数列知识点、例题、练习.docVIP

桂林市卓远文化艺术培训学校专用资料数列专题知识清单及例题练习一、等差数列1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。若数列an为等差数列，则有an-an-1=d(其中n2，nN*).例题：数列an满足，（）求证：an为等差数列。练习：数列an满足，（）求证：an为等差数列。 2.等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，满足2A=a+b。例题：是2与8的等差中项，求是多少？练习：等差数列an中，前三项依次为，则为多少？3. 等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差.当d0时，数列an为递增数列；当d0时，数列an为递减数列；当d=0时，数列an为常数列.例题：等差数列中，已知，求数列的通项公式。练习：等差数列中，已知，求数列的通项公式。4. 等差数列的前n项和公式：；。例题：等差数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等差数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等差数列中，已知，求数列的前10项和5.等差数列的性质：（1）等差数列an中，an-am=(n-m)d； 例题：等差数列中，已知，求数列的公差。 练习：等差数列中，已知，求数列的公差d。（2）等差数列an中，若m+n=p+q(其中m,n,p,qN*)，则am+an=ap+aq；若m+n=2p，则am+an=2ap，也称ap为am，an的等差中项.例题：等差数列中，已知，求的值。 练习：等差数列中，已知是方程的两根，求的值。二、等比数列1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）.若数列an为等比数列，则有(n2, nN*,q0).例题：数列an满足，（）求证：an为等比数列。练习：数列an满足每项为正数且，（）求证：an为等比数列。2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.满足。例题8：是2与8的等比中项，求是多少？ 练习：等比数列，若，求。3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1.例题9：等比数列中，已知，求数列的通项公式。练习：等比数列，若，求。4.等比数列的性质：若等比数列的首项为a1,公比为q，则有：（1）an=amqn-m；（2）m+n=s+t(其中m,n,s,tN*)，则aman=asat；若m+n=2k，则ak2=anam.例题：等比数列中，已知，求的值和公比q。练习：等比数列中，已知是方程的两根，求的值。5.等比数列的前n项和公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，则其前n项和. 例题：等比数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等比数列中，已知，求数列的前n项和。三、求通项方法归纳：1、求差（商）法，例：数列，求解 时， 时，得：，练习：数列满足，求解：注意到，代入得；又，是等比数列，时，2、叠乘法：例题：数列中，求 解 ，又，.练习：数列满足，且，求。3、等差型递推公式：由，求，用迭加法时，两边相加得例4 ：数列中，求。练习 ：数列中，求4、等比型递推公式：（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，例题 ：数列中，求。练习 ：数列中，求。5、倒数法： 例：，求由已知得：，为等差数列，公差为，练习：数列中，求。6、公式法：利用等差数列或等比数列的通项公式或使用与的关系求通项。例题：，求。 练习：数列，求。 （附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法）四、求和方法归纳：1.公式法:=(等差数列); (等比数列)习题12：（1）已知等差数列中,求前n项和.（2）已知等比数列中,求前n项和.2.倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加例题13：已知，则 由原式3.错位相减法:若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 例题： 时，时，练习：若为等差数列，为等比数列，求数列前项和。4.裂项相消法: 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 例题15：是公差为的等差数列，求解：由练习: 求和：5.分组求和:对于既非等差有非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.例题：的前项和。解： 练习：若为等差数列，为等比数列，求数列前项和。6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可用这种方法.例题17：求和：解：由平方差公式，得基础训练一、选择题： 1在数列中，等于（ ）A B C D 2等差数列项的和等于（ ） AB C D3等比数列中, 则的前项和为（ ） A B C D4与，两数的等比中项是（ ）A B C D5已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（ ）项 A B C D 6在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）A B C D二、填空题：1等差数列中, 则的公差为_。2数列是等差数列，则_3两个等差数列则=_.4在等比数列中, 若则=_.5在等比数列中, 若是方程的两根，则=_.6计算_.三、解答题：1、成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数。2、在等差数列中, 求的值。3、求和：4、设等比数列前项和为，若，求数列的公比数列提升训练一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1.已知an为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）A.4 B.5 C.6 D.72设是等差数列的前n项和，已知=3，=11，则等于（ ）A13 B. 35 C. 49 D. 633已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ ）A64 B100 C110 D1204.已知为等差数列，则等于（）A. -1 B. 1 C. 3 D.75.如果等差数列中，+=12，那么 +=（）A. 14 B. 21 C. 28 D.356.已知等差数列an中，a2=6，a5=15，若，则数列bn的前5项和等于（ ）A.30 B. 45 C.90 D.1867.等差数列的前n项和为，已知，,则（ ）A. 38 B. 20 C. 10 D. 98.已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则=（ ）A. B. C. D.2 9.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. 2 B. 4 C. D. 10等比数列中，则（ ）A BC D11.已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中 项为，则（） A. 35 B. 33 C. 31 D.2912.等差数列的公差不为零，首项=1，是和等比中项，则数列的前10项之和是（ ） A.90 B. 100 C. 145 D. 190二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.在等差数列中,，则.14设等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式 .15.设数列中，则通项_.16. 在数列在中，,其中为常数，则 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分,) 已知等差数列中,求前n项和.18(本题满分12分，)等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和19(本题满分12分，) 等比数列中，已知.（）求数列的通项公式；（）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.20. (本题满分12分，) 已知为等差数列，且，.（）求的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式.21. (本题满分12分，) 已知等差数列满足,的前 项和为. （）求及； （）令，求数列的前项和22(本题满分12分，设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足.（）求数列的通项公式及前项和；（）试求所有的正整数，使得为数列中的项.基础训练 答案一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 而二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6 三、解答题 1. 解：设四数为，则即，当时，四数为 当时，四数为 2. 解： 3. 解：原式= 4. 解：显然，若则而与矛盾由 而，数列提升训练答案：一、选择题：题号123456789101112答案CDBBCCCBCACB二、填空题 13. _13_. 14. 15. . 16.三、解答题 17.解：设的公差为，则,即,解得 ，从而.因此.18解：设数列的公差为，则， 由成等比数列得，即，整理得， 解得或当时，当时，于是19解：（）设的公比为 由已知得，即，解得.所以数列的通项公式为 （）由（I）得，则，. 设的公差为，则有解得. 从而. 所以数列的前项和.20.解：（）设等差数列的公差. 因为,所以 所以. （）设等比数列的公比为.因为,所以.即=3.所以的前项和公式为.21. 解：（）设等差数列的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+ a7=26，所以 a1+2d=7，2a1+10d=26，解得 a1=3，d=2.由于 an= a1 +（n-1）d，