数学建模-降落伞的选择.doc

降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。首先，我们要确定阻力系数。通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选购。最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3米，载重300千克的降落伞从500米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。为了确保救灾物资顺利的到达地面，我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素，因此我们对已知数据进行拟合，得到风速，偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数，在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下，选择最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为 l的16根绳索连接着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图所示。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。降落伞在降落过程中受到空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，是费用最低。半径r/m22.533.54费用/元651703506601000表格 1 不同半径的降落伞伞面价格t/s036912151821242730x/m500470425372317264215160108551表格 2降落伞试验的时刻t与高度x的观测值问题的分析这是一个有约束的优化问题，目标函数是降落伞的总费用，为了实用上的方便，不妨只选一种规格（伞半径）的降落伞，于是总费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积，而你决策变量是降落伞数量（记作n）和每个伞的半径r。虽然r和n都只能取有限个离散值，但是，对n和r的各种组合进行枚举计算，逐个验算是否满足约束条件，比较费用，是相当繁琐的，并且缺乏一般性。我们宁可先将n和r看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求做适当调整。约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s，为表述这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程，而方程中的重要参数空气阻力系数又要通过测量数据（表格2）作拟合得到。显然，由于测量数据是时间和高度，所以需要找出速度和高度之间的关系。确定费用函数的关键是找出伞面价格与伞半径的关系，它可以根据所给数据（表格1）用适当的函数来拟合，观察这些数据的散点图，用幂函数拟合比较合适。建立降落伞下落的微分方程时，关键是对所受阻力的分析，显然，阻力随着降落速度和伞面积的增加而变大。模型假设（1）伞面价格c1与伞半径r的关系，用幂函数c1=arb（a,b为待定参数）按照表格1数据来拟合；载重m位于球心下方面处，每根绳索的长度l=r。（2）降落伞在空中只受到向下的重力和向上的空气阻力的作用，阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比，阻力系数用表格2数据作拟合；降落伞初速为零。符号说明降落伞数目所投物的质量物体在时刻的高度物体在时刻的速度阻力系数降落伞的面积重力加速度时间降落伞的半径降落伞的总费用每个降落伞的三面价格每个降落伞的绳索价格其他费用模型建立（1） 目标函数 n个降落伞的总费用，记作C。每个降落伞的费用由伞面价格c1=arb,绳索价格和其他费用c3=200组成，于是 （20） （2） 伞的速度和高度记时刻t伞的速度为v(t),高度为x(t),空气阻力为kr2v,k是待定参数，按照牛顿第二定律，v(t)满足 （21） 其中，m=2000/n（一个降落伞的载重），g=9.8m/s2,方程（21）的解为 （22）对速度函数积分，并注意到t=0时x=500，得到伞的高度x(t)为 （23）（3） 约束条件 降落伞落地速度不超过20m/s,即当（23）式的x=0时的解得的根t,代入（22）式后满足，此外还有 的附加条件， 整个优化模型可记作 （24） 当参数a,b,k用所给数据拟合确定后，即可求解模型（24）得到n，r（实数值），然后再作适当调整。模型求解（1） 参数估计 a，b的估计：先将 然后对于表14.5数据用线性最小二乘法和MATLAB软件编程1 得到a=4.3039， b=3.9779与数据的拟合效果见图14.5.图表 1由表14.5数据拟合参数a,b下面取a=4.3 b=4K的估计：用表14.6数据估计k，注意到作降落试验时n=1，m=300，r=3，于是（23）式应改为 （25）有表14.6数据利用MATLAB软件作非线性最小二乘法拟合，编程2： 得到k=18.4583与数据的拟合效果见图14.6. 下面取k=18.5 图表 2由表14.6数据拟合参数k（2） 优化模型求解 将参数估计得到的a=4.3， b=4， k=18.5代入优化模型（24），用MATLAB的优化工具箱求解编程3 得到 x=6.0072 2.9695 27.0408 c=4.8245e+003 根据题目要求，将结果调整为n=6， r=3，验证落地速度是否不超过20m/s,为此，先由(23)求解非线性方程： （26）再将得到的t代入（22）式计算出落地速度，编程4： 得到 t =27.4867v =19.6196落地速度符合要求。最后，按照（20）式计算总费用（其中c1用实际价格350元），得到C=6*（350+90.5*3+200）=4920（元）。添加问题风速偏向与风速大小将影响降落伞下降过程中的拉直时间，从而影响降落伞落地时的速度大小，请分析出风向与风速对拉直时间的关系，确定适合利用降落伞空投物资的风速范围以及风速的偏向。 问题分析 降落伞拉直过程是降落伞开伞过程的一个重要阶段，早起拉直过程动力学模型，都是假设伞系统和气流方向一致，处于理想的直线状态。但实际上降落伞在拉直过程中，会收到各种因素的影响，导致降落伞的拉直方向几乎不可能与气流速度方向一致。当在拉直过程中受到风的影响时，拉直时间会随之改变，从而影响落地的速度，为了保证物资可以安全的抵达地面，我们需要建立风速与风向对降落伞拉直时间的关系模型，从中解出适合利用降落伞空投物资的风速与风向范围。由于限制条件要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s，以及上面已经求出的最优解的限制，我们可以得出在高度H处必须将降落伞打开，于是对拉直时间T做出了要求，即。所以我们需要先利用已知的数据，做出模型，在的范围内，求解出风速与风向的范围模型假设（1） 在降落伞拉直打开的过程中，我们假设此时降落伞做的是自由落体运动，即此时不受阻力的影响。（2） 假设在伞面打开以后，降落伞的运动过程与上一问中的运动情况完全相同。符号说明拉直时间最低开伞高度风向偏角风速大小物体在时刻的高度重力加速度约束条件 上一问题中，在不加拉直时间的情况下，我们求出费用最低的最优解，此时k=18.5，n=6，r=3，代入下式中： （27）假设落地速度v=20m/s，我们可以解出t=27.0860s, H-=491.6858m又因为拉直过程做的是自由落体运动，有 （28） 解得， （29）模型求解(1) 变量说明 在该模型中，我们只研究风速偏向，以及风速大小对拉直时间的影响，其他外界环境因素可先忽略。 在此，我们对风速偏向做出三维图解，如下图所示：(2)数据分析 偏角风速0204060801001201401601800m/s1.271.271.271.271.271.271.271.271.271.2730m/s1.371.351.291.221.161.151.181.191.201.2160m/s1.501.401.261.100.910.821.071.141.181.19 经过网络数据统计，我们得到表1-1、表1-2表1-1 拉直时间随风速偏角的变化风速(m/s)051015202530拉直时间(s)/0度顺风1.271.281.31.32 1.341.351.37拉直时间(s)/90度顺风1.271.261.251.241.211.181.15拉直时间(s)/180度逆风1.271.261.251.241.231.221.22风速(m/s)354045505560拉直时间(s)/0度顺风1.41.431.451.471.491.5拉直时间(s)/90度顺风1.111.081.051.010.980.95拉直时间(s)/180度逆风1.211.211.211.211.201.20表1-2 拉直时间随风速大小的变化利用MATLAB，导入数据得到图1-1、图1-2图1-1图1-2(3) 数据处理风速偏向与拉直时间关系由图1-1我们可以看出，风速0m/s与风速60m/s是两个边界图像，即0m/s60m/s之间的风速值所对应的图像都在0m/s图像和60m/s图像之间，因此我们只需考虑0m/s和60m/s两种情况即可。（a） 风速大小为0m/s时 由散点图可知拟合函数为三角函数，我们可以假设风速偏向与拉直时间的关系为： （30） 将数据代入matlab软件中进行拟合（编程5），可以得到： 利用matlab软件，进行误差分析,得到：方差=0.02482标准差=0.05955 根据方差和标准差分析，可知误差相对较小，因此我们可以得到风速偏向于拉直时间之间的函数关系为：当风速为0m/s时 根据式（29），即，我们排除偶然误差等因素，可以看出当风速大小为0m/s时，偏向角范围是0180，即偏向角可以取任意值。（b） 风速大小为60m/s时 由散点图可知拟合函数为三角函数，我们可以假设风速偏向与拉直时间的关系为： （31）将数据代入matlab软件中进行拟合（编程5），可以得到：利用matlab软件，进行误差分析,得到：方差=0.001087标准差=0.01246 根据方差和标准差分析，可知误差相对较小，因此我们可以得到风速偏向于拉直时间之间的函数关系为：当风速为60m/s时 根据式（29），即，我们可以得到风速为60m/s时，风速偏向范围是:26.8717180风速大小与拉直时间关系 由图1-2我们可以看出，拉直时间t与风速大小v成正比关系，有 t=av+b （30）图中，0顺风呈递增图像，90侧风和180逆风都成递减图像，因此我们只需对0顺风的情况进行研究，若0顺风时满足约束条件的要求，则其他偏向角也可满足条件。图1-3 利用上面所提供的数据，利用matlab，将数据进行拟合（编程6），如图1-3我们可以得到：a=0.0041b=1.2593利用matlab软件，进行误差分析,得到：方差= 0.0005863标准差= 0.0073拟合图像如图1-3所示 即可得到拉直时间t与风速大小v之间的函数关系为：t=0.0041v+1.2593 （31）根据式（29），即，我们可以得到风速的大小范围是:（4） 总结说明 为了使物资安全抵达地面，根据最后计算结果，我们可以得到适合空投物资的环境为：风速偏角范围：26.8717180风速大小范围： 附录：编程1：r=2 2.5 3 3.5 4;c1=65 170 350 660 1000;lgc1=log(c1);lgr=log(r);A=polyfit(lgr,lgc1,1);b=A(1);a=exp(A(2);rr=2:0.01:4;cc1=a*rr.b;plot(r,c1,+,rr,cc1),grid 编程2：function f=sanf(k,t)f=500-980*t/3/k+98000*(1-exp(-3*k*t/100)/9/k2; t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30;x=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1;k0=10;k=lsqcurvefit(sanf,k0,t,x);tt=0:0.1:30;f=500-980*tt/3/k+98000*(1-exp(-3*k*tt/100)/9/k2;plot(t,x,+,tt,f),grid编程3：function c=sanc(x) %目标函数,x(1)=n,x(2)=rc=x(1)*(4.3*x(2)4+90.5*x(2)+200);function cc,cceq=sancc(x) %约束条件，x(3)=tk=18.5;p=196