数学运算——常规排列组合问题.pdf

91UP数学运算考点精讲之排列组合问题 91UP 公务员考试网最新巨献公务员考试考点精讲 帮助你将行测下的每一个考点精确细分，按照 知识框架夯实基础核心点拨进阶训练核心精练的流程一步步引导 轻松搞定每个考点 更多内容敬请关注： 【知识框架】【知识框架】 数学运算问题一共分为十四个模块十四个模块， 其中一块是常规常规排列组合排列组合问题问题。 常规常规排列组合问题排列组合问题 是排列组合是排列组合问题问题中的一种。中的一种。 排列组合问题根据是否与顺序有关是否与顺序有关，只只有有排列排列和组合组合两种类型；根据事情的完成步骤事情的完成步骤， 只有只有分类分类和分步分步两种类型；根据解题方法解题方法，只有只有基础公式型基础公式型、分类讨论型分类讨论型、分步计算型分步计算型、 捆绑插空型捆绑插空型、错位排列型错位排列型、重复剔除型重复剔除型、多人传球型多人传球型、等价转化型等价转化型八种类型。无论排列组 合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定 排列 组合问题。 【核心点拨核心点拨】 1、题型简介 排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。 下面给出了解决排列组合问题的几 个核心知识点，从真题来看，基础公式基础公式型型、分类讨论分类讨论型型、分步计算型、分步计算型、重复剔除重复剔除型型、等价、等价 转化转化型型这五种题型考查较多，同学们可以重重点学习点学习。 2、核心知识 （1）基础公式法基础公式法 加法原理加法原理： 一件事情， 有 n 类方法可以完成， 并且每类方法又分别存在 12n mmm、种 不同方法，则完成这件事情共有 12n +m mm种方法。 乘法原理乘法原理： 一件事情， 需要 n 个步骤完成， 并且每步又分别存在 12n mmm、种不同方 法，则完成这件事情共有 12n mmm种方法。 排列基础公式：排列基础公式： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m(m n) 个 元 素 组 成 一 列 （ 与 顺 序 有 关与 顺 序 有 关 ） ， 有 ! (1) (2)(1) ()! m n n Pnnnnm nm 种方法。 组合基础公式：组合基础公式： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m(m n) 个 元 素 组 成 一 组 （ 与 顺 序 无 关与 顺 序 无 关 ） ， 有 (1)(2)(1)! !()! m n nnnnmn C mm nm (其中 m!=123m) 种方法。 （2）分类讨论法分类讨论法 根据题意分成若干类分别计算。 （3）分步计算法分步计算法 根据题意，分步计算。 （4）捆绑插空法捆绑插空法 相邻问题捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。 不相邻问题插空法： 先将剩余元素全排列， 然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。 （5）错位排列法错位排列法 错位排列问题：有 n 封信和 n 个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的 种数计算 Dn，则 D10，D21，D32，D49，D544，D6=265（请牢牢记住前六个数） 。 （6）重复剔除法重复剔除法 A平均分组问题 将 NM 个人平均分成 N 组，总共有36234种分配方法。 B多人排成圈问题 N 人排成一圈，有 N N A N 种排法。 C物品串成圈问题 N 个珍珠串成一条项链，有 2 N N A N 种串法。 （7）多人传球法多人传球法 M 个人传 N 次球，记 (1)NM X M ，则与 X 最接近的整数为传给“非自己的某人” 的方法数，与 X 第二接近的整数便是传给自己的方法数。 （8）等量转换法等量转换法 【精选例题】【精选例题】 夯实基础夯实基础 解法九成熟，题目精挑细选，考试中 60%的基础题，基本搞定！ 1、基础公式法 例例 1 1：( (国家国家 2004B2004B 类类- -4444) ) 把 4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？ A24 B4 C12 D10 考查点考查点 排列排列组合组合问题问题 关键关键词词 基础公式基础公式法，法，与顺序有关与顺序有关 题钥题钥 “把 4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中” ，与顺序有关与顺序有关，因此属于排列问题排列问题。 解析解析 根据题意：根据题意： 确定 n：4； 确定 m：4； 代入代入排列基础排列基础公式公式： 241234 4 4 P； 所以，选 A。 答案答案 A 2、分类讨论法 例例 2 2：( (20052005 年中央一类第年中央一类第 4848 题题) ) 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（ ） 种不同的选法。 A40 B41 C44 D46 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 分类讨论分类讨论法，法，与顺序无关与顺序无关 题钥题钥 “从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任意选出三个数” ，与顺序无关与顺序无关，因此属于组合问组合问 题题。 “从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任意选出三个数，使它们的和为偶数” ，共有两种 类别：第一类，三个数都为偶数；第二类，两个奇数和一个偶数。采用加加法原理法原理。 解析解析 第一类，三个数都为偶数：第一类，三个数都为偶数： 确定 m1：4 123 234 3 4 C； 第二类，两个奇数和一个偶数：第二类，两个奇数和一个偶数： 确定 m2：404 12 45 1 4 2 5 CC； 代入代入加加法原理公式法原理公式： 4440421 mm 所以，选 C。 答案答案 C 3、分步计算 例例 3 3：( (20042004 年中央年中央 A A 类第类第 4747 题题) ) 林辉在自助餐店就餐， 他准备挑选三种肉类中的一种肉类， 四种蔬菜中的二种不同蔬菜， 以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？ ( ) A4 B24 C72 D144 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 分步计算分步计算法，法，与顺序无关与顺序无关 题钥题钥 “若不考虑食物的挑选次序” ，与顺序无关与顺序无关，因此属于组合问题组合问题。 林辉挑选食物可分三步， 第一步从三种肉类中挑一种肉类， 第二步从四种蔬菜中挑二种 不同蔬菜，第三步从四种点心中挑一种点心，采用乘法原理乘法原理。 解析解析 三种肉类中挑一种肉类：三种肉类中挑一种肉类： 确定 m1：3 1 3 C； 四种蔬菜中挑二种不同蔬菜：四种蔬菜中挑二种不同蔬菜： 确定 m2：6 12 34 2 4 C； 四种点心中挑一种点心：四种点心中挑一种点心： 确定 m3：4 1 4 C； 代入乘法原理公式代入乘法原理公式： 72463321mmm 所以，选 C。 答案答案 C 4、捆绑插空法 例例 4 4： A、B、C、D、E 五个人排成一排，其中 A、B 两人不站一起，共有（ ）种排法。 A120 B72 C48 D24 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 捆绑插空捆绑插空法，法，与顺序有关与顺序有关 题钥题钥 “A、B、C、D、E 五个人排成一排” ，与顺序有关与顺序有关，属于排列问题排列问题。 “其中 A、B 两人不 站一起” ，可采用插空插空法法。分为两步，第一步：把 C、D、E 排成一排；第二步：将 A、B 插入 C、D、E 中行成的 4 个空隙中。采用乘法原理乘法原理。 解析解析 第一步：第一步： 把 C、D、E 排成一排； 确定 m1：6123 3 3 P； 第二步：第二步： 将 A、B 插入 C、D、E 中行成的 4 个空隙中； 确定 m2：1234 2 4 P； 代入乘法原理公式代入乘法原理公式： 7212621mm 所以，选 B。 答案答案 B 5、错位排列法 例例 5 5： （北京社招： （北京社招 200720071616） 五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ A6 B10 C12 D20 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 错位排列错位排列法，法，与顺序无关与顺序无关 题钥题钥 “五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个” ，与顺序与顺序无无关关，属于组合组合问题问题。 “其中恰好贴错了三个” ，属于错位排列错位排列。分为两步，第一步：从五个瓶子中选出三个； 第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列。采用乘法原理乘法原理。 解析解析 第一步：第一步： 从五个瓶子中选出三个； 确定 m1：10 123 345 3 5 C。 第二步：第二步： 对选出的三个瓶子进行错位排列； 确定 m2：D32； 代入乘法原理公式代入乘法原理公式： 2021021mm； 所以，选 D。 答案答案 D 6、重复剔除法 例例 6 6： （上海： （上海 200520051111） 某小组有四位男性和两位女性， 六人围成一圈跳集体舞， 不同排列方法有多少种？ （ ） A720 B60 C480 D120 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 重复剔除重复剔除法，法，与顺序有关与顺序有关，多人排成圈多人排成圈 题钥题钥 “六人围成一圈跳集体舞” ，与顺序有关与顺序有关，属于排列问题排列问题。 然而，如下图所示，以下 6 种情况虽然对应了上述解法的不同排列过程，但实际上却 是相同的方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。属于重复剔除型重复剔除型中的多人排成多人排成 圈问题圈问题。 解析解析 根据题意：根据题意： 将六人排成一排，共有720123456 6 6 P种； 确定重复情况：确定重复情况： 将 6 个人排成圈，N6； 确定确定分配方法：分配方法： 7206120 所以，选 D。 答案答案 D 7、多人传球法 例例 7 7： （国家（国家 20062006 一类一类4646，二类，二类3939） 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次 传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？ A60 种 B65 种 C70 种 D75 种 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 多人传球多人传球法法 题钥题钥 “四人进行篮球传接球练习” ，属于多人传球型多人传球型问题。 解析解析 套用公式法：套用公式法： 确定 M：4； 确定 N：5； 代入多人传球公式：代入多人传球公式： 75.60 4 ) 14() 1( 5 M M X N ； 与 60.75 最接近的整数 61 为传给“非自己的某人”即非甲的方法数； 与 60.75 第二接近的整数 60 便是传给自己即甲的方法数。 所以，选 A。 答案答案 A 8、等价转换法 例例 8 8： 一次射击比赛当中，6 个瓷制靶子排成两列，左边挂了 4 个靶子，右边挂了 2 个靶子。 射手在射击每一列的时候， 必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面的一个。 请问全部 击碎所有 6 个靶子一共有多少种方法？（ ） A10 种 B12 种 C15 种 D21 种 考查考查点点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 等价转化等价转化法法 题钥题钥 此时可进行等价转化等价转化，等价于在第 1、2、3、4、5、6 次射击中，有 4 次是往左射击， 有 2 次是往右射击，确定好这 6 次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确 定了。 解析解析 此题等价于此题等价于： “共有 6 次射击， 其中有 4 次是往左射击， 有 2 次是往右射击， 共有几种射击方法。 ” 6 次射击中寻找射击中寻找 2 2 次往右射击的方法：次往右射击的方法： 15 12 56 2 6 C 所以，选 C。 答案答案 C 进阶训练进阶训练 解法九成熟，剩下 35%的中等题也能搞定，考试成功更进一步！ 1、分类讨论法 例例 9 9： 用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2， 3，4，5，12，54321。其中，第 207 个数是多少？（ ） A313 B12354 C325 D371 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 分类讨论分类讨论法，法，与顺序有关与顺序有关 题钥题钥 “用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的自然数” ，与顺序有关与顺序有关，因此属于 排列问题排列问题。 “用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的自然数” ，共有五种类别：第一类， 组成的自然数为一位数； 第二类， 组成的自然数为二位数； 第三类， 组成的自然数为三位数； 第四类，组成的自然数为四位数；第五类，组成的自然数为五位数。采用加法原理加法原理。 解析解析 组成的自然数为一位数：组成的自然数为一位数： 确定 m1：5 1 5 P； 组成的自然数为二位数：组成的自然数为二位数： 确定 m2：2045 2 5 P； 组成的自然数为三位数：组成的自然数为三位数： 确定 m3：60345 3 5 P； 组成的自然数为四位数：组成的自然数为四位数： 确定 m4：1202345 4 5 P； 组成的自然数为五位数：组成的自然数为五位数： 确定 m5：12012345 5 5 P； 由于 m1m2m3m452060120205； m1m2m3m4m552060120120325。 因此，第 207 个数为五位数的自然数。 第 205 个数为四位数的最后一位，即最大数 5432； 第第 206206 个数为五位数的第一位，即最小数个数为五位数的第一位，即最小数 1234512345： 则第 207 个数为五位数的第二位，即第二小的数 12354。 所以，选 B。 答案答案 B 2、重复剔除法 例例 1 10 0： 将 11 个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？（ ） A4620 B69300 C138600 D277200 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 重复剔除重复剔除法，法，与顺序无关与顺序无关，平均分组问题平均分组问题 题钥题钥 “将 11 个人分成3、3、2、2、1这样的五组” ，与顺序无关与顺序无关，属于组合问题组合问题。 将 11 个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，可分为两步，第一步：从 11 个人中选 出 6 人，然后平均分成 2 组；第二步：从剩余的 5 个人中选出 4 人，然后平均分成 2 组，剩 余一人则唯一确定。采用乘法原理乘法原理。 在平均分组的过程中，应剔除重复的情况。属于重复剔除型重复剔除型中的平均分组问题平均分组问题。 解析解析 根据题意， 第一步，第一步，从从 1111 个人中选出个人中选出 6 6 人，人，然后平均分成然后平均分成 2 2 组组： 确定 m1：4620 12 1 123 456 123456 67891011 2 2 3 3 3 66 11 P CC C； 第二步，第二步，从剩余的从剩余的 5 5 个人中选出个人中选出 4 4 人，然后平均分成人，然后平均分成 2 2 组，剩余一人则唯一确定组，剩余一人则唯一确定： 确定 m2：15 12 1 12 34 5 2 2 2 2 2 44 5 P CC C； 代入乘法原理公式：代入乘法原理公式： 6930015462021mm 所以，选 B。 答案答案 B 3、多人传球法 例例 1111： 对右下图正八边形的 8 个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选 择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有多少种涂色的方法？（ ） A86 B174 C216 D258 考查点考查点 排列组合问题排列组合问题 关键词关键词 多人传球多人传球法法 题钥题钥 “8 个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且 要求相邻区域选取不同的颜色” ，我们从区域 1 开始考虑，区域 1 一共有 3 种涂色的方法， 先假设区域 1 被涂了红色，然后进行顺时针依次考虑：区域 2 选取与区域 1 不同的颜色；区 域 3 选取与区域 2