数学分析 第一章 实数集与函数练习题.doc

第一章 实数集与函数一、填空题1 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_。2 设，则_3函数 的定义域是 ；函数 的定义域是 ；设 ，则 = ；函数 的周期是 ；把函数 分解为简单函数 ；函数 的反函数是 ；函数 的反函数是 ；10设 则 ；11的定义域是 ，值域是 ；12若，则 ， ；13若，则 ；14设，则的定义域是 ， ， ；15函数的定义域是 ；16设的定义域是，则的定义域是 ；17设函数则 ；18设 ，则 ；19函数的反函数是 ；20函数的反函数是 ；二、选择填空1点的邻域是区间（）（）2函数的定义域是（）3设 ，则的定义域是（ ） 4函数的定义域是（ ）5函数的定义域是（） 6函数的定义域是（ ） 7若，则（ ） 8 ，则（ ）0 1 9如果，则将表示成的函数是（ ） 三、计算题1试在数轴上表示出下面不等式的解:(1) x(x2-1)0; (2) |x-1|x-3|; (3);2设a与b为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:(1) |x-a|x-b|; (2) |x-a|x-b; (3) |x2-a|0,(a、b、c为常数且ab0).6. 设函数f(x)=,求f(x+2),f(2x),f(x2),f(f(x),f()7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:(1) y=(1+x)20; (2) y=(arcsinx2)2; (3) y=lg(1+); (4) y=8.求下列函数的周期:(1) f(x)=cos2x; (2) f(x)=2tg(3x); (3) f(x)=cos+2sin.9. 设函数f(x)=,求:f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(),f(x2),f(f(x).10. 已知f ()=x+,求f(x).四、证明题1 证明: 对任何xR,有(1)|x-1|+|x-2|1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|2.2设a、b、c为三个任意的实数,证明:你能说明此不等式的几何意义吗?3 设x0,b0且ab,证明介于1与之间.4求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.(1) S=x|x22;(2) S=x|x=n!,n为自然数;(3) S=x|x为(0,1)内的无理数;(4) S=x|x=1-,n=1,2,.5 S为非空有下界数集.证明: infS=S的充要条件是=minS.6设S是非空数集,定义S=x|-xS ,证明:(1)infS=-supS; (2) supS=infS.7设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B=z|z=x+y,xA,yB.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB.8. 证明: f(x)=是R上的有界函数.9. 证明下列函数在指定区间上的单调性:(1) y=3x-1在(-,+)内严格递增;(2) y=sinx在上严格递增;(3) y=cocx在0,上严格递减.10. 证明: 设f(x)为严格单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x2.11. 设f(x)为定义在-a,a上的任一函数,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x-a,a为偶函数;(2)G(x)=f(x)-f(-x) x-a,a为奇函数.(3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和12. 设f(x)、g(x)为定义在D上的有界函数,且f(x)g(x),xD,证明:(1) ; (2) .13. 设f为定义在D上的有界函数,证明:(1) ; (2) 14. 证明:函数f(x)=tgx在内可无界函数,但在内任一闭区间a,b上有界15. 证明: f(x)=x+s