留数及其应用.ppt

第五章留数及其应用,5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用5.4习题五,本章主要内容：,一、孤立奇点的定义、分类与判断方法二、极点求留数的方法如何判断极点的阶数不同阶数极点留数的求法三、无穷远点求留数的方法四、留数定理，利用留数定理求积分五、留数在定积分中的应用,5.1孤立奇点,孤立奇点：,奇点：,函数不解析的点,如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点,奇点为圆心画圈，如果能找到一个圈，圈里只有它一个奇点！,奇点为圆心画圈，如果无论圈有多小，圈里总还有其它奇点！非孤立奇点,5.1.1孤立奇点的定义,5.1孤立奇点,孤立奇点：,奇点：,函数不解析的点,如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点,举例：,5.1.1孤立奇点的定义,5.1孤立奇点,孤立奇点：,奇点：,函数不解析的点,如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点,举例：,孤立奇点,非孤立奇点,5.1.1孤立奇点的定义,5.1孤立奇点,孤立奇点：,奇点：,函数不解析的点,如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点,5.1.1孤立奇点的定义,为什么要分类？,分类的标准是什么？,分类的标准是负幂次项的系数的不同,因为奇点的性质是由负幂次项决定的,5.1.2孤立奇点的分类,5.1.2孤立奇点的分类,5.1.3孤立奇点分类的判断,如何判断极点的阶数？（重点）,几阶极点？,几阶极点？,几阶零点？,5.1.5判断函数零点级数的方法,第一种方法求导法,如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.,这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，,易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=.=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。,5.1.5判断函数零点级数的方法,第一种方法求导法,如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.,简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。,5.1.5判断函数零点级数的方法,第一种方法求导法,如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.,简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。,5.1.5判断函数零点级数的方法,第二种方法级数法,5.1.5判断函数零点级数的方法,三个判断的基本原则,5.1.5判断函数零点级数的方法,三个判断的基本原则,5.1.5判断函数零点级数的方法,三个判断的基本原则,5.1.5判断函数零点级数的方法,三个判断的基本原则,5.1.6零点和极点的关系,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,定理如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,反过来也成立.,5.1.7判断极点级数的方法,5.1.7判断极点级数的方法,5.1.7判断极点级数的方法,5.1.7判断极点级数的方法,5.1.7判断极点级数的方法,5.1.7判断极点级数的方法,如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析,称点为f(z)的孤立奇点.,5.1.8函数在无穷远点的性态,主要部分,解析部分,主要部分,解析部分,例题1,例题2,例题3,式子的最高幂次,5.2留数,5.2.1留数的概念及留数定理,Residual,称C-1为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即,定理5.7(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,证把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,注意定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,Z1,Z2,Zn,对孤立奇点进行分类,如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.,如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.,如果z0是极点,首先判断极点的阶数,其次根据不同的阶数选择不同的规则,求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.,如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.,5.2.2函数在极点的留数,法则1如果z0为f(z)的一级极点,则,法则1如果z0为f(z)的一级极点,则,法则3如果z0为f(z)的m级极点,则,事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,即得规则2,当m=1时就是规则1。,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,第一步：确定积分曲线内的奇点的阶数,第二步：求出各个奇点的留数,第三步：利用留数定理求出积分,z=0为被积函数的1级极点,z=1为2级极点,z=0为被积函数的可去奇点,z=1为1级极点,5.2.3无穷远点的留数,设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。,f(z)在圆环域R|z|内解析：,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.,定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,所以规则4成立.,Z1,Z2,Zn,第一步：找圈内的孤立奇点,第二步：计算每个孤立奇点的留数,第三步：利用留数定理求出积分,被积函数分母等于零,如何计算留数？,第一步：对孤立奇点进行分类,计算每个孤立奇点的留数,第二步：根据分类求不同奇点的留数,如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.,如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.,如果z0是极点,首先判断极点的阶数,其次根据不同的阶数选择不同的法则,计算每个孤立奇点的留数,第二步：根据分类求不同奇点的留数,第二步：根据不同的阶数选择不同的法则,计算极点的留数,第一步：判断极点的阶数,计算极点的留数,第一步：判断极点的阶数,如何判断零点？,计算极点的留数,判断零点的阶数,第一种方法求导法,第二种方法级数法,第二步：根据不同的阶数选择不同的法则,计算极点的留数,法则1如果z0为f(z)的一级极点,则,法则3如果z0为f(z)的m级极点,则,如果圈内的奇点留数很难求，可以考虑求圈外的留数,通过法则4把无穷远点的留数转化成普通点的留数,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,5.3留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分，变量x定义在闭区间a,b(线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：,1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.,令z=eiq,则dz=ieiqdq,而,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,例1计算的值.,解由于0p1,被积函数的分母在0q2p内不为零,因而积分是有意义的.,由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,R(z)在上半平面内的有n个极点为zk，k=1,2,.,n,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都