《直线与平面》PPT课件.ppt

画法几何,洛阳理工学院土木工程学院,LuoyangInstituteofScienceandTechnologySchoolofCivilEngineering,DescriptiveGeometry,洛阳理工学院网络课程,第5章直线与平面、平面与平面的相对位置,目录,概述5.1直线与平面、平面与平面平行5.2直线与平面、平面与平面相交5.3直线与平面、平面与平面垂直,第5章直线与平面、平面与平面的相对位置,本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。,直线与平面、平面与平面的相对几何关系有：平行：直线与平面平行平面与平面平行相交：直线与平面相交平面与平面相交垂直：直线与平面垂直平面与平面垂直,5.1直线与平面、平面与平面平行,几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。,一、直线与平面平行,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,例5-1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,例5-2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,例题5-3试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、平面与平面平行,两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,【例5-4】判断ABC和平面DEFG是否平行。,X,O,c,b,a,a,b,c,d,g,f,f,e,d,e,m,n,n,m,g,例题5-5试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题5-6已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,5.2直线与平面、平面与平面相交,直线与平面不平行，则一定相交于一点。,平面与平面不平行，则一定交于一直线。,点击2次,A,B,K,A,B,C,M,N,5.2直线与平面、平面与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,另外，在画法几何中平面图形通常被当作是不透明的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面与平面互相遮挡的情况，即判断其投影的可见性。,4-2直线与平面、平面与平面相交,一、直线与平面相交,利用直线或平面的某些投影有积聚性，求交点。,1.直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,5.2直线与平面、平面与平面相交,（1）平面投影具有积聚性交点“一眼可见”,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,例5-7：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作图,（1）平面投影具有积聚性交点“一眼可见”,a,b,p,a,b,p,k,k,【例5-8】一般位置直线AB与铅垂面P相交，求作交点K。,可见性判别,O,X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,（2）直线投影有积聚性转化成“面上定点”,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,m(n),b,a,c,d,m,a,b,c,n,d,k,k,1,2,12,(),e,e,【例5-8】铅垂线MN与平面ABCD相交，求作交点K。,可见性判别,X,O,M,N,K,A,B,辅助平面,2.直线与平面都处于一般位置“包线作面”,辅助平面投影面的垂直面,H,A,B,D,F,E,M,N,K,辅助平面法作图步骤包含已知直线作辅助平面求辅助平面与已知平面的交线求此交线与已知直线的交点,1,2,m,n,n,m,b,a,用铅垂面作辅助面,A,B,D,F,E,M,N,K,d,e,a,b,d,e,f,f,PH,k,k,12,(),利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:,d,k,m,n,n,m,b,a,用正垂面作辅助面,d,e,a,b,e,f,f,QV,k,3,34,(),4,二、两平面相交交线为两平面共有线,1.一般位置平面与特殊位置平面相交,利用积聚性求交线,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作图,例5-10：求两平面的交线MN并判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例5-11：求两平面的交线MN并判别可见性。,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,例5-12：求两平面的交线并判别可见性。,【例5-13】求一般位置平面ABC与铅垂面Q的交线KL。,a,b,q,a,b,q,c,c,k,l,k,l,O,X,例5-14如图a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。,(a)已知条件,(b)作图过程和作图结果,解,作三角形与铅垂矩形的交线KL。,判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。,方法1直线与平面求交点方法“包线作面”,2.两个一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,m,m,b,c,c,例求平面ABC与平面DEF的交线。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,PH,b,c,c,例求平面ABC与平面DEF的交线。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,QV,m,m,n,n,2,1,(),n,m,m,n,b,c,c,例求平面ABC与平面DEF的交线。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,12,n,m,m,n,b,c,c,例求平面ABC与平面DEF的交线。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,3,4,34,(),X,O,PV,m,m,QV,l,l,例求平面ABC与平面DEF的交线。,r,r,s,s,PV,QV,l,k,k,l,b,c,c,d,a,d,e,a,b,e,f,f,g,h,g,h,辅助平面P、Q为特殊位置平面,方法2三面共点法求两平面交线,例求作平面ABC与一对平行直线DE、F所确定平面的交线。,V,5.3直线与平面、平面与平面垂直,直线与平面垂直、平面与平面垂直，是相交的特殊情况。,一、直线与平面垂直,一直线如果同时垂直（含相交垂直和交错垂直）于平面上的相交两直线，则该直线与平面垂直。,反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面上的所有直线，当然也包括于平面上的投影面平行线。图中直线AK垂直于平面P，垂足是点K。过垂足K在平面P上作水平线BC和正平线DE。则，直线AK垂直于BC和DE。,但根据直角投影法则，在水平投影中ak应垂直于bc或PH；在正面投影中ak应垂直于de或PV。结论：垂直于一平面的直线，其投影垂直于该平面上投影面平行线的相应投影，因而也垂直于该平面的同面迹线。,例4-18过ABC外一点M，作直线MN垂直于该平面。解：作平面内的水平线AD和正平线CE，则mn应垂直于ad，mn应垂直于ce。,例过M点作直线MN垂直于平面ABCD。,b,c,c,a,a,b,m,m,n,n,d,d,e,e,例过点K作平面垂直于直线AB。,b,a,a,b,k,k,1,1,2,2,例4-19给定平面ABC，试过定点M作平面的法线,a,b,c,a,b,c,m,n,n,例4-20平行直线AB、CD确定一平面，直线MN是否垂直于该平面？,c,d,a,b,c,d,m,n,m,n,f,e,f,不垂直！,e,b,a,例4-21已知直线MN及直线外一点A，试过点A作一平面，使该平面与已知直线MN相垂直，并求出垂足K。解：,如果已知平面是特殊位置平面，则过已知点所作的垂线也必定是特殊位置直线。例如：,铅垂面的垂线是水平线,正垂面的垂线是正平线,正平面的垂线是正垂线,例4-23如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与三角形CDE平面的真实距离。,(a)已知条件,(b)作图过程和作图结果,解,如果某平面包含一条垂直于另一平面的直线，则该两平面互相垂直。,直线KL平面Q，则包含KL直线的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，与平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有与平面Q垂直的直线，如KL。,二、平面与平面垂直,例4-24试过点M作平面垂直于ABC平面。,2.包含此直线任作一平面，则所作平面必与已知平面垂直。包含直线MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面ABC。,解：1.过点M作一直线垂直于已知平面（MNABC）。,例4-26如图a所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于三角形DEF。,(a)已知条件,解,(b)作图过程和作图结果,分析：按直线与平面平行和两平面垂直的几何条件，只要所作的平面既包含过点A的BC的平行线，又包含过点A的三角形DEF的垂线，就能满足题目的要求。,过点A作AGBC：作agbc，agbc，就作出了AG的两面投影。,过点A作AHDEF：作DEF平面上的一条水平线D和一条正平线D。过a作ahd1，过a作ahd2，便作出了AH的两面投影。,两相交直线AG和AH所确定的平面AGH即为所求。,例4-27如图a所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂直。,解,分别在三角形DEF平面上作水平线D和正平线D。,过b作bg垂直于d2，与ac交得g；由g引投影连线，与ac交得g，连b与g。检验bg是否与d1垂直：如bg与d1垂直，则在三角形ABC上能作出一条直线BG与三角形DEF相垂直，两三角形互相垂直；否则，两三角形不垂直。,结论：bg垂直于d1，所以检定了三角形ABC与DEF是互相垂直的。,例过点K作一平面垂直平面ABCD。,k,k,b,a,a,b,d,c,c,d,1,2,1,2,e,e,例判断下图中两平