数学建模论文(乒乓球).doc

摘要1、 问题重述1. 背景：2. 问题：A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下：（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？二、问题分析 乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3种出场顺序（分别记为 和）。而且根据以往经验给出了打满5局A队可胜的局数构成的矩阵（如题图）。我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。2.打完四局后才结束，即前三局只赢了两局。3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。我们进而可以求出整场比赛下来，A队获胜的概率。 对于问题一，我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下，赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。 对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。概率平均值大的即为所求的稳妥方案。例如A队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率，求出在B队以各种出场方案情况下，A队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情况下大，则对A队来说，a1方案即为稳妥方案。在这里，还要求出B队的各种矩阵。对于问题三，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。对于问题四，由于比赛存在没打满五局就结束的情况，因为比赛是采取五局三胜制，如果在五局之前比赛结果就出来了，就没有必要进行下面几局的必要了。 三、模型假设与约定1、假设队员都正常发挥。2、外界环境变化忽略。3、对手双方的出场顺序相互独立，互不影响。四、符号说明R：在打满5局，A队可胜局数的矩阵。Q：在打满5局，A队可胜局数的矩阵。R1:在打满5局，A队每局可胜的概率矩阵。R2:在打满5局，A队最终可胜的概率矩阵。Q1:在打满5局，B队每局可胜的概率矩阵。Q2:在打满5局，B队最终可胜概率的矩阵。五、模型建立 A队打满5局A队可胜局。的矩阵已知，如下： 因此可以求出B队打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下： 对于A队，由R矩阵可以求得矩阵R1，=: 同理对于B队： 比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：A队最后获胜，可以分成下列几种情况：令;（1）A队前三局获胜。这种情况的概率为 ；（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第四局A队又胜一局。这种情况的概率为 ；（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ； 把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。将 各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜的一个矩阵 对于B队，最后获胜，可以分成下列几种情况：令;（1）B队前三局获胜。这种情况的概率为 ；（2）在前三局中B队胜二局，A队胜一局，第四局B队又胜一局。这种情况的概率为 ；（3）在前四局中B队胜二局，最后B队又胜一局。这种情况的概率为 ； 把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。将 各数值代入上式，可以计算出B队最后获胜的一个矩阵 问题1： 最后平均获胜概率为：A队 B队 取p1,p2中大者所属队即为实力更强的。问题2： 对于A队，若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 对于B队，若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。 即A队选用，中较大的那种出场顺序。 B队选用，中较大的那种出场顺序。问题3： 此问题类似问题2，选用较为稳妥的方案即是。问题4： 此问题将在模型优缺点分析中讲述。6、 模型求解 问题1： 依题目所给的数据，, 。 问题2： 依题目所给的数据， 所以A队最稳妥的方案是出场顺序。 所以B队最稳妥的出场顺序是出场顺序所以当A队以，B队以出场顺序，时，找到对应的R2，或者Q2矩阵，得知，最终将是A队获胜。问题3： 由问题2，知在稳妥的方案下，A队获胜的概率为1，所以会选用以 的出场顺序参赛。 问题4： 此问题将在模型优缺点分析中讲述。 7、 模型优缺点分析 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。优点：虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案缺点：这只是在