幂函数及应用全部.doc

学科教师辅导讲义 教学主任签字： 学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时学员姓名： 张浩翔 辅导科目：数学 学科教师：授课日期及时段2017年2月11日教学目标1、 使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。2、 会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题1、 幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数其中x是自变量，是常数化解疑难1幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)x前的系数为1，且只有一项2指数函数与幂函数的辨析指数函数yax(a0，且a1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数yx(R)以幂的底为自变量，指数为常数.：在同一坐标系中，试作出幂函数yx，yx，yx2，yx3，yx1的图象化解疑难常见幂函数的图象与性质解析式yxyx2yx3yyx图象定义域RRRx|x00，)值域R0，)Ry|y00，)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减在0，)上单调递增定点(1,1)化解疑难幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸(3)1)其中幂函数的个数为()A1B2C3 D4(2)已知幂函数y(m2m1)xm22m3，求此幂函数的解析式，并指出定义域(1)解析为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选B.答案B(2)解y(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，则yx3，且有x0；当m1时，m22m30，则yx0，且有x0.故所求幂函数的解析式为yx3，(x0)或yx0(x0)类题通法判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件活学活用函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解：根据幂函数的定义得m2m11.解得m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.例2(1)如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图象，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2B2，2C，2,2， D2，2，(2)如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1解析(1)令x2，则222222，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为2，2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，n1.答案(1)B(2)B类题通法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断活学活用已知函数yxa，yxb，yxc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()Acba BabcCbca Dcab解析：选A由幂函数的图象特征知，c0，b0.由幂函数的性质知，当x1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则ab.综上所述，可知cb，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)函数y1x为R上的减函数，又，.又函数y2x在(0，)上是增函数，且，.类题通法比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小典例已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则满足(a1)(32a)的a的取值范围为_解析函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，m22m3是偶数又222233为奇数，122134为偶数，m1.又yx在(，0)，(0，)上均为减函数，由(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a32a，即a的错误结论2由f(x1)(m1)，则实数m的取值范围为_解析：考察幂函数yx，因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m.故m的取值范围为1，)二、函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点化解疑难函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数例如函数f(x)x1，当f(x)x10时，仅有一个实数根x1，所以函数f(x)x1有一个零点1，由此可见函数f(x)x1的零点是一个实数1，而不是一个点(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点函数f(x)x24x3图象如图函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根化解疑难对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0.则可判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个(3)当函数yf(x)的图象在a，b上是连续的曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点例1(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是xlog23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是x3.类题通法函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点活学活用判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)例2(1)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)(2)函数f(x)lg x的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9) D(9,10)解析(1)利用f(a)f(b)0，f(1)40，在(3，1)内必有根，又由f(2)40，在(2,4)内必有根故选A.(2)f(6)lg 6lg 60，f(7)lg 70，f(8)lg 80，f(9)lg 910，f(9)f(10)0.f(x)lg x的零点的大致区间为(9,10)答案(1)A(2)D类题通法确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反例3(1)函数f(x)ln x的零点的个数是()A0 B1C2 D3(2)判断函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数(1)在同一坐标系中画出yln x与y的图象，如图所示，函数yln x与y的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2.答案C(2)解法一：f(0)10210，f(x)在(0,2)上必定存在零点，又f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点类题通法判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法：法一：直接求出函数的零点进行判断；法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0，f(2)1ln 2ln0，所以f(3)f(2)0时，f(x)0；当x0时，f(x)0时，是增函数；幂函数yxn当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小正确的命题为()A BC D3已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f_.4函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)时是减函数