同济大学高等数学期中考试试题及解答.pdf

同济大学 2011-2012 学年第二学期高等数学 B(下)期中考试试卷-1 同济大学课程考核试卷（期中试卷） 20112012 学年第二学期 命题教师签名：董力强董力强 审核教师签名：刘庆生刘庆生 课号：122005122005 课名：高等数学 B(下)高等数学 B(下) 考试考查： 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重修( )试卷 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 （注意：本试卷共九大题，三大张，满分 100 分考试时间为 100 分钟.解答题要求写出解题过程）（注意：本试卷共九大题，三大张，满分 100 分考试时间为 100 分钟.解答题要求写出解题过程） 一、填空选择题(每空格 4 分，共 24 分) 1、 以)5 , 0 , 2(),3 , 2, 1 ( 以及)4 , 2 , 1(为顶点的三角形面积为 2 55 . 2、 若曲面 的方程为 2 2 2 2 b y a x z，如果关于平面1z对称的曲面为 1 ，则 1 的方 程为 2 2 2 2 2 b y a x z ，若再将 1 向着x轴的正向移动 2 个单位得到曲面 2 ，则 2 的方程为 2 2 2 2 )2( 2 b y a x z . 3、 z eyxu 32 在) 1 , 1 , 1 (点函数值增加最快的方向为0),1 , 3 , 2(kk ;该方向与z轴正向 的夹角余弦为 14 14 cos . 4、若D是由抛物线12 2 xxy与直线3 xy所围成的有界闭区域，则二重积分 dxdyyxfI D ),(分别化成先对y再对x，以及先对x再对y的二次积分式时，积分 dxdyyxfI D ),(dyyxfdx x xx 3 12 4 1 2 ),( ； 以及 dxdyyxfI D ),(dxyxfyddxyxfyd y y y y 21 3 7 2 21 21 2 2 ),(),( . 5、记条件a为函数 ),(yxfz 可微分；条件b为函数 ),(yxfz 具有偏导数；条件c为函 数),(yxfz 连续；条件d为函数 ),(yxfz 具有连续的偏导数.则以下正确的充分必要 关系为 【 D 】 A cbad ,； B cbad ,； C cbabda以及； D . cadbad以及 （其中ba 表示a是b的充分条件，ba 表示a是b的充分必要条件） 6、函数 200 202 )( xx x xf 或 ，若D是正方形的闭区域：; 20x20y， 则二重积分 D dyxf)(的计算值为 【 C 】 A1 B2 C4 D8 二. （本题 10 分） 求曲线 0122 03 222 zyx xzyx 在点) 1 , 1 , 1 (的切线与法平面方程，并分 别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离. 解 )2 , 2 , 1()2 ,2 , 32( )1 , 1 , 1( 1 zyxn，) 1 , 2, 2( 2 n 切线的方向向量为: )2, 5 , 6( 21 nnl 切线方程： 2 1 5 1 6 1 zyx 法平面方程： 0) 1(2) 1(5) 1(6zyx 或 09256zyx 坐标原点到该法平面的距离： 65 9 d 坐标原点到该切线的距离： 65 114 d 同济大学 2011-2012 学年第二学期高等数学 B(下)期中考试试卷-2 三（本题 10 分）),(vuf具有二阶连续的偏导数 （1） 如果函数xyxyxfyxz),32(),( 2 在) 1 , 1 (点取得极值，试写出函数),(vuf满足的必要条件； （2）求出函数),(yxz的二阶偏导 yx z 2 . 解 (1) 12 21 ff x z ; 21 23yff y z 由必要条件 0)0 , 1(2)0 , 1(3 01)0 , 1()0 , 1(2 21 )1 , 1( 21 )1 , 1( ffz ffz y x 得到 3)0 , 1(; 2)0 , 1( 21 ff (2) 二阶偏导 )23()23(2 22211211 2 yffyff yx z 221211 2)34(6yffyf 四 （8 分）已知函数),();,(yxvvyxuu是由方程组 0 0 222 22 vuxy uvyx 确定的可导函数， 试求偏导数 x u ， x v . 解 各方程两边对x求导， 022 02 2 xx xx vvuuy uvvux （或 vu vu vx vx GG FF GG FF x u ， vu vu xu xu GG FF GG FF x v ） 得到 )(2 4 22 2 vu uyxv x u ； )(2 4 22 2 vu vyxu x v 五 （ 本 题 10 分 ） 如 果 从)0 , 0(点 开 始 ，xoy平 面 上 的 一 条 曲 线 始 终 沿 着 函 数 yx exxyxf 22 )62(),( 的梯度方向运行，试求该梯度曲线的轨迹. 解 梯度方向),( yx ffgradf 与曲线的切线方向一致，所以有 x y f f dx dy 即得 0)0( 4 )62(2 2 2 y x xx dx dy dx x xx y 4 62 2 2 2 C x xx 2 arctan2)4ln(22 2 由0)0(y得到4ln2C，所以得到所求的曲线 2 arctan2 4 4 ln22 2 xx xy 六 （本题 10 分）利用交换积分次序的方法计算积分 dyexdx y x 2 2 4 3 2 0 解 dxexdydyexdx y y y x 22 2 3 0 4 0 4 3 2 0 4 0 2 2 4 1 dyey y ) 115( 4 1 ) 1( 4 1 16 4 0 2 2 eey y 同济大学 2011-2012 学年第二学期高等数学 B(下)期中考试试卷-3 七 （本题 10 分）计算二重积分dxdyyx D 2 )(，其中D是由;2 22 yyx0x确定的 闭区域. 解 dxdyyxyxdxdyyx DD )2()( 222 dd 3 sin2 0 2 0 )cossin21 ( 2 0 4 sin)cossin21 (4 d 3 4 4 3 12 169 八 （本题 10 分）计算三重积分 dvyxz 22 ， 其中是由平面曲线 0 2 y xz 绕z 轴 旋转所成曲面与平面1z 所围成的立体. 解 11 0 2 0 2 dzzddI 1 0 24) 1 (d 21 4 九 （本题 8 分）),( ,),( 111nnn zyxzyx是空间n个点，证明：若平面是使得该n点到 平面距离的平方和取得最小值的平面，则该平面必经过点),(zyx，其中 n i i x n x 1 1 ， n i i y n y 1 1 ， n i i z n z 1 1 证 设0DCzByAx 是使得n点到平面的距离平方和取得最小值的平面 即 n i iii DCzByAx CBA DCBAf 1