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文档简介

1,矩阵知识点复习,2,1.矩阵的定义,简记为,实矩阵:元素是实数,复矩阵：元素是复数,3,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵,2.矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）,加法满足,4,数乘满足,数与矩阵相乘：,数与矩阵的乘积记作或，规定为,矩阵与矩阵相乘：,设,规定,其中,5,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,6,A是n阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵的行列式：,满足:,7,转置矩阵:,3一些特殊的矩阵:,把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,8,伴随矩阵：,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,9,3.逆矩阵,定义：,唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论：,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,10,满足规律：,逆矩阵求法：,（1）伴随矩阵法（2）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4.分块矩阵,11,5.初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换,12,矩阵的等价：,初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作,三种初等变换对应着三种初等方阵：,初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵,6.初等矩阵,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,13,7.初等矩阵与初等变换的关系：,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理：,14,即，,8.用初等变换法求矩阵的逆矩阵,15,注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,16,9矩阵方程,注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。,矩阵方程,解,17,在一个mn矩阵A中，,位于这些行和列的交叉点上的,个元素按原来,的次序组成一个k阶行列式，称为A的一个k阶,定义1.,任取k行k列，,10矩阵的秩,子式，这里,矩阵A中不等于零的子式的最高阶数,称为矩阵A的秩,记为R(A),定义2.,18,(1)秩为r的矩阵可能有等于零的r，r-1阶子式。,注意：,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是
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