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数值分析作业（第二章）习题1. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4,求的二次插值多项式。（1）用单项式基底；（2）用拉格朗日插值基底；（3）用牛顿基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）假设f(x)的二次插值多项式为：由于 x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4则有 ；求得 ；则有 （2）用拉格朗日插值基底：由于 则有 拉格朗日插值多项式为： 则f(x)二次插值多项式为：（3）采用牛顿基底：均差表如下所示：Xif(xi)一阶均差二阶均差10-1-33/2247/35/6则有牛顿插值多项式为： 则f(x)二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。5. 设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 因为 所以 插值余项 因为 并且 所以有 6. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：假设插值节点为，和，则分段二次插值多项式的插值余项为进而有 假设步长为，即，则有 当截断误差不超过时，则有：即有 因此使用函数表的步长h满足13. 求次数小于等于3的多项式，使之满足条件 ， ， 解：由题目中插值条件，的次数小于等于3，则可设 ， A为常数。 由于 则有 常数A满足 因此可得多项式为16. 求一个次数不高于4次的多项式，使它满足， ,。解：由埃米尔特插值进行计算：由题目分析可知；由于 又由于 因此有 设，A为待定常数由于 并且 则有 进而 20. 给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：（1），；（2）.解：由表格分析有，由于 ；所以 ，；由于 所以 由于 ；（1）由于 ，；由此得矩阵形式的线性方程组为 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程组得，由于三次样条表达式为将代入上式可得（2）由于，同
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