数理统计课后答案-第一章.pdf

1.1 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： （1）A发生； （2）A不发生，但B、C至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 解解 (1) A； （2） )(CBCBBCA+ 或)(CBA+； （3）CBACBACBA+； （4）BCACBACABABC+ 或BCACAB+； （5）CBA 或CBA+； （6）CBACBACBACBA+ 或BACACB+； （7）ABC 或CBA+。 1.2 随机地将15名新生平均分配到三个班级中去, 这15名新生中有 3 名是运动员,问: （1）每个班级各分到有 1 名运动员的概率是多少? （2）3 名运动员被分到同一班级的概率 是多少? 解法一解法一 将15名新生平均分配到三个班级，有 5 5 5 10 5 15 CCC种不同做法。 （1）每个班级各有一名运动员，相当于先将 3 个运动员分配到三个班级，每班 1 个， 再将 12 个非运动员分配到三个班级，每班 4 个，有 1 1 1 2 1 3 CCC 4 4 4 8 4 12 CCC种不同做法，所以， P每个班级各有一名运动员= 5 5 5 10 5 15 4 4 4 8 4 12 1 1 1 2 1 3 CCC CCCCCC 5 5 5 10 5 15 4 4 4 8 4 12 !3 CCC CCC = 91 25 = ； （2）3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择， 然后将 3 个运动员分配到这个班级，再从 12 个非运动员中任取 2 人分配到这个班级，其余 非运动员分配到其它两个班级，每班 5 个，有 3 3 3C 5 5 5 10 2 12 CCC种不同做法，所以， P3 名运动员分到同一班级= 5 5 5 10 5 15 5 5 5 10 2 12 3 3 3 CCC CCCC 91 6 = 。 解法二解法二 将15名新生平均分配到三个班级， 可以看作是有15个空位子， 每个班级各有5个 空位子。从这15个空位子中任意选 3 个位子放运动员（其余位子自然是放非运动员，可不 考虑） ，共有 3 15 C种不同做法。 （1） 每个班级各有一名运动员， 相当于从每个班级的5个空位子中任意选1个位子放运 动员，有 1 5 1 5 1 5 CCC种不同做法，所以， P每个班级各有一名运动员= 3 15 1 5 1 5 1 5 C CCC 91 25 = ； （2）3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择， 从这个班级的5个空位子中任意选 3 个位子放运动员，有 3 5 3C种不同做法，所以， P3 名运动员分到同一班级= 3 15 3 5 3 C C 91 6 = 。 1.3 A、B是随机事件，已知aAP=)(，bBP=)(，cABP=)(，求： （1） )(BAP+ ； （2） )(BAP ； （3） )( BAP ； （4） )(BAP+ 。 解解 （1）cABPABPBAP=+1)(1)()( ； （2）)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP+=+=+= cba+=1 ； （3）cbABPBPABPBAP=)()()()( ； （4）)(BAP+)()()(BAPBPAP+=cacbba+=+=1)(1 。 1.4 向盛有 n 个球的器皿中投入一个白球,如果器皿中原来的白球数从 0 到 n是等可能的， , 现在再从器皿中取出一个球,试问这个球为白球的概率是多少? 解解 设= i A器皿中原来有i个白球(ni, 2, 1, 0L=） ，因为已知器皿中原来的白球数 从 0 到 n是等可能的，所以 1 1 )( + = n AP i (ni, 2, 1, 0L=） 。 设=B取出一球，恰好取到白球。当器皿中原来有i个白球时，再投入 1 个白球， 器皿中就有1+i个白球，这时取出一球，恰好取到白球的概率是 1 1 )( + + = n i ABP i (ni, 2, 1, 0L=） 。 由全概率公式 )|()()( 0 i n i i ABPAPBP = = = + + = + + + = n i n i i nn i n 0 2 0 ) 1( ) 1( 1 1 1 1 1 2 )2)(1( ) 1( 1 2 + + = nn n) 1(2 2 + + = n n 。 1.5 无线通信中，由于随机干扰，当发出信号为“”时，收到信号为“” 、 “不清” 、 “” 的概率分别为 0.7、0.2 和 0.1；当发出信号为“”时，收到信号为“” 、 “不清” 、 “” 的概率分别为 0.9、 0.1 和 0.如果整个发报过程中 “” 、“” 出现的概率分别为 0.6 和 0.4， 当收到信号“不清”时，原发信号是什么？试加以推测. 解解 设=A 收到“不清”，=B 发出“”，=B 发出“-”，由题意可知， =)(BP0.6，=)(BP0.4，=)(BAP0.2，=)(BAP0.1，由贝叶斯公式，得 当原发信号为“”时，收到“不清”的概率为 =)(ABP )()()()( )()( BAPBPBAPBP BAPBP + 75. 0 1 . 04 . 02 . 06 . 0 2 . 06 . 0 = + = ； 当原发信号为“”时，收到“不清”的概率为 =)(ABP25. 075. 01)(1=ABP 。 因为)(25. 075. 0)(ABPABP=，所以收到“不清”时，原发信号为“”的可能 性比较大。 1. .6 设CBA,相互独立,试证AB与C相互独立。 证证 因为CBA,相互独立，有 )()(BCACPCBAP=)()(ABCPACP=)()()()()(CPBPAPCPAP= )()()()(CPBPAPAP=)()()(CPABPAP=)()(CPBAP= ， 所以，BA与C相互独立。 1.7 口袋中有 5 个球，分别标有号码 1，2，3，4，5，现从这口袋中任取 3 个球。 （1）设是取出球中号码的最大值，求的概率分布，并求出4的概率； （2）设是取出球中号码的最小值，求的概率分布，并求出3的概率。 解解（1）从 5 个球中取 3 个球，最大号码为k，相当于先取 1 个号码为k的球，再从号码小 于k的1k个球中取 2 个球，所以 3 5 2 1 1 1 C CC kP k = 10 2 1 = k C （5, 4, 3=k） 。 由此求得的概率分布为 3 4 5 i xP=1 . 0 3 . 0 6 . 0 4 . 03 . 01 . 0434=+=+=PPP ； （2）从 5 个球中取 3 个球，最小号码为k， 相当于先取 1 个号码为k的球， 再从号码大于k 的k5个球中取 2 个球，所以 3 5 2 5 1 1 C CC kP k = 10 2 5k C = （3, 2, 1=k） 。 由此求得的概率分布为 1 2 3 j yP= 6 . 0 3 . 0 1 . 0 03=P 。 1.8 设随机变量、都服从二项分布，), 2(pb，), 3(pb。已知 9 5 1=P， 试求1 P的值。 解解 由 9 5 )1 (1011 2 =pPP 可解得 3 2 9 4 1= p ，因为 01p，舍去负值，得到 3 2 1=p ，即有 3 1 =p 。 所以 27 19 27 8 1) 3 1 1 (1)1 (1011 33 =pPP 。 1.9 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布) 3(P。问在月初进货时 要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。 解解 设月初要进货a件，是月销售量，)3(P 。要满足顾客需要，必须有a，根据 题意，要有 = = a k kPaP 0 = = a k k k 0 3 e ! 3 99. 0 。 直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得： 3 7 0 e ! 3 = k k k 99. 0988. 0 。 由此可见，月初至少要进货 8 件，才能以%99以上的概率满足顾客的需要。 1.10 已知随机变量的概率密度为 x Aex =)(， （+x） 。求： （1）系数A； （2）随机变量落在区间（0，1）内的概率； （3）随机变量的分布函数。 解解 （1）因为 + =xx d)(1 + =xA x- deAxA x 2de2 0 = + ，所以 2 1 =A ； （2） 2 e1 de 2 1 d)(10 1 1 0 1 0 = xxxP x 31606. 0 ； （3）当0x时， = x xxxFd)()( = x xx xe 2 1 de 2 1 ； 当0x时， = x xxxFd)()( += x xx xx 0 0 de 2 1 de 2 1 x x = +=e 2 1 1 2 e1 2 1 ； 即有 = 0e 2 1 1 0e 2 1 )( x x xF x x 。 1.11 设连续型变量的分布函数为 = 11 10 00 )( 2 x xAx x xF 求： （1）系数A； （2）的概率密度)2(； （3）7 . 03 . 0P。 解解（1）因为 连续，在1=x，有) 1 ()01 (FF=，而 AAF= + 2 0 )1 (lim)01 ( ， 1) 1 (=F，所以必有 1=A ； （2）)( d d )(xF x x= = = = = 101 102)( 000 2 x xxx x ，即有 = 其它0 102 )( xx x ； （3）49. 007 . 0)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0 2 =FPP 367879. 0 ； （2） 9 10 910 = P P P 2 1 2 9 2 10 2 9 2 10 e e e )e1 (1 )e1 (1 = = 606531. 0 。 1.13 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布),72( 2 N， 且 96 分以上占学生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 至 84 分之间的概率。 解解 设是学生外语成绩，),72( 2 N，已知 023. 0) 24 (1) 7296 (196= = P， 即有 977. 0) 24 (= ，查表得 9954. 1 24 = ， 9954. 1 24 = 12 ，于是有 8460P) 7260 () 7284 ( = ) 12 7260 () 12 7284 ( ) 1 (1) 1 () 1() 1 (+=6826. 08413. 018413. 0=+= 。 1.14 设()0,1N.求： （1） 2 21=+的概率密度； （2）=的概率密度. 解解 因为) 1, 0(N ，的概率密度为 2 2 e 2 1 )( x x = 。 （1）当)0 ,(x时,12)( 2 +=xxfy严格单调下降,反函数为 2 1 )( 1 1 = y yfx, ), 1 ( +y， ) 1(22 1 ) 2 1 ()( d d 1 1 = = y y yf y 。 + = = 其它0 ), 1 ( ) 1(22 1 e 2 1 )( d d )( )( 2 ) 2 1 ( 1 1 1 1 1 2 y y yf y yf y y = 10 1e ) 1(4 1 4 1 y y y y ； 当), 0( +x时，12)( 2 +=xxfy严格单调上升，反函数为 2 1 )( 1 2 = y yfx, ), 1 ( +y， ) 1(22 1 ) 2 1 ()( d d 1 2 = = y y yf y 。 + = = 其它0 ), 1 ( ) 1(22 1 e 2 1 )( d d )( )( 2 ) 2 1 ( 1 2 1 2 2 2 y y yf y yf y y = 10 1e ) 1(4 1 4 1 y y y y ； =+= 10 1e ) 1(2 1 )()()( 4 1 21 y y y yyy y ； （2）当)0 ,(x时，xxfy=)( 严格单调下降，反函数为yyfx= )( 1 1 ， ), 0( +y，1)()( d d 1 1 = yyf y 。 += = 其它0 ), 0(1e 2 1 )( d d )( )( 2 )( 1 1 1 1 1 2 yyf y yf y y = 00 0e 2 1 2 2 y y y ； 当), 0( +x时，xxfy=)( 严格单调上升，反函数为yyfx= )( 1 2 ， ), 0( +y，1)( d d 1 2 = yyf y 。 += = 其它0 ), 0(1e 2 1 )( d d )( )( 2 1 2 1 2 2 2 yyf y yf y y = 00 0e 2 1 2 2 y y y ； =+= 00 0e 2 )()()( 2 21 2 y y yyy y 。 1.15 袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5。现从中任取 3 只乒乓球，乒乓球的最大 编号的数学期望。 解解 从 5 个球中任取 3 个球，共有 3 5 C种取法。取到球的最大号码为i，最小号码为j， 相当于先取 1 个号码为i的球和 1 个号码为j的球， 再从号码小于i大于j的1ji个球中 取 1 个球，有 1 1 1 1 1 1 CCC ji 种取法。所以),(的联合概率分布为 3 5 1 1 1 1 1 1 , C CCC jiP ji = 10 1 1 = ii C （5 , 4 , 3=i；3 , 2 , 1=j） 。 1 2 3 3 10 1 0 0 4 10 2 10 1 0 5 10 3 10 2 10 1 1.16 设二维随机变量),(的联合分布函数为 23 xy F( x,y)A( Barctan)(Carctan)=+ 求:（1）A,B,C的值; （2）),(的联合概率密度函数; (3)边缘分布函数及边缘概率密度函 数. 解解 （1） 由二维随机变量分布函数的性质可知 +=+= +=+= +=+= )3() 2 )( 2 (),(1 )2() 2 )( 2 (),(0 ) 1 () 2 )( 2 (),(0 CBAF CBAF CBAF 由（3）得 ) 2 )( 2 ( 1 + = CB A （4） （4）代入（1）得 2 2 ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( 0 + = + + = B B CB CB ，解得 2 =B ； （4）代入（2）得 2 2 ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( 0 + = + + = C C CB CB ，解得 2 =C ； 再将 2 =B和 2 =C代入（4） ，求得 2 1 =A 。 ),(的联合分布函数为 ) 3 arctan 2 )( 2 arctan 2 ( 1 ),( 2 yx yxF+= 。 （2）),(的联合概率密度为 )9)(4( 6 ) 3 (1 3 1 ) 2 (1 2 1 1 ),(),( 222 22 2 2 + = + + = = yx yx yxF yx yx 。 （3）,的边缘分布函数为 2 arctan 1 2 1 ),()( x xFxF +=+= ， 3 arctan 1 2 1 ),()( y yFyF +=+= ； ,的边缘概率密度为 )4( 2 )( d d )( 2 + = x xF x x ， )9( 3 )( d d )( 2 + = y yF y y 。 1.17 设随机变量与独立，服从0,2 上的均匀分布，服从指数分布 ( ) 2E， 求： （1） 二维随机变量( ) , 的联合密度函数； （2）P的值. 解解 （1）由 )2, 0(U，可知 = 其它0 20 2 1 )( x x ； 由 )2(E，可知 = 00 0e2 )( 2 y y y y