数理方程习题.pdf

习题1 1. 对下列偏微分方程, 指出它的阶, 并指出它是线性的、拟线性的还是非线性 的. 若是线性的, 再指出它是齐次的还是非齐次的. (1) u3 x+ 2uuy = xy; (2) uuy 6xyux= 0; (3) uxx x2uy= sinx; (4) u3 xx+ u3x cosu = ex; (5) uyuyyx uxuxxy+ u5= f(x,y); (6) ut 3uux+ 6uxxx= 0. 解. (1) 是一阶非线性偏微分方程; (2) 是一阶拟线性偏微分方程; (3) 是二 阶线性非齐次偏微分方程; (4) 是二阶非线性偏微分方程; (5) 是三阶拟线 性偏微分方程; (6) 是三阶非线性偏微分方程. 2. 证明二维拉普拉斯算子在极坐标系(r,)下可以写成 u = 2u r2 + 1 r u r + 1 r2 2u 2 . 证.(方法一) 极坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = rcos,y = rsin, 或者为 r = (x2+ y2) 1 2, = arctan y x. 于是 r x = x r = cos, r y = y r = sin, x = y x2+ y2 = sin r , y = x x2+ y2 = cos r . 从而 u x = u r r x + u x = u r cos u sin r , u y = u r r y + u y = u r sin + u cos r , 2 2u x2 = 2u r2 cos2 2 2u r sincos r + 2u 2 sin2 r2 + u r sin2 r + u sin2 r2 , 2u y2 = 2u r2 sin2 + 2 2u r sincos r + 2u 2 cos2 r2 + u r cos2 r u sin2 r2 . 因此 2u x2 + 2u y2 = 2u r2 + 1 r u r + 1 r2 2u 2 . (方法二) 因x = rcos,y = rsin, 直接计算得 u r = u x x r + u y y r = u x cos + u y sin, u = u x x + u y y = u x(rsin) + u y rcos, 2u r2 = 2u x2 cos2 + 2u xy sin2 + 2u y2 sin2, 2u 2 = 2u x2 r2sin2 2u xy sin2 + 2u y2 r2cos2 u xrcos u y rsin. 因此 2u r2 + 1 r u r + 1 r2 2u 2 = 2u x2 + 2u y2 . 3. 证明三维拉普拉斯算子在柱面坐标系(r,z)下可以写成 u = 2u r2 + 1 r u r + 1 r2 2u 2 + 2u z2 . 证. 柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = rcos,y = rsin,z = z, 或者为 r = (x2+ y2) 1 2, = arctan y x, z = z. 完全同上题的计算, 得证. 4. 证明三维拉普拉斯算子在球坐标系(r,)下可以写成 u = 2u r2 + 2 r u r + 1 r2 (2u 2 + cot u + 1 sin2 2u 2 ) . 3 证. 柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = rsincos,y = rsinsin,z = rcos. 直接计算, 得 ur=uxxr+ uyyr+ uzzr =uxrcoscos + uyrcossin uzrsin, u=uxx+ uyy+ uzz =ux(rsinsin) + uyrsincos, urr= +, u= +, u= +. 因此 2u r2 + 2 r u r + 1 r2 (2u 2 + cot u + 1 sin2 2u 2 ) = uxx+ uyy+ uzz. 5. 求下列线性偏微分方程的通解(其中u = u(x,y): (1) uxx+ cu = 0 (提示 : 分c 0,= 0, 0时, 对每个固定的y, 解具有形式u(x) = C1cos(cx)+C2sin(cx)(可 先写出特征方程, 再给出解). 然而, 当y变化时, C1和C2的选择也会变 化(即, 它们可能是y的函数). 因此, c 0时的通解为u(x,y) = f(y)cos(cx)+ g(y)sin(cx), 其中f,g是任意二阶可微函数. 当c = 0和c 0时, 可类似地得到通解分别为u(x,y) = f(y)x + g(y) 和u(x,y) = f(y)e cx + g(y)e cx . 4 6. 验证: (1) u(x,t) = cosxcost是方程utt uxx= 0的解; (2) u(x,t) = f(xat)+g(x+at)是方程utta2uxx= 0的通解, 其中f,g是 任意两个二次可微函数. 7. 验证 u(x,y,t) =Acos( m2+ n2ct)cos(mx)cos(ny) + B sin( m2+ n2ct)sin(mx)sin(ny) 是方程utt c2(uxx+ uyy) = 0的解. 8. 验证: (1) u(x,t) = sinxe9t是方程ut 9uxx= 0的解; (2) u(x,t) = 1 4ate x2 4at是方程ut auxx= 0的解. 9. 验证: (1) u(x,t) = ln 1 x2+y2 (x,y) = (0,0), eaxcos(ay), eaxsin(ay)均是二维 拉普拉斯方程uxx+ uyy= 0的解; (2) u(x,y,z) = 1 x2+y2+z2 (x,y,z) = (0,0,0)是三维拉普拉斯方程uxx+ uyy+ uzz= 0的解; (3) un(r,) = rncos(n), rnsin(n)(n = 0,1,2,)是拉普拉斯方程urr+ 1 rur + 1 r2u = 0的解. 10. 说明定解问题 ut= uxx, x 0, u(x,0) = 1, x +. 的解是不适定的. 解. (1) 容易验证u(x,t) 1 是所给定解问题的解, 且可验证un(x,t) = 1 + 1 ne n2tsinnx(n 1)满足定解问题 ut= uxx, x 0, un(x,0) = 1 + 1 n sinnx, x +. 5 显然, 当n +时, sup x+ |un(x,0) u(x,0)| =sup x+ ? ? ? ? ( 1 + 1