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Chap1 数列的极限1. 设及,用语言, 证明: .证 , .(1) 当时, 那么, 下证., 则存在, 当时, ., 此即.(2) 当时, , 存在, 当时, .综上两方面 ,即证.2. 已知, 用语言, 证明: .证 (1) 当时, 那么, , 存在, 当时, ;, 此即.(2) 当时, 因为.令, , 则对,存在, 当时,有.而.3. (算术平均收敛公式)设.令, 求证:.证法1 由施笃兹公式 .证法 2 由 , 则, 存在, 使当时, 有.令, 那么 . 存在, 使当时, 有. 再令, 故当时, 由,有.4. (几何平均收敛公式)设. 且. 证明: .证 , .再由算术平均收敛公式可知.5. 证明: , 其中.证 令 ,则, 依伯努利不等式, 有,即.要,只要.所以,有.取,则当时, 就有, 即.6. 证明: 若, 则. 当且仅当为何值时逆命题也成立.证 由题设 , 知, 当时, 皆有.从而当时总有,所以.当且仅当时,逆命题也成立.7. 设, 且,用语言, 证明: .证 当时, 有 (由二项展开式得)要使 ,只需.即若取 , 则当时, 就有,所以. 数列,是无穷小序列.8. 利用单调有界性证明: 设, , 且, . . 则.证 , 是显然的.由 ,得 , .知单调增加 , 单调减少 , 又, ,所以,有界. 即,存在.对两边取极限,得.9. 证明: 数列单调增加 , 数列单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记,由平均值不等式 ,知 , ,即单调增加 , 单调减少, 且 .所以,单调有界,必定收敛.由,知它们有相同的极限.即.10. 证明: 若. 则数列收敛.证 由上例知 , 两边取对数得 , 即有不等式 .则 , 即单调减少有下界 , 所以收敛.11. 设数列满足: , , .证明: 数列收敛, 并求.证 ,.用数学归纳法可证 .由式知即单调递增.再由式知, 收敛.设, 则. , 两边取极限有: . , 又., 即.12. 设, , , .证明: 数列收敛, 并求其极限.证 先用数学归纳法证明,当时, 结论成立, 归纳假设结论对成立, 再证时, 因为, . 即式成立.单
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