2017高二下学期西城理数试题及答案官方完美版..pdf

高二数学第二学期期末试卷（理科）第 1页共 9页 北京市西城区 2016 2017 学年度第二学期期末试卷 高二数学（理科）2017.7 试卷满分：试卷满分：150 分分考试时间：考试时间：120 分钟分钟 题号题号一一二二 三三 本卷总分本卷总分 151617181920 分数分数 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1. 复数 2i 1 i （） （A）1i （B）1i （C）1i（D）1i 2. 已知函数( )e x f x ，则( 1)f （） （A） 1 e （B） 1 e （C）e（D）e 3. 甲射击命中目标的概率为 1 2 ，乙射击命中目标的概率为 1 3 . 现在两人同时射击目标，则 目标被击中的概率是（） （A） 1 4 （B） 1 3 （C） 2 3 （D） 5 6 4. 已知函数( )f x在R上可导，其部分图象如图所示， 设 (2)(1) 2 1 ff a ，则下列不等式正确的是（） （A）(1)(2)aff （B）(1)(2)faf （C）(2)(1)ffa （D）(1)(2)ffa O O x O y O 1 O 2 O 5.直线yx与抛物线 2 yx所围成的封闭图形的面积是（） （A） 1 12 （B） 1 8 （C） 1 6 （D） 1 4 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 2页共 9页 6.用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（） （A）16个（B）12个（C）9个（D）8个 7. 函数( )2sinf xxx在区间0, 上的最大、最小值分别为（） （A）,0（B）2 ,0 2 （C）,1 4 （D）0 ,1 4 8.5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ） （A）总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 （B）总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 （C）总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 （D）总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 9.曲线 1 y x 在2x 处切线的斜率为_. 10. 4 ) 1 2( x x展开式中的常数项是_.（用数字作答） 11. 离散型随机变量的分布列为: 123 p 1 p 2 p 1 4 且2E，则 1 p _； 2 p _. 12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个， 并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_种 13. 若函数 32 ( )f xaxaxx在区间( 1,0)上恰有一个极值点， 则a的取值范围是_ 14. 已知，对于任意xR，exaxb均成立. 若ea ，则b的最大值为_； 在所有符合题意的ba,中，ab的最小值为_ 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 3页共 9页 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 13 分） 在数列 n a中，1 1 a，1 2 1 nn a n n a，其中1,2,3,n . () 计算 2 a， 3 a， 4 a， 5 a的值； () 根据计算结果，猜想 n a的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 16 （本小题满分 13 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 16 1 . ()求甲投球2次，至少命中1次的概率； ()若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率. 17 （本小题满分 13 分） 已知函数 32 ( )3f xxax. () 若1a，求)(xf的极值点和极值； () 求)(xf在0,2上的最大值. 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 4页共 9页 18 （本小题满分 13 分） 一个袋中装有黑球，白球和红球共n( * nN)个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋 中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 5 2 . 现从袋中任意摸出2个球. () 用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值.（直接写 出n的值） () 若15n，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是 7 4 ，设X表示摸出的2个球中 红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )f xaxbx和xxgln)(. () 若1ba，求证：( )f x的图象在( )g x图象的上方； () 若( )f x和( )g x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围. 20 （本小题满分 14 分） 已知函数( )(1)exf xx. （）求( )f x的单调区间； （）证明：当0a时，方程( )f xa在区间(1,)上只有一个解； （）设( )( )ln(1)h xf xaxax，其中0a.若( )0h x 恒成立，求a的取值范围. 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 5页共 9页 北京市西城区 2016 2017 学年度第二学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. A；2.D；3. C ；4. B ；5. C；6. D；7. C； 8. B . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9. 4 ；10.24；11., 42 ；12.42； 13. 1 (,) 5 ；14.0； 1 e . 注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. 15.（本小题满分 13 分） 解： () 根据已知， 2 4a ； 9 9a ； 4 16a ； 5 25a . 4 分 ()猜想 2 n an. 6 分 证明： 当1n时，由已知1 1 a； 由猜想， 2 1 11a ，猜想成立. 8 分 假设当kn （k * N）时猜想成立，即 2 k ak，10 分 则1 kn时， 22 1 ) 1(1 2 1 2 kk k k a k k a kk . 所以，当1nk时，猜想也成立.12 分 由和可知， 2 n an对任意的 * nN都成立.13 分 16.（本小题满分 13 分） 解：()设“甲投球一次命中”为事件A， 则 11 ( ),( ) 22 P AP A. 2分 故甲投球2次至少命中1次的概率为 3 1()1( ) ( ) 4 P A AP A P A . 5分 () 设“乙投球一次命中”为事件B. 由题意得 1 ()(1)(1) 16 P B Bpp，7 分 解得 4 3 p或 4 5 (舍去)， 所以 31 ( ),( ) 44 P BP B.8 分 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 6页共 9页 甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中 两次.9 分 甲中两次，乙中一次的概率为 1 2 11313 ( ) ( )( ) ( )2 224432 P A P A C P B P B .11 分 甲中一次，乙中两次的概率为 1 2 11339 ( ) ( ) ( ) ( )2 224432 C P A P A P B P B .12 分 事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概 率为 933 32328 . 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为 3 8 .13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：() 当1a时， 32 ( )3f xxx， 2 ( )36fxxx.2 分 令 2 ( )360fxxx，得0 x 或2x . ( )fx与( )f x在R上的情况如下： x(,0)0(0,2) 2 (2,) ( )fx00 ( )f x 04 4 分 所以，函数)(xf的极大值点为0 x ，极大值为0；极小值点为2x ，极小值为4. 6 分 () 2 ( )363 (2 )fxxaxx xa.7 分 当0a 时，( )0fx（仅当0 x 时，( )0fx） ，函数)(xf是增函数， )(xf在0,2上的最大值为(2)8128fa.8 分 当0a 时，在区间(0,)上( )0fx，函数)(xf是增函数. )(xf在0,2上的最大值为(2)812fa.10 分 当0a 时，( )fx与( )f x在区间(0,)上的情况如下： x0(0, 2 )a 2a ( 2 ,)a ( )fx00 ( )f x0 ( 2 )fa 11 分 此时，(0)0f，(2)8 12fa. 当8120a，即 2 0 3 a时，)(xf在0,2上的最大值为(2)8 12fa. 12 分 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 7页共 9页 当8120a，即 2 3 a 时，)(xf在0,2上的最大值为(0)0f.13 分 综上，当 2 3 a 时，)(xf在0,2上的最大值为0；当 2 3 a 时，)(xf在0,2上 的最大值为812a. 18.（本小题满分 13 分） 解：() 依题意有n 5 2 个黑球. 记“摸出的 2 球都是黑球”为事件A， 则 2 2 5 2 22 (1) 410 55 ( ) (1)2525 n n C nn n P A Cn nn .4 分 ( )P A最小时5n.5 分 () 依题意有 2 156 5 个黑球.6 分 设袋中白球的个数为x(个)， 记 “从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球” 为事件B， 则 2 15 2 15 4 ( )1 7 x C P B C ，整理得 2 291200 xx， 解得5x 或24x （舍）.8 分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X的取值为0,1,2.9 分 2 11 2 15 11 (0) 21 C P X C ； 11 411 2 15 44 (1) 105 C C P X C ； 2 4 2 15 2 (2) 35 C P X C . X的分布列为： 12 分 数学期望 114428 012 211053515 EX .13 分 19.（本小题满分 14 分） 解：() 当1 ba时， 2 ( )f xxx. 设 2 ( )lnh xxxx，0 x .1 分 则 2 121(21)(1) ( )21 xxxx h xx xxx ，2 分 所以，在区间 1 (0, ) 2 上( )0h x，( )h x是减函数；在区间 1 ( ,) 2 上( )0h x，( )h x 是增函数.4 分 X012 P 11 21 44 105 2 35 高二数学第二学期期末试卷（理科）第 8页共 9页 所以，( )h x的最小值为 1 ( ) 2 h 31 ln 42 ，又 31 ln0 42 ，所以( )0h x 恒成立. 即( )f x的图象在( )g x图象的上方.5 分 () 设 00 (,)P xy，其中 0 0 x .由已知( )2fxaxb， 1 ( )g x x . 因为在点P处的切线相同， 所以 2 000000 0 1 2,lnaxbyaxbxyx x .7 分 消去 0 , b y得 2 00 ln10axx . 根据题意， 方程 2 00 ln10axx 有解.8 分 设 2 ( )ln1F xaxx，则( )F x在(0,)上有零点. 2 121 ( )2 ax F xax xx ， 当0a 时，( )0F x，函数( )F x在(0,)上单调递增. 当1a 时，(1)10Fa ， 111 ()1ln1ln0F aaa ，( )F x有零点. 当01a时，(1)10Fa ， 22 (e )e10Fa ，( )F x有零点.11 分 当0a 时，令( )0F x，解得 1 2 x a . ( )F x与( )F x在区间(0,)上的情况如下： x 1 (0,) 2a 1 2a 1 (,) 2a ( )F x0 ( )F x 13 ln 22a 令 13 ln0 22a ，得 3 1 2e a . 此时(1)10Fa .所以( )F x有零点.13 分 综上，所求a的取值范围为 3 1 ,) 2e .14 分 20.（本小题满分 14 分） 解： （）由已知( )e(1)ee xxx fxxx.2 分 所以，在区间(,0)上( )0fx，函数( )f x在(,0)上单调递减， 在区间(0,)上( )0fx，函数( )f x在区间(0,)上单调递增.4 分 （）设( )( )(1)exg xf xaxa，0