数学建模100个模型.pdf

数学建模题库 数学建模题库 为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析，还常常需要从 侧面或反面思考，尽可能迅速的回答1-5题。 1. 某人早上8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留 宿。次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆。则此人必在两天中 同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ 2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队的胜者以及轮空者 进入下一轮， 直到比赛结束， 问共需进行多少场比赛， 共需进行多少轮比赛？ 3. 甲乙两站之间有电车相通，每隔十分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻 不一定相同。 甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达兵站，并搭 乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站。问开往甲乙 两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ 4. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻 子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班，搭乘早一班火车于5：30抵达 T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他， 即接他回家，此时发现比往常提前了十分钟。问他步行了多长时间？ 5. 一男孩和一女孩分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天 同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家。 一小狗以6千米/ 小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返只至回到家 中，问小狗奔波了多少路程？ 6. 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如图一所示的一个圆圈，然后在两 颗颜色相同棋子中间放一颗黑棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白棋 子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿 走前次的一圈棋子，问这样重复下去棋子的颜色会发生怎样的变化？ 图一 1 7. 在任何一个5分钟内均匀跑500米，问能10分钟恰好跑完1000米吗？ 8. 要用40块方形瓷砖铺如图二所示形状的地板，但当时市场上只有长方形的瓷 砖，每块大小等于方形的2倍，一人买了20块长方形瓷砖，问他能铺成功吗？ 图二 图三 9.18世纪，普鲁士格尼斯堡镇上有一个小岛，岛旁流过一条河的两条支流，七座 桥跨在河的两支支流上（如图三） ，假设A表示岛，B表示河的左岸，C表示右 岸，D为两支支流间地区，a,b,c,d,e,f,g分别表示七座桥，问一个人能否经过每 座桥一次且恰好一次且最后回到原出发点？ 10.证明，在6人的集会上假设认识是相互的，则总能找到3个人互相都认识，或 者互相谁也不认识谁。 11.一个摆渡人F希望用一条小船把一只狼W， 一头羊G和一篮白菜C从一条河的左 岸渡到右岸，而船只能容纳F,W,G,C中的两个，决不能在无人看守的情况下， 留下狼和羊在一起，羊和白菜在一起，应该怎样渡河，才能把狼、羊、白菜都 运过去？ 12.有三对夫妻要过河，船至多可载两人，条件是任何一女子不能在其丈夫不在 场的情况下与另外的男子在一起，问如何安排这三对夫妻过河？ 13.人在雨中沿直线从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人的行走速度 多大才能使淋雨量最小？ 14.微型计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系 统将其格式化成磁道和扇区（构造如图四） 。磁道上的定长弧段可作为基本存 储单元,根据磁化与否可分别记录0或1，这个基本单元通常被称为比特(BIT)。 为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于 1，每比特所占用的磁道长度不 得小于 b ，为了数据检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的 2 比特数。现有一张半径为R的磁盘，它的存储区的半径介于r与R之间的环形区 域，试确定r，使磁盘具有最大储存量 图四 图五 15.一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是 圆轨道，通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天 空不动。若地球半径取为R=6400千米，问卫星距地面的高度应为多少，试计 算通信卫星的覆盖面积。 16.一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔 放水。设水从小孔流出的速度为ghv2=，求在任意时刻的水面高度和将水 放空所需的时间。 17.我缉私舰雷达发现距c km处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即 以最大速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私 船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。 18.确定一个连接二定点A,B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至 B(忽略摩察力和阻力)。 19.在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让 那些正行驶在十字路口或者距离十字路口太近以至无法停下的车辆通过路口， 那么，黄灯应该亮多长时间呢？ 20.一种耐用的新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先不断增加，然后逐 渐下降的过程，称为产品的生命周期(Product Life Cycle)，简记为PLC，PLC 曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型， （如图五） ，建立数学模型分析此 现象 3 21.兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且兔 子出生以后都能成活，问一年以后共有多少对兔子？两年以后共有多少对兔 子？ 22.一个人为了积累养老基金，每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%， 且可以任意分段按福利计算，问此人5年后共积累了多少养老金？如果存款和 复利按日计算，则他又有多少养老金？ 23.一农业研究所植物园中某植物的基因为AA,Aa,aa，研究所计划采用AA型的植 物与每一种基因型植物相结合的方法培育植物后代，问经过若干年后，这种植 物的任意一代的三种基因型分布如何？ 24.波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴， 分别放在两个衣兜里， 每盒有n根火柴。 每次使用时，便随机地从其中一盒取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而 另一盒中剩下的火柴根数的分布率。 25.某人给他的N个朋友写信，写好后分别将这些信放入N个信封中，并在每一个 信封上分别任意不重复地写上N个收信人的一个地址。问他一个都没有写正确 和恰有r个写正确的可能分别是多少？ 26.某车间有200台车床相互独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具、 变换位置等种种原因需要停车。若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床 在开动时需要耗电1KW，问应供给这个车间多少电力才能保证在8小时生产中 大约仅有半分钟因电力不足而影响生产。 27.为了估计湖中鱼的数量，先从湖中钓出r条鱼做上记号后又放回湖中，然后再 从湖中钓出S条鱼， 结果发现S条鱼中有x条鱼标有记号.问应该如何估计湖中鱼 的数量N. 28.报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回报社。设每 份报纸的购进价为b元，零售价为a元，退回价为c元。故，abc.报童售出一 份报纸赚a-b元，退回一份报纸赔b-c元，所以报纸进得太多卖不完要赔钱，进 得太少不够卖要少赚钱。试为报童筹划应如何确定购进的报纸数使收益最大。 29.某厂用200台机器来加工两种零件，需要安排4周完成任务。根据以往的经验 知道：机器加工第一种零件，一周后损坏的概率是1/9；加工第二种零件，一 周后损坏的概率是1/10。如果机器加工第一种零件一周的收益为90元，加工第 4 二种零件一周的收益为88.5元。问怎样分配机器的任务，才能使总收益最大？ 30.某超市有一个收款台，已知顾客到收款台和服务时间都是随机的。顾客按泊 松分布到达，平均每小时到达20人。收款时间服从指数分布，平均每个顾客需 要2.5分钟。试求该收款台服务员空闲的概率、服务台前排队顾客的期望值和 每个顾客等待时间的期望值。 31.一个星级宾馆有150间客房，经过长期的经营实践，宾馆经理得到一些数据： 如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房 率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%，试确定每间房的定价， 使得每天的收益最大。 32.假设你是某厂的业务厂长，你的任务之一是定期订购某种原料。如果每次订 货费为4000元，每天每吨货物的储存费为200元，每天工厂对原料的需求量恒 为定10吨。在不会缺货的情况下你应如何设置订货周期T与订货量Q使得这部 分费用最省。假设开始时原料的存货量为0，并从第一批货达到时开始计时， 最大的存储量为100吨。 33.把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍挪 动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。建立数学模型解释这一现象。 34.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t)， t到时间内人口 的增量与成正比（其中为最大容量） 。试建立模型并求解。 tt+ )(txxm m x 35.在超市购物你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗.比如洁银牙 膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1 试用比例方法构造模型解释这个现象，分析商品价格C与商品重量w之间的关 系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量成 正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 36. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简 化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。 37.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方 法，使加工出尽可能多的圆盘。 38.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨 5 动物 体重(g) 心率（次/分） 田鼠 25 670 家鼠 200 420 兔 2000 205 小狗 5000 120 图六 表一 速与雨滴质量的关系。 39. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的 夹角应多大(如图六)。若知道管道长度需要多长的布条。 40.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能 量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个 动物体重与心率之间的关系的模型，并用表一所列的表中的数据加以检验。 41.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理的、简化的假设下建立比 赛成绩与体重之间的关系吗，表二是一届奥运会的成绩，可供检验模型 组别 最大体重（kg） 抓举（kg） 挺举（kg） 总成绩（kg） 1 54 132.5 155 287.5 2 59 137.5 170 307.5 3 64 147.5 187.5 335 4 70 162.5 195 357.5 5 76 167.5 200 367.5 6 83 180 212.5 392.5 7 91 187.5 213 402.5 8 99 185 235 420 9 108 195 235 430 10 108 197.5 260 457.5 表二 42.速率为v的风吹在迎风面积为s的风车上， 空气密度是 ， 用量纲分析法确定风 车获得的功率P与v, s, 的关系。 43.雨滴的速度v与空气密度 、 粘滞系数和重力加速度g有关， 其中粘滞系数 的定义是： 运动物体在流体中受到的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正 比，比例系数为粘滞系数 。用量纲分析法给出v的表达式。 44. 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备需要花 6 生产准备费（与生产数量无关） ，同一部件的产量大于需求时因积压资金、占 用仓库要付储存费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元， 储存费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安 排该产品的生产计划，即多少天生产一次。 45.一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的 生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会 降低0.1元。问该场该什么时候出售这样的生猪？如果上面的估计和预测有出 入，对结果有多大影响。 46.一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品A1,A2，1桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工3公斤A1，或在设备乙上8小时加工4公斤A2。根据市场需求，生产的 A1 ,A2全部能售出， 且每公斤A1获利24元， 每公斤A2获利16元。 现在加工厂 每 天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备 甲每天最多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一 个生产计划，使每天获利最大。 47.46题给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全部不 变。为增加工厂的获利，开发奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可 将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1， 也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶 制品B2，每公斤B1获利44元，每公斤B2获利32元。试为该厂制定一个生产销售 计划，使每天的净利润最大。 48.一汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动 时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时间的现有量如表三所示。试制订 月生产计划，使工厂的利润最大。 小型 中型 大型 现有量 钢材（吨） 1.5 3 5 600 劳动时间（小时） 280 250 400 60000 利润（万元） 2 3 4 表三 49.某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙） 。甲、乙两种汽油 含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公 司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过 1500吨的原油A。 原油A的市场价为： 购买量不超过500吨时单价为1000元/吨； 购 7 买量超过500吨但不超过1000吨时， 超过500吨的部分8000元/吨； 购买量超过1000 吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司该如何安排原油的采购和加工。 50.某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4100米混合泳接 力比赛。5名队员4种泳姿的百米成绩如表四所示，问应如何选拔队员? 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 8601 27 5 811 011 4701 仰泳 6511 68 5 8701 2411 111 蛙泳 721 4601 6421 6901 8321 自由泳 68 5 3 5 49 5 27 5 4201 表四 51.某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运 筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要 求如表五所示，那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中的那些课程。 课程编号 课程名称 学分 所属类别 先修课要求 1 微积分 5 数学 2 线性代数 4 数学 3 最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程 5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 6 计算机模拟 3 计算机；运筹学计算机编程 7 计算机编程 2 计算机 8 预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 运筹学；计算机微积分；线性代数 表五 52.某公司正在考虑在某城市开发一些销售代理业务。经过预测，该公司已经确 定了该城市未来五年的业务量，分别为400，500，600，700，800。该公司已 经初步物色了4家销售公司作为其候选代理企业，该公司与每个候选企业建立 代理关系的一次性费用、每个企业每年所能承揽的最大业务量、年运行费用如 表六所示。该公司应该与那些企业建立代理关系。 候选代理1 候选代理2 候选代理3 候选代理4 年最大业务量 350 250 300 200 一次性费用（万元） 100 80 90 70 年运行费用（万元） 7.5 4.0 6.5 3.0 表六 53.某饮料产生产一种饮料用以满足市场需求。该厂销售科根据市场预测，已经 8 确定了未来四周该饮料的需求量。 计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的 生产能了和生产成本，如表七所示。每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出 储存费，为每周每千箱饮料0.2千元。问应如何安排生产计划，在满足每周市 场需求的条件下使四周的总费用（生产成本与存储费之和）最小。 周次 需求量（千箱） 生产能力（千箱） 成本（千元/千箱） 1 15 30 5.0 2 25 40 5.1 3 35 45 5.4 4 25 20 5.5 合计 100 135 表七 54.某饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料以满足市场需求。如果某周开 工生产其中一种饮料，就要清洗设备和更换部分部件，于是需支出生产准备费 8000 元。现在只考虑一种饮料的生产，假设其未来四周的需求量、生产能力、 生产成本和储存费与 53 题完全相同，应如何安排这种饮料的生产计划，在按 时满足市场需求的情况下，使生产该种饮料的总费用最小？ 55.某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求切割后售出，从钢管厂进 货时得到的原料钢管都是 19 米。现有一批客户需要 50 根 4 米、20 根 6 米和 15 根 8 米的钢管，应如何下料最节省？ 56.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向 7 个区的大学生售书，每个 区的大学生数量(单位：千人)已经表示在图七上。每个销售代理点只能向本区 和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供 应的大学生数量最大？ 图七 图八 57. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废 物的血管相通，如图八。人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中 的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜进入人工肾。设血液和人工肾中液体 9 的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正 比。人工肾总长 l，建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。 58.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是： 春季 6000 人日，夏季 7500 人日，秋季 5500 人日，冬季 9000 人日。公司新招 聘的保姆必须经过 5 天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培 训）65 天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资 800 元。 春季开始时公司拥有 120 名保姆，在每个季度结束后将有 15%保姆自动离职。 如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定一个下一年的招聘计划。 59.某公司将 4 种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产 两种产品（分别记为 A,B） 。按照生产工艺的要求。原料甲、乙、丁必须首先 倒入混合池中混合， 混合后的液体再分别与原料丙混合生产 A,B。 已知原料甲、 乙、丙、丁的含硫量分别是 3%，1%，2%，1%，进货价格分别是 6，16，10， 15（千元/吨） ，产品 A,B 的含硫量分别不能超过 2.5%，1.5%，售价分别为 9， 15（千元/吨） 。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供 应量最多 50 吨：产品 A,B 的市场需求量分别为 100 吨，200 吨。问应如何安 排生产。 60.有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书面试，然后到部门主管处面试，最后到经理处参加面试，并且不允 许插队（即在任何阶段四名同学的顺序是一样的）由于四名同学的专业背景不 同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表八所示。这四名同学约定他 们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早晨 8：00，问他们最早什 么时候能离开公司？ 秘书面试 主管面试 经里面试 同学甲 13 15 20 同学乙 10 20 18 同学丙 20 16 10 同学丁 8 10 15 表八 61. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求切割后售出，从钢管厂进 10 货时得到的原料钢管都是 1850mm，现有一批客户需要 15 根 290 mm、28 根 315 mm、21 根 350 mm 和 30 根 455 mm 的钢管。为了简化生产过程，规定所 使用的切割模式的种类不能超过四种， 使用频率最高的一种切割模式按照一根 原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的一种切割模式按照一根原料 钢管价值的 2/10 增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太 多（一根原料钢管最多生产 5 根产品） 。此外，为了减少余料浪费，每种切割 模式下的余料浪费不能超过 100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 62.建立适当的数学模型推导万有引力定律。 63.对于技术革新的推广，在下列情况下分别建立数学模型。 （1） 推广工作通过已经采用新技术的人推广， 推广速度与已采用新技术的人数 成正比，推广是无限的。 （2） 总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。 64.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况， 如何确定模型的参数。 65. 某储蓄所每天的营业时间是上午 9：00 到下午 5：00，根据经验每天不同时 间段所需要的服务员数量如表九所示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务 员。全时服务员每天报酬 100 元，从上午 9：00 到下午 5：00 工作，但中午 12：00 到下午 2：00 之间必须安排 1 小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣 不超过 3 名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作 4 小时，报酬 40 元。 问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员， 每 天至少增加多少费用？ 时间段 （时） 910 1011 1112121 12 23 34 45 服务员数 量 4 3 4 6 5 6 8 8 表九 66.在鱼塘中放入 n0尾 鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量增加 设尾数 n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与 鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。分 11 别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。 67 建立铅球掷远的模型。 。不考虑阻力，设铅球初速为 v，出手高度为 h，出手 角度为（与地面的夹角） ，建立掷远距离与 v、h、的关系式。 68.如果食饵捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的 食饵因体积太小免遭捕获。在适当假设下建立这三者之间的关系模型。 69.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物 以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存。在适当假设下建立这三者之间的 关系模型。 70.大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛 上物种数目的增加与尚未迁移的物种数目有关， 而随着迁移物种的增加又导致 岛上物种的减少。在适当假设下建立这岛屿的物种数模型。 71.讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系。若国民平均收入 x 与按人口 平均资金积累 y 成正比， 说明仅当总资金积累的相对增长率 k 大于人口的相对 增长率 r 时，国民平均收入才是增长的。 72. 图九是 5 位网球选手循环赛的结果。作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出 几条完全路径，用适当方法排出五位选手的名次。 图九 图十 73.考察由野兔 R 和狐狸 F 组成的生态系统，在野兔的食物资源充足的情况下， 其带符号的有向图如图十所示。 （1）解释图中+,-号的意义。 （2）若初始时段 野兔有一增量，且设，v(0)=(10,10),计算 v(1),v(2)。 74. 排名次的另一种方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉场次的 数目为他的失分） ，按失分由小到大排列名次。证明：这相当于把竞赛图中各 有向边反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒过来。 75.食肉动物食草动物和草组成生态系统，因为草地有限，草过密会使草的生长 12 减慢，用带符号的有向图建立这个系统的冲量过程模型。 76.公共汽车系统用带符号的有向图表示如图十一，其中只有单位距离票价随着 乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边的表以？号） 。 讨论这个符号应为+还是-才能使冲量过程稳定。 21 图十一 图十二 77. .建立交货时间为随机变量的存储模型，设商品订货费为 c1，每件商品单位时 间的储存费为 c2，缺货费为 c3，单位时间需求量为 L，图十二中 L 称订货点。 当储存量降至 L 时订货，而交货时间 x 是随机的，如图中的 x1,x2。设 x 的概率密度函数为 p(x)。订货量使下一周期初的储存量达到固定值 Q。为了使 总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点 78.理事会有 5 个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少四 个非常任理事赞成时方可通过， 求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的 权重。 79.奇数个席位的理事会由三派组成。议案表决实行过半数通过方案。证明在任 一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权 重都是一样的。 80.若每份报纸的购进价为 0.75 元，售出价为 1 元，退回价为 0.6 元，需求量服 从均值 500 份，方差为 50 份的正态分布，利用 28 题的结果计算报童每天应购 进多少报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？ 81.某商店要订购一批商品零售，设购进价 c1，售出价 c2，订购费 c0（与数量无 关） ，随机需求量 r 的概率密度为 p(r)，每件商品的储存费为 c3（与时间无关） 。 问如何确定定购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少？ 13 82 某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入 1 万元。若将土地租给某 乙（企业家）用于工业生产可收入 3 万元。当旅店老板请企业家参与经营时， 收入达到 4 万元。为促成最高收入的实现，试用 Shapley 值方法分配个人的所 得。 83.建立物体在空气中冷却时，冷却速度的变化模型。如果物体在 20 分钟内由 ，那么经过多长时间，此物体的温度将达到。 oo 60100 冷却到 o 30 84.有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1cm2， 开始时容器内盛满了水， 求水从小孔的流出过程中容器里水面的高度h随时间 变化的规律. 85.现有资金500万元，可对三个项目进行投资。要求项目2投资不得超过300 万元，项目1和项目3的投资均不得超过400万元，并且项目3至少要投资100 万元。各项目的投资额度是以百万元为单位的整数倍，每个项目投资5年后，预 计可获得收益如表十，问如何投资可获得最大收益？ 0 1 2 3 4 项目1 0 3 6 10 12 项目2 0 4 10 12 项目3 5 8 11 15 投 资 额 表十 86. 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻 t 冲击波达到的半径 r 与释放能量 e，大气密度大气压强p有关（t=0时r=0） 证明)()( 32 652 e tpet r =，是未定函数。 87.用量纲分析法研究人体浸在均匀流动的水里时损失的热量。记水的流速 ，密 度 v ，比热 ，粘性系数u，热传导系数，人体尺寸。证明人体与水的热 交换系数h与上述物理量的关系可表为 ckd ),( k uc u vd d k h =， 是未定函数，h定 义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1时的热量交换。 C o 收 项 益 目 14 88. 用量纲分析法研究两带电平行板间的引力，板的面积为s,间距为d,电位差为 v,板间介质的介电常数为，证明两板之间的引力。 )/( 22 dsvf= 89.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。 给出周期的表达式。 90.商店在一周中的销售是随机的。每逢周末经理要根据存货的多少决定是否定 购货物以供下周的销售。 适合经理采用的一种简单策略是制定一个下界s和一 个上界S，这种策略被称为(s, S)随机存储策略。合理假设，建立模型制定s, S. 91. 把粗大的钢胚变成合格的钢材需要两道工序，第一道是粗轧（热轧） ，形成 钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧） ，得到规定长度的成品钢材。粗轧时由于 设备、环境等众多因素的影响，得到的钢材的长度是随机的，大体上呈正态分 布，其均值可以由轧钢机调整，而均方差则是由设备的精度决定，不能随意改 变。如果粗轧后钢材的长度过长，就要把多余的部分切掉，造成浪费；如果粗 轧后钢材的长度比规定的长度短，则整根报废，造成更大的浪费。显然，应该 综合考虑这两种情况，使得总的浪费最小。 这一问题可以叙述为：已知成品钢材的规定长度l和粗轧后钢材长度的均 方差，确定粗轧后钢材长度的均值m，使得当轧机调整到m进行粗轧，再 通过精轧以得到成品钢材时总的浪费最少。 92. 航空公司决定展开预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按 时前来登机，可以乘坐下一班机或者退票，无需附加任何费用。当然，也可以 订票时只订座，登机时才付款。 开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞 机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因 不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而如果不限制预订票数量，那么当持票前 来按时登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨， 公司不管以什么方式补偿， 也会导致声誉受损和一定的经济损失， 如客源减少、 挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等。建立模型综 合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。 93. 书店要订购一批新书出售，书店决定印制详细介绍图书内容的精美广告分发 给广大读者，以招来顾客。虽然读者对这种图书的需求是随机的，得到了广告 15 也不一定去买，但是我们知道，随着广告费的增加，潜在的购买量会上升，也 就是说你让越多的人知道这些书，可能买这这些书的人也就会越多。可现在面 临的问题是1.顾客知道了这些书， 不一定从这家书店购买