3 / 41 37 （南京三模）记等差数列 an的前 n 项和为 Sn若 Sk 1 8， Sk 0， Sk 1 10，则正整数 k 9 已知数列（ N*，）满足，其中， N* （ 1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围； （ 2）设集合， N*， 若，求证：； 是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由 19解：（ 1）当时， ， 2 分 因为，或， 所以 4 分 （ 2） 由题意， 6 分 令，得 因为， N*， 所以令，则 8 分 不存在实数，使，同时属于 9 分 假设存在实数，使，同时属于 ， ， 从而， 11 分 因为，同时属于，所以存在三个不同的整数，（，）， 4 / 41 使得从而则 13 分 因为与互质，且与为整数， 所以，但，矛盾 所以不存在实数，使，都属于 16分 （南师附中四校联考）设数列的前 n 项和为， 且， . （ 1）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （ 2）设，求证：数列是等差数列 . （ 1） 又 是等差数列，设公差为 d，则 4 分 6 分 8 分 注：由解得，但没有证明原式成立，只给 4 分 . （ 2） 得 10 分 两式相减得 12 分 14 分 5 / 41 可得 是等差数列 16 分 第 42课等比数列 已知等比数列的各项均为正数则 3 等比数列中，则数列的前 6 项和 为 答案：； 已知等比数列的各项均为正数，若，则 （扬州期末）设数列 的前项和为，且，若对任意 N*，都有，则实数的取值范围是 . （镇江期末）设等比数列的前项和为，若，则 .448 （盐城期中）若等比数列满足，则 .27 （泰州二模）在等比数列中，已知，则 (南通中学期中 )已知数列满足（ q 为常数），若 18，6， 2， 6， 30，则 【知识点】单元综合 D5 【答案】 -2,126， -3 【解析】由已知可得， an+1+2=q（ an+2）， n=1， 2， ， 当 an=-2 时，显然有 a3， a4， a5， a6 -18， -6， -2， 6，30，此时 a1=-2 当 an -2 时，则，（ q 为常数）， 又因为 a3， a4， a5， a6 -18， -6， -2， 6， 30， 所以 a3+2， a4+2， a5+2， a6+2 -16， -4， 0， 8， 32， 6 / 41 因为 an -2，所以 an+20 ， 从而 a3+2=32， a4+2=-16， a5+2=8， a6+2=-4，或 a3+2=-4，a4+2=8， a5+2=-16， a6+2=32 故有 q=-2 或 q=- 代入 an+1=qan+2q-2 得 a1=-3，或 a1=126 【思路点拨】观察已知式子，移项变形为 an+1+2=q（ an+2），从而得到 an+2与 an+1+2的关 系，分 an=-2 和 an -2 讨论，当 an -2 时构造等比数列an+2，公比为 q计算可得答案 第 43课数列求和 （盐城期中）设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为.13 （南师附中四校联考）已知数列，的通项公式分别为，若，则数列的通项公式为 . （金海南三校联考）设 Sn为数列 an的 前 n 项和，若 Sn=nan 3n(n 1)(nN*) 且 a2=11，则 S20=.1240 1已知有穷等差数列 an公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有项 答案： 8 已知 an是等差数列，其前 n 项的和为 Sn， bn是等比数列，且 a1 b1 2， a4 b4 21， S4 b4 30 7 / 41 （ 1）求数列 an和 bn的通项公式； （ 2）记 cn anbn， nN* ，求数列 cn的前 n 项和 解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q 由 a1 b1 2，得 a4 2 3d， b4 2q3， S4 86d 3 分 由条件 a4 b4 21， S4 b4 30，得方程组 2 3d 2q321， 8 6d 2q3 30，解得 d 1， q 2 所以 an n 1， bn 2n， nN* 7分 （ 2）由题意知， cn (n 1)2n 记 Tn c1 c2 c3 cn 则 Tn c1 c2 c3 cn 22 322 423 n2n 1 (n 1)2n ， 2Tn 222 323 (n 1)2n 1 n2n (n1)2n 1， 所以 Tn 22 (22 23 2n) (n 1)2n 1， 11 分 即 Tn n2n 1 ，nN* 14 分 已知数列、，其中，数列的前项和 ,数列满足 （ 1）求数列、的通项公式； 8 / 41 （ 2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在 ,求出的最小值； （ 3）若数列满足，求数列的前项和 解：（ 1）因为 .当时， 所以 所以，即 2 分 又 ，所以 .4 分 当时，上式成立， 因为，所以是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故 .6 分 (2)由（ 1）知，则 . 假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 9 分 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时，的最小值为 16.11 分 （ 3）当为奇数时， ； 13 分 9 / 41 当为偶数时， .15 分 因此 16 分 （苏州期末）已知数列中， （ 1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ 2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数 解：（ 1）设，因为 ， 2 分 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即 5 分 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列 6 分 （注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分） （ 2）由（ 1）得是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 8 分 由，得， 10 分 所以， ， 12 分 显 然当 N*时，单调递减， 10 / 41 又当时，当时，所以当时，； ， 同理，当且仅当时， 综上，满足的所有正整数为 1 和 2 16 分 （盐城期中）设数列的前项和为，且 . （ 1）若是等差数列，求的通项公式； （ 2）若 . 当时，试求； 若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值 . 解：（ 1）由等差数列求和公式， 2 分 ， ，解得，； 4 分 （说明：也可以设；或令，先求出首项与公差） （ 2）由， 得， 6 分 ， .8 分 （说明：用，利用分组方法求和，类似给分 .） （ 3）设，由，得与， 11 / 41 ， ， 10 分 又， ，相减得， ，数列为递增数列， ，解得， 12 分 由， ， ， 14 分 ，解得 .16 分 （苏北三市调研三）设正项数列的前项和为，满足正项等比数列满足： （ 1）求数列、的通项公式； （ 2）设，数列的前项和为，求所有正整数 m 的值，使得恰好为数列中的项 (1) 因为 , 当时 , 解得 .1 分 由 , 当 , 两式相减，得 2分 12 / 41 又因为 ,所以， 所以 , 4 分 由得， 所以 6 分 (2)由题意得， 所以 8 分 所以 10 分 故 若 为 中 的 项 只 能为 11分 () 若 , 则 , 所 以 无解 12 分 （ ）若 显然不符合题意，符合题意 当时，即则 设则， 13 / 41 即为增函数，故，即为增函数 故故当时方程无解，即 是方程唯一解。 15 分 （ ）若则 ,即 . 综上所述，或 16 分 第 44课综合应用（） 设等比数列的公比为（），前 n 项和为，若，且与的等差中项为，则 记数列 an的前 n 项和为 Sn若 a1 1， Sn 2(a1an)(n2 ， nN*) ，则 Sn 2 2n 1 已 知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为 .9 已知是分比为的正项等比数列，不等式的解集是则 . （盐城三模）设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 （苏锡常镇二模）已知等差数列满足：若将都加上同一个数，所得的三个数依此成等比数列，则的值为 （前黄姜堰四校联考）已知数列满足， ,则的值为 . 2等比数列 an中，首项 a1 2，公比 q 3， an an 114 / 41 am 720(m， nN* ， m n)，则 m n 【答案】 9 （镇江期末）已知数列中，在，之间插入 1 个数，在，之间插入 2 个数，在，之间插入 3 个数， ，在，之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 （ 1）若，求的通项公式； （ 2）设数列的前项和为，且满足 (，为常数 )，求的通项公式 解：（ 1）设的公差为，由题意，数列的前几项为： ， 2 分 为的第 10项，则， 4 分 ，而， 5 分 故数列的通项公式为 6 分 （ 2）由（，为常数）， 得， 7 分 当得， 当时， 得， 8 分 则， 9 分 若，则，代 入上式，得，不成立； 10 分 （法一）当，常数 恒成立，又为正项等差数列， 15 / 41 当时，不为常数，则得， 11 分 代入 式，得 12 分 （法二），即， 则对恒成立， 令， 3 得解得 11 分 代入 式，得 12 分 （法三）由， 得， ，得，代入上式得， 11 分 代入 式，得 12 分 所以等差数列的首项为，公差为，则 13 分 设中的第项为数列中的第项，则前面共有的项， 又插入了项， 则， 15 分 故 16 分 【说明】本题是原创题，考查等差数列 的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力；考查分析探究能力 . 设等比数列的首项为公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足 （ 1）求数列的通项公式； （ 2）试确定的值，使得数列为等差数列； 16 / 41 （ 3）当为等差数列时，对每个正整数在与之间插入个 2，得到一个新 数列 .设是数列的前项和，试求满足的所有正整数 【解析】（ ）因为 ,所以， 解得（舍），则 -3分 又，所以 -5 分 （ ） 由，得， 所以 ,则由，得 -8 分 而当时，由（常数）知此时数列为等差数列 -10分 18在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，其前项和为，且 （ 1）求数列和数列的通项； （ 2）问是否存在正整数，使得成立？如果存在，请求出的关系式；如果不存在，请说明理由 18解：设等差数列的公差为，则 2 分 解得 4 分 所以 617 / 41 分 （ 2）因为， 7 分 所以有 （ *） 若，则，（ *）不成立，所以， 9 分 若为奇数， 当 时 ， ， 不 成立， 10 分 当时，设，则 12 分 若为偶数，设，则， 因 为 ， 所以 14 分 综上所述，只有当为大于 1 的奇数时， 当 为 偶 数 时 ， 不 存在 16 分 数列、满足：，； （ 1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列； （ 2）若数列、都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列； （ 3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论 19证明：（ 1）设数列的公差为 ， ， 数列是公差为的等差数列 4 分 18 / 41 （ 2）当时， ， ， ， 数列，都是等差数列， 为常数， 数列从第二项起为等差数列 10 分 （ 3）数列成等差数列 解法 1 设数列的公差为 ， ， ， ， 设， ， 两式相减得， 即， ， ， 12 分 令，得 ， ， ， ， 数列（）是公差为的等差数列 14 分 ，令，即， 数列是公差为的等差数列 16分 19 / 41 解法 2 ， 令，即 12 分 ， 数列是等差数列， ， 14 分 ， ， 数列是等差数列 16 分 （泰州二模）已知，都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列 （ 1）若数列是常数列，求数列的通项公 式； （ 2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列； （ 3）若（为常数，），求证：对任意的，数列单调递减 解：（ 1）因为，所以， 因为数列是各项不为零的常数列，所以， 则由及得， 当时，两式相减得， 当时，也满足，故 4 分 （ 2）因为， 当时，两式相减得， 即，即， 又，所以， 即， 20 / 41 所以当时，两式相减得， 所以数列从第二项起是公差为等差数列； 又当时，由得， 当时，由得， 故数列是公差为等差数列 15 分 （ 3）由（ 2）得当时，即， 因为，所以，即，所以，即， 所以， 当时，两式相减得， 即，故从第二项起数列是等比数列， 所以当时， ， 另外由已知条件得，又， 所以，因而，令，则， 因为，所以，所以对任意的，数列单调递减 16分 已知数列的前 n 项和为，设数列满足 （ 1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式； （ 2）若，且数列，都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数 n 的集合 解：（ 1）设等差数列的公差为， 所以， 1 分 21 / 41 由，得，及由， 又由，得 对一切都成立， 3 分 即对一切都成立 令，解之得或 经检验，符合题意， 所 以 的 通 项 公 式 为或 5 分 （ 2）由题意得， 6 分 7 分 8 分 9 分 记，即， 10 分 记， 则 ， 22 / 41 当， 2， 3 时， 当时， 12 分 因为时， 所以；且； 所以在时也是单调递增， 14 分 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时， 所以满足条件的正整数 n 的集合为 1， 2， 3， 4， 5，6 16 分 （南京盐城模拟一）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若， （ 1）求数列的通项公式； （ 2）对于正整数，（），求证： “ 且 ” 是 “ ，这三项经适当排序后能构成等差数列 ” 的充要条件； （ 3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合， N*中有且仅有 3 个元素，试求的取值范围 解：（ 1） 数列是各项均为正数的等比数列， 又，； 4 分 23 / 41 （ 2）（ ）必要性：设，这三项经适当排序后能构成等差数列， 若，则， 6 分 若，则，左边为偶数，等式不成立 若，同理也不成立 综合 ，得，所以必要性成立 .8 分 （ ）充分性：设，则，这三项为， 即，调整顺序后易知，成等差数列，所以充分性也成立 . 综合（ ）（ ），原命题成立 .10 分 （ 3）因为， 即，（ *） 当时，（ *） 则（ *）式两边同乘以 2，得，（ *） （ *）（ *），得，即 又当时，即，适合， .14 分 ， 时，即； 时，此时单调递减， 又， 16 分 （扬州期末）已知数列 中，且对任意正整数都成立，数列 的前项和为 . 24 / 41 （ 1）若，且，求 a （ 2）是否存在实数，使数列 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项，按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由 （ 3）若，求 （ 1）时， 所以数列是等差数列， 1 分 此时首项，公差， 数列的前项和是， 3 分 故，即，得； 4 分 （没有过程，直接写不给分） （ 2）设数列是等比数列，则它的公比， 所以， 6 分 若为等差中项，则，即，解得，不合题意； 若为等差中项，则，即，化简得， 解得（舍 1）； 若为等差中项，则，即，化简得， 解得； 9 分 综上可得，满足要求的实数有且仅有一个， 10 分 （ 3），则， ， 12 分 当是偶数时， 25 / 41 ； 当是奇数时， .也适合上式 .15 分 综上可得， 16 分 （苏北四市期末）在数列中，已知，为常数 (1)证明：，成等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)当时，数列中是否存在三项，成等比数列，且，也成等比数列？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由 （ 1）因为， 所以， 同理， 2 分 又因为， 3 分 所以， 故 ， ， 成 等 差 数列 4 分 （ 2）由，得， 5 分 令，则， 所以是以 0 为首项，公差为的等差数列， 所以， 6 分 26 / 41 即， 所以， 所以 8 分 当， 9 分 当 10 分 （ 3）由（ 2）知， 用累加法可求得， 当时也适合，所以 12 分 假设存在三项成等比数列，且也成等比数列， 则，即， 14 分 因为成等比数列，所以， 所以， 化简得，联立，得这与题设矛盾 故不存在三项成等比数列，且也成等比数列 16 分 （南通调研二）设是公差为的等差数列，是公比为 ()的等比数列记 （ 1）求证：数列为 等比数列； （ 2）已知数列的前 4 项分别为 4， 10， 19， 34 求数列和的通项公式； 是否存在元素均为正整数的集合， ， (， )，使得数列 ， ，为等差数列？证明你的结论 27 / 41 解：（ 1）证明：依题意， ， 3 分 从而，又， 所以是首项为，公比为的等比数列 5 分 （ 2） 法 1：由（ 1）得，等比数列的前 3 项为， 则， 解得，从而， 7 分 且 解得， 所以， 10 分 法 2：依题意，得 7 分 消去，得 消去，得 消去，得， 从而可解得， 所以 ， 10 分 假设存在满足题意的集合，不妨设，且， ，成等差数列， 则， 因为，所以， 若，则， 28 / 41 结合 得， 化简得， 因为，不难知，这与 矛盾， 所以只能， 同理， 所以，为数列的连续三项，从而， 即， 故，只能，这与矛盾， 所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 16 分 （注：第（ 2）小问 中，在正确解答 的基础上，写出结论 “ 不存在 ” ，就给 1 分） （苏锡常镇二模）已知为常数，且为正整数，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，对任意正整数 ，数列中任意两不同项的和构成集合 （ 1）证明无穷数列为等比数列，并求的值； （ 2）如果，求的值； （ 3）当时，设集合中元素的个数记为，求数列的通项公式 （前黄姜堰四校联考）已知无穷数列中，是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并对任意的，均有成立 29 / 41 （ 1）当时，求； （ 2）若，试求的值； （ 3）判断是否存在（），使得成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由 解（ 1）时，数列的周期为 ，而是等比数列中的项， 4 分 （ 2）设是第一个周期中等比数列中的第项，则 ， 等比数列中至少有项，即，则一个周期中至少有 16项 最 多 是 第 二 个 周 期 中 的项 7 分 若是第一个周期中的项，则 ； 若是第二个周期中的项，则 不为整数； 综上， 10 分 （ 3）是此数列的周期， 表示 64个周期及等差数列的前 3 项之和 最 大 时 ， 最大 12 分 ， 当时，； 30 / 41 当时，； 当时， 29 当时，取得 最大值， 则取得最大值为 15 分 由此可知，不存在（），使得成立 16 分 （金海南三校联考）定义：从一个数列 an中抽取若干项 (不少于三项 )按其在 an中的次序排列的一列数叫做 an的子数列，成等差 (比 )的子数列叫做 an的等差 (比 )子列 . (1)求数列的等比子列； (2)设数列 an是各项均为实数的等比数列，且公比 q1. 试给出一个 an，使其存在无穷项的等差子列 (不必写出过程 )； 若 an存在无穷项的等差子列，求 q 的所有可能值 . 解：（ 1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为 k（ 1k3 ， kN* ）， 当 k 2 时， 设 1n， 1n 1， 1m 成等比数列，则 1(n 1)2 1n1m ，即 m n 1n 2， 当且仅当 n 1 时， mN* ，此时 m 4，所求等比子数列为 1，12， 14； 设 1m， 1n， 1n 1 成等比数列，则 1n2 1n 11m ，即 m n 1 1n 1 2N*； 3 分 31 / 41 当 k 3 时，数列 1， 12， 13； 12， 13， 14； 13， 14， 15 均不成等比， 当 k 1 时，显然数列 1， 13， 15不成等比； 综 上 ， 所 求 等 比 子 数 列 为 1 ， 12 ，14 5 分 （ 2）（ i）形如： a1， a1， a1， a1， a1， a1， （ a10 ，q 1）均存在无穷项 等差子数列： a1， a1， a1， 或 a1， a1，a1， 7 分 （ ii）设 ank(kN* ， nkN*) 为 an的等差子数列，公差为 d， 当 |q| 1 时， |q|n 1，取 nk 1 log|q|d|a1|(|q| 1)，从而 |q|nk 1 |d|a1|(|q| 1)， 故 |ank 1 ank| |a1qnk 1 1 a1qnk 1| |a1|q|nk 1|qnk 1 nk 1|a1|q|nk 1(|q| 1)|d|， 这与 |ank 1 ank| |d| 矛 盾 ， 故 舍去； 12 分 当 |q| 1 时， |q|n 1，取 nk 1 log|q|d|2|a1|，从而|q|nk 1 |d|2|a1|， 故 |ank 1 ank| |a1|q|nk 1|qnk 1 nk 1|a1|q|nk 1|q|nk 1 nk 1| 2|a1|q|nk 132 / 41 |d|， 这与 |ank 1 ank| |d|矛盾，故舍去； 又 q1 ，故只可能 q 1， 结合 (i) 知， q 的所有可能值为1 16 分 第 45课综合应用（） 已知等差数列，其前项和为 .若 , （ 1）求数列的通项公式； （ 2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为； 求数列的通项公式； 记，数列的前项和为，求所有使得等式成立 的正整数， 解：（），即； -1 分 ； -2 分 所 以 ， ；-4 分 （） -6分 ； -8 分 33 / 41 得； -9 分 ；-10分 得，-11 分 由，得，化简得， 即，即 -13分（ *） 因为，所以，所以， 因为，所以或或 当时，由（ *）得，所以无正整数解； 当时，由（ *）得，所以无正整数解； 当时，由（ *）得，所以 综 上 可 知 ， 存 在 符 合 条 件 的 正 整数 -16分 在数列，中，已知，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，其中为正整数 . （ 1）求数列，的通项公式； 34 / 41 （ 2）问是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由 . （南通调研一）设数列的前项和为若 (N*)，则称是 “ 紧密数列 ” （ 1）若数列的前项和 (N*)，证明：是 “ 紧密数列 ” ； （ 2）设数列是公比为的等比数列若数列与都是 “ 紧密数列 ” ，求的取值范围 （淮安宿迁摸底）已知数列是等差数列，其前 n 项和为，若， （ 1）求； （ 2）若数列 mn满足条件：，当时，其中数列单调递增，且， 试找出一组，使得； 证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方 （ 1）设数列的首项为，公差为， 由，得， 2 分 解得， 所以 4 分 （ 2） 因为， 35 / 41 若， 因为， 所以，此方程无整数解； 6 分 若， 因为， 所以，此方程无整数解； 8 分 若， 因为， 所以，解得， 所以，满足题意 10 分 由 知，则， 一般的取， 13 分 此时， 则， 所以为一整数平方 因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方 16 分 （南京盐城二模）给定一个数列 an，在这个数列里，任取m(m3 ， mN*) 项， 并且不改变它们在数列 an中的先后次序，得到的数列称为数列 an的一个 m 阶子数列 已知数列 an的通项公式为 an 1n a(nN* ， a 为常数 )，36 / 41 等差数列 a2， a3， a6是数列 an的一个 3 阶子数列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差数列 b1， b2， ， bm是 an的一个 m(m3 ， mN*)阶子数列，且 b1 1k(k为常数， kN* ， k2) ，求证： mk 1； （ 3）等比数列 c1， c2， ， cm是 an的一个 m(m3 ， mN*)阶子数列， 求证： c1 c2 cm2 12m 1 解：（ 1）因为 a2， a3， a6成等差数列，所以 a2 a3 a3a6 又因为 a2 12 a， a3 13 a， a6 16 a， 代入得 12 a 13 a 13 a 16 a，解得 a0 3 分 （ 2）设等差数列 b1， b2， ， bm的公差为 d 因为 b1 1k，所以 b21k 1， 从而 d b2 b11k 1 1k 1k(k 1) 6分 所以 bm b1 (m 1)d1k m 1k(k 1) 又因为 bm 0，所以 1k m 1k(k 1) 0 即 m 1 k 1 所以 m k 2 又因为 m， kN* ，所以 mk 1 9 分 37 / 41 （ 3）设 c1 1t(tN*) ，等比数列 c1， c2， ， cm的公比为 q 因为 c21t 1，所以 q c2c1tt 1 从而 cn c1qn 11ttt 1n 1（ 1nm ， nN* ） 所以 c1 c2 cm1t 1ttt 11 1ttt 12 1ttt 1m 1 t 1t1 tt 1m t 1t tt 1m 1 13 分 设函数 f(x) x 1xm 1，（ m3 ， mN* ） 当 x(0 ， ) 时，函数 f(x) x 1xm 1 为单调增函数 因为当 tN* ，所以 1 t 1t2 所以 f(t 1t)2 12m 1 即 c1 c2 cm2 12m 1 16 分 （南京三模）已知数列 an的各项均为正数，其前 n 项的和为 Sn，且对任意的 m， nN* ， 都有 (Sm n S1)2 4a2ma2n （ 1）求 a2a1的值； （ 2）求证： an为等比数列； （ 3）已知数列 cn， dn满足 |cn| |dn| an， p(p3)是给定的正整数，数列 cn， dn的 前 p 项的和分别为 Tp，Rp，且 Tp Rp，求证：对任意正整数 k(1kp) ， ck dk 解：（ 1）由 (Sm n S1)2 4a2na2m，得 (S2 S1)2 4a22，38 / 41 即 (a2 2a1)2 4a22 因为 a1 0， a2 0，所以 a2 2a1 a2，即 a2a12 3 分 证明：（ 2）（方法一）令 m 1， n 2，得 (S3 S1)2 4a2a4，即 (2a1 a2 a3)2 4a2a4， 令 m n 2，得 S4 S1 2a4，即 2a1 a2 a3 a4 所以 a4 4a2 8a1 又因为 a2a1 2，所以 a3 4a1 6分 由 (Sm n S1)2 4a2na2m，得 (Sn 1 S1)2 4a2na2， (Sn 2 S1)2 4a2na4 两式相除，得 (Sn 2 S1)2(Sn 1 S1)2 a4a2，所以 Sn 2 S1Sn