反向数学归纳法.pdf

中学数学(湖北) 199 5 . 6 26 . 1)双 曲线c 的顶 点坐标为(。 , 士 冬 ) 由知 , 川 ) 冬 , 又 。 1故讨论头 - 一 2 A , . m l , . . B(。 , 音 ) , .,。 一 3 上 一 白 刀正户兀丁目丁 , yZ 2 )圆的方程 为尹+ (y一m) “ 二 , )有三组解 , 得圆A与双 曲线C有二孙令 点 2 0 共公 广+(y一m) : (m一 2扩一4少+ 1二O 3 一4my十Zm一 于 = O _ _ 一 “ 】 一一 2 ( 邢 一 合 ) : 音 ) : 当 1 m ( 冬时 , 由 得 , 一 冬 (,1 , 0 . 所 以P( a 。) 真”P( a。 一l)真”P( u。 一 1一 1 )真冷 , 经 过有限步后 , 总可使P( I , 。) 也真 , 这 与假设矛盾 , 即B是空 集 , 故 命 题 P ( n ) 对所 有的 自然数 n 都 成立 . 44 例1若 a , ) o(i=1 , 2 , , ) , 求证 、上 / a: + a: + a , 、u u“” a 名” 澳 万 一一- - - 当 且仅当 a, “: 一 a 。 时等号成立 . 证 (1 ) 我们首 先 用第一数学 归纳 法来 证 明 , 当 n 一2 ”, P是任 意 自然数 的时 候 , 式 是成立的 . 当P ( a ,a: 一l , 即 ,: 一2时 , 式为 工 ,a l + a , 2 毛、 一 艺 这可 由 ( a 青 一 。岁 ) “) 。直接推出 , 当 且仅 当 a, 一 a: 时等号成立 . 假设p k 时 , 即 , 2 妾 时 , 式成立 , 那么 , p 一k十1时 , ( a,a: u :*+, ) : +, (u ,a: a:)牙a: +; a:,+: a:*+ l )西 万 、 告 (一 a , )砰 + ( a :+la:+: a:*+ , )刁 / 1 尸“, + a : + a户 之、 I 艺 2 刃 + 翌宁兰土竺! a , + a: 十+ “:抖 , 一 2奋+ 1 当且仅当 u : 一 “: - 一 “犷 = a艺去+1 = 一 a:川 时等号成立 . 所 以 当P一 k + 1 , 即 n 一2杆 时 . 式 也成 立 . 因此 , 当 n 一2户 , P 中学数学(湖北) 1 9 95 . 6 是 任何 自然 数 的 时候 , 式成立 . 也 就 是说 , 式对 无穷个自然数 , : 成立 . s i n a; + s i na: + + s i n 气 2 州 ( 2)假设 n a l 十 a: + k 时 , 式成 立 , 记 成 5in + a卜, a, + a: + 气 2爪 口奋 k一1 al + a: 十 k一1 , 所 以 + a*一, 则 k= ,n + 1( , : 51一 l a, + 5ina: + 2“+ , ) 时 , ” + s i n气 十, 2 脚+l 醉!竺些些劳兰土三竺 1 一 2 一一 a l 十 处 +心 一1 +心 k ( “,。2。卜l。; )丢 + 竺止 三粤多全业业 ( ala2a ,一z 生兰兰二兰兰土卫里 ) k一1 、 告 n a, + “: +凡 , 2爪 1T = 多 = 两边同除以 户业 兰 先共 兰卫坦 ) , 一 , i l飞 垫吐垫过 二兰土里全竺 几 人 乙 尸l士卫兰土上兰土鱼旦 、 旱 k一1 取 “1 十 a: +处 a 一 而 - ) ( 。l。2“卜, )去 , 由此得 a; 十 a: 十 十心 一, k一l 妻 ( 。1。: 。卜 , )尚 , 当 且仅当 。, 。: 一 内 一; 时等号成立 . 这就由 n 一k时 , 成 立推出了 , : 一k一1时 成立 . 根 据( l) , ( 2)知 , 对 任意自 然 数 ,: , 命 题 成立 . 应 用反 向 数 学 归 纳 法 时 , 要注意 它 的 两 个步 骤 , 首 先要 证 明命 题P伽)对 无穷个 自然 数成 立 , 无穷个自然数是什么形式 无关 紧要 , 只要 保 证是无 穷 个就 行了 . 如 证 明 , : l , 3 , 5 , , Zk一1 , 时P( , , )真 , 或者证明 ,: = 2 , 4 , 6 , , 2奋 , 时P伽)真都可以 , 第二步是 假 设 n 一k 时P( , )真推 出 ,: = k一l时P( ,: ) 真 , 当然也可 以 假设 n k + 1时尸 、的 真推出 。 一k时P ( n )真 . 月- a尹+1 +气 十: +十气 + 2 , 2俐 上式成为 告 n + n “,镇 n a +月 2 二二二 5In a, + a: +十气 , + l 2阴+ 1 . 即 此时不 等 式也 成立 . 所以 , 对形如 、 - (2)假设当 5in al 十 2 寿 的 自然数 不等式成 立 . 护王二 二二 511飞 口, k k + 1时不等 式成立 , 即 + 5ina;+, 十一十 镇 51:1 则当 al 十 a: 十+ 气+ 1 k + l ,J k 时 , 因为 al , a: , , a, 是区间 o , 二 内的角 , 所以 角 7 a, )也是区l o , 二J 内的角 得到 去 ( al + aZ + + , 由归 纳假设 , 我们 例2 的角 , 求 证 : 若 a, , a: , , “, 都 是区间o , 二 内 5ina; 十 sina: 十+ sina , 5 1 一la; 十 5 in a : 十十 s in a, + sin 7 一 叫. . . . . 尹 ! 镇 5 1 :飞 k + 1 al + “: + + 气 + y 即 成 s i n a, + a: + 十气 k+ l sina, + sina: + sin a. + sin a, + aZ + a. 证 等 式对 ,: 当k 5Inal (1 ) 首 先用第一数 学 归纳法证 明 不 k+l 2盛时成 立 . 1( , 2) 时 , 有 毛 5in a, 十 a: +十气 k + l 吕里旦 兰= 5in 竺土兰 c o, 五 2 a, + a: 2 a: + 十 al 十气十 十 气 + + k(k + l) + 一 2 5 111 二二二 5111 a l + “: 十 + 气 k 2,) 时不等式成立 , 即有所以 51:飞al + sina: + + 51:la* 镇 一一 假设k= 。(, 45 中学数学(湖北) 1 9 9 5 . 6 镇 k 即 a; 十 a: + 气 . S ln 5 i na; + sina: + + sina, k 蕊 5in 所以 当 n a, + 气+ + 兔 k k 时不 等式成 立 . 根 据( 1)和 ( 2) , 对 所有的自 然数 ,: , 不 等 式成 立 . 如 果 命 题P(n)对 无穷 多 个 自然数成立 的 证 明 很困难 , 我们还可以 考 虑 应用 反 向 数 学归纳法 的另外两 种 形式 . I 一个关于 自然 数 n 的命 题P( n ) , 如 果 (l)n= 1 时 , 命 题p( ,: )正确 ; (2)假若 由P ( ,: )不正确 推出P (n一1 )不 正确 , 则命 题P( n)对所有的 自然 数正确 . 证 设所 有使P (的 不正确 的 自然数 的 集合 为M , 根据 “最 小数 原 则 ”, M中必有一个 最小数 n。 任M , 但 n。 一1 百M , 即命题P伽 。 一1)是正确的 , 与 ( 2)中的假设矛盾 . 故P(的 对 所有自 然数正确 . I 一个关于 自然 数 , 的命题P伽) , 如 果 (1)n= l , 2 , , r 时 , 命题P(l) , P(2) , , P( r)都正确 ; (2)假若由P (n)不正确推出P (n一1 )不 正确 , 则命 题P( ; l)对所有的自然数正确 . 按照 I 的证 明 的方 法 同样可 证 明 1 . 例3 证 明 对 任何正整数 n , f(n ) 一矛 十 3 ; : 十 5 都 不能 被 1 2 1 整 除 . 证 (1)因为 f(1) f(2) f(9) = 1 1 3 11)时 , f(n)能 被 1 2 1 整除 , 即 可 写 成 f( k)尸十3 k+ 5= 121X t ( t 为正整数) , 所以 + 一 k 3 、, L戈 州卜二了 少 州卜 乙 琴 一:2lx , 4 (Zk十3) “ = 484X t 一1 1 从而 111(Zk + 3) , 即( 2 k +3 ) n X u ( u为正 整数) . 又f(k一 11)一 f(k)一 1 1(Zk + 3) + 121 f(k) 一 1 2 1x “ + 121 . 于是由 121f(k) 。 121】 f(k一11) . 综 合(1) 、 (2)知 , 对 任何正整 数 ,: , f( ,: )= ,:2 + 3, : + 5 都 不 能 被 1 2 1 整除 . 三元组 合计数问题模型 4 31 60 0 湖北麻 城 市一中 甘超一 高中教材里 简单排列组合计数间题 , 通常可用 “n 个小球放入 m 个纸盒 ” 的二元(球 、 纸盒)模型来 描述 . 又按小球 可否区分 、 纸盒容球数是否限制分为 下述四个基本间题 : l . n 个不同 小球(可区分)任意放入 m 个纸 盒 (每个纸盒球数不 限) , 其不同放法有 m (种) , 这是 乘 法原理一个简单应用 . 2 . n 个不同小球(可区分)任意放入m个纸盒( , l ( m)每个 纸盒最多放一个小球 , 其不同放法 种数为 尸二 , 这 便是排列问题 . 3 . n 个相 同小球(不 可区分) , 任意放入 m 个纸 盒( n( 。) , 每个纸 盒最多放一个 小球 , 其不同放法 种数为C二 , 此即组合间题 . 4 . n 个相 同小球(不可区分) , 任意放入 m 个纸 盒 , 每个纸 盒球数不 限 , 其不同放 法 种数为C弃公 一1 , 这也是一种组合间题 , 它 由m个未知数方程 :x: +介 +十 x. = n 的非负整解组数转 化而来(可在 n 个 1 的前后空档中插入m 一l个档板得 出) 排 列组合计数问题的深化 , 一 般 是在 上述四个 基本问题上增 加 “ 附加条件 ”: