数列求和公式推导.doc

卢玉成：数列求和公式推导数据规律分析法的简单应用数列求和公式推导数据规律分析法的简单应用江苏省灌溉总渠管理处：卢玉成【预备知识】运用数据规律分析法 需要了解“数据规律分析法”原理，请从知网下载数据规律分析法在流量系数曲线公式拟合中的应用或数据规律分析法在曲线优化拟合中的应用；其它应用示例请从知网下载利用数据规律分析法巧解数学问题。求自然序列的数列求和，需要明确一个规律和掌握两个公式。一个规律：总和函数比通项函数高一个幂次。例如通项函数为二次多项式，则总和函数必为三次多项式。两个公式：1、 任意阶差分计算公式(差分单元为连续数列值y)。 Mi,j=k=0i(-1)kCikyj-k 。i差分阶次，j位置编号。这个看似复杂，记住两句话就可以熟练运用它。系数按照杨辉三角，符号从头正负交替。也就是(a-b)n展开式系数)，见右下表。阶次差分计算系数表1+1-12+1-2+13+1-3+3-14+1-4+6-4+15+1-5+10-10+5-1差分计算举例(数据系列见下表)：数列编号n1234567数列值y182764125216343序号56的一阶差分值： M1,6=216-125=91序号24的二阶差分值： M2,4=64-227+8=18序号14的三阶差分值： M3,4=64-327+38-1=6序号26的四阶差分值： M4,6=216-4125+664-427+8=0对于差分计算，由于牵涉到不同类别或不同单项，下面用到代号意义：无特殊不标记，此处通为通项差分通单项用数字或e表示，如3次方项 3Mi,j 。2、 多项式系数计算公式。an=Mnn！n 。式中：an多项式系数；Mn对应阶次的差分值；数据间距差，数列以自然数排序，取1 。要完成全部系数计算，应用降阶法，即从高到低逐个计算。若记f(k)为k次多项式，则有：f(n-1)=f(n)-anxn，利用f(n-1)的n-1阶差分计算an-1，余类推。【应用举例】例1 求数列12，42，72，1021+3n-12，的求和公式。解： 通项为二次函数，总和为三次函数。只需列出前4个数据计算即可。以自然序号排列，=1 。(合成数据差分计算) 总和：1,17,66,166 ， M3,4=166-366+317-1=18a3=183!13=3，转化成二次函数，取前3个数据，1-313，17-323，66-333，即：-2，-7，-15 ， M2,3=-15+27-2=-3a2=-32!12=-32，转化成一次函数，取前2个数据，-2-3122，-7-3222，即：-12，-1 ， M1,2=-1-12=-12a1=-1/21!11=-12，a0=1-a3-a2-a1=1-3+32+12=0， Sn=3n3-32n2-12n=n(6n2-3n-1)2例2 求自然数立方和公式。解： 通项为三次函数，总和为四次函数。只需列出前5个数据计算即可。见下表(用分步差分后合成计算)总和函数的四阶差分为通项函数的三阶差分，注意：序号一定要对应。 M4,5=通M3,5=53-343+333-23=6序列号n总和函数一阶差分(通项函数)a4n4a3n3a2n21S1=121414121314122S2231424122314223S333143412334S44314445S553a4=64!14=14， 将a4n4填入对应列 M3,4=通M2,4=43-233+23=184M3,4=44-334+324-14=15a3=M3,4-4M3,43!13=18-156=12，将a3n3填入对应列，M2,3=通M1,3=33-23=19，4M2,3=34-224+14=2523M2,3=33-223+12=6， a2=M2,3-4M2,3-3M2,32!12=19-25/2-62=14， 将a2n2填入对应列，M1,2=通M0,2=23=8，4M1,2=24-14=154，3M1,2=23-12=72，2M1,2=22-14=34，a1=M1,2-4M1,2-3M1,2-2M1,21！11=8-154-72-34=0， a0=1-a4-a3-a2-a1=1-14-12-14-0=0 Sn=14n4+12n3+14n2=n2+2n+14n2=nn+124 。例3 求112，522，932，1+4n-1n2的求和公式。解： 通项为三次函数，显然总和为四次函数。列表如下，先计算四次方项系数，填入表格再计算三次方项系数，以此类推计算其它系数。序列号n总和函数一阶差分(通项函数)差分计算a4n4差分计算a3n3差分计算a2n2差分计算a1n差分计算1S1=121M0,1=114M0,1=113M0,1=1-122M0,1=-12-121M0,1=-122S220通M0,2=20164M1,2=1583M1,2=7-22M1,2=-323S381通M1,3=61814M2,3=50273M2,3=124S4208通M2,4=662564M3,4=605S5425通M3,5=24 a4=M4,54!=通M3,524=2424=1， a3=66-603!=1，a2=61-50-122!=-12，a1=20-15-7+3/21!=-12， a0=S1-a4-a3-a2-a1=1-1-1+12+12=0 。 数列的求和公式为： Sn=2n4+2n3-n2-n2=