[资料]异方差

21 异方差时间序列模型21.0自回归模型进展概述:考察严平稳随机序列Yt, 且E|Yt|,于是就可定义条件期望(或条件均值): 用条件期望性质(1)(本文标号)可有E(YtYt-1,Yt-2,)j(Yt-1,Yt-2,), 21.0.1依条件期望的性质(2)有Ej(Yt-1,Yt-2,)=EE(YtYt-1,Yt-2,) = EYt =m. 21.0.2记误差(或残差): et Yt -j(Yt-1,Yt-2,). 21.0.3用21.0.1 21.0.2式必有: Eet=EYt-Ej(Yt-1,Yt-2,) =EYt-EYt=0, (0-均值性) 21.0.4Eet2=EYt -j(Yt-1,Yt-2,)2 =E(Yt-m)-j(Yt-1,Yt-2,)-m2 (中心化)=E(Yt-m)2+Ej(Yt-1,Yt-2,)-m2-2E(Yt-m)j(Yt-1,Yt-2,)-m=g0+Varj(Yt-1,Yt-2,)-2EE(Yt-m)j(Yt-1,Yt-2,)-mYt-1,Yt-2,(用性质(2): EX=EEXYt-1,Yt-2, ) =g0+Varj(Yt-1,Yt-2,)-2Ej(Yt-1,Yt-2,)-mE(Yt-m)Yt-1,Yt-2,(用性质(3): EXy( Yt-1,Yt-2,)Yt-1,Yt-2,=y( Yt-1,Yt-2,) EXYt-1,Yt-2,;取X= (Yt-m), y( Yt-1,Yt-2,)= j(Yt-1,Yt-2,)-m;再用21.0.1 21.0.2可得)=g0+Varj(Yt-1,Yt-2,)-2Ej(Yt-1,Yt-2,)-m2 =g0-Varj(Yt-1,Yt-2,). 21.0.5 即有: g0=Var(Yt)=Var(j(Yt-1,Yt-2,)+Var(et). 21.0.6 下边讨论et的条件均值与条件方差.为了符号简便, 以下记Ft-1=Yt-1,Yt-2,.首先考虑et的条件均值: E(etFt-1)=EYt-j( Yt-1,Yt-2,) Ft-1=E(Yt Ft-1)- Ej( Yt-1,Yt-2,) Ft-1= j( Yt-1,Yt-2,)- j( Yt-1,Yt-2,) (第一项依21.0.1, 第二项依性质(3)和(2)=0. 21.0.7再看条件方差:Var(etFt-1)=Eet- E(etFt-1)2 Ft-1 (注意此处严格按定义写表达式) = Eet2 Ft-1 (用21.0.7式)S2(Yt-1,Yt-2,). (用性质(1) 21.0.8此处S2(Yt-1,Yt-2,)为条件方差函数, 这里也是依性质(1)才有此表示. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(Yt-1,Yt-2,), 它不一定是常数! 于是, 平稳随机序列Yt总有如下表达式:Yt = j( Yt-1,Yt-2,)+et, 21.0.9 其中j( Yt-1,Yt-2,)被称为自回归函数, 不一定是线性的. et可称为新息序列, 与前面出现的线性模型的新息序列不同. 除非Yt是正态序列. 顺便指出, 满足21.0.4式的et为鞅差序列, 称它为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于Yt是严平稳随机序列, 且E|Yt|0. 21.1.2换句话说, 考虑如下的模型21.0.9Yt=et, 21.1.3 它的标准化的模型21.0.12为 Yt=S(Yt-1,Yt-2,)et. 21.1.4请注意, 这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型. 我们不可能泛泛地讨论它. 再请回看对鞅差序列et的限制的历程, 以下我们要讲的恰好是:“et=S(yt-1, yt-2, )et，但et为i.i.d. N(0,2)序列,而且S(yt-1, yt-2, )为有限参模型, (1982-)再新的内容, 我们只是简单提到而已. 至此, 大家完全明白我们将要讨论什么, 它也是建模, 但是, 与前几章不同.为说明有何不同, 只需看一看序列et的自协方差即可. ge(k)=Eet+ket= EE(et+ketet+k-1,et+k-2,) = EetE(et+ket+k-1,et+k-2,) = EetE(et+kyt+k-1,yt+k-2,)= Eet0=0, k1.可见, 平稳鞅差序列也是白噪声, 按前几章的自协方差-平稳序列的建模和谱分析, 几乎无话可说.* ARCH(p)模型. (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)在金融界, 大量的数据序列呈现不可预报性, 相当于前面的21.0.9或21.0.12式中的j(yt-1, yt-2, )=0, 于是有兴趣研究21.1.4模型. Engle(1982)首先提出并使用了如下的有限参数模型: yt=S(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, 21.1.5 ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, 21.1.6a00, ai0, i=1,2,p.其中et为i.i.d.的序列, etN(0, 1), 且et与yt-1, yt-2, 独立, ht=S2(yt-1, yt-2, )只是简化记号而已, 此模型被称为自回归条件异方差模型(ARCH). 现在作几点明:其一, 很明显, 此模型还是对普遍适用的21.1.2式 模型之子类, 对它加了很强的人为限制. 最强的是et为i.i.d.序列! 这是现有理论的限制. 其它次之. 限定21.1.6式是为了使用方便. 限定et服从正态分布, 是为了求极大似然估计方便.其二, 限制 a00, ai0, i=1,2,p, 是为了保证条件方差函数ht=S(yt-1, yt-2, )0. 限制 a00, 是为了保证模型21.1.2有平稳解! 否则, 若a0=0, 考查如下ARCH(1) 模型:ht=a1 yt-12,将它代入21.1.5式得yt=ht1/2 et=(a1 yt-12)1/2 et,将它两边平方得 yt2=a1yt-12et2,将它两边取对数得log(yt2)=log(a1)+log(yt-12)+log(et2), 21.1.7记xt=log(yt2), c=log(a1), ht=log(et2)(仍为i.i.d.序列), 上式为xt = c+ xt-1+ ht,这不是熟悉的一元AR(1)模型吗? 而且不满足平稳性条件, 所以, 没有平稳解. 其三, 限制 etN(0, 1), 而不是 etN(0, s2), 是标准化所要求.其四, 为使ARCH模型有平稳解, 对系数ai(i=1,2,p)还要加限制. 较早的限制(也是较强)是 a1+a2+ap0, ai0, i=1,2,p.易见, 21.1.5与21.1.5是等价的. 其六, ARCH模型的变形. 一种变形方式是仿21.1.7式的做法, 即将21.1.5式两边平方, 再将21.1.6式代入其中可得yt2=htet2=(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)et2 =(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)(1+et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+(et2-1)(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ ht(et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ wt, 21.1.9对序列yt2而言, 此式很像线性AR(p), 其中wt=ht(et2-1)是一个平稳的鞅差序列. 此式恰好是书中的(21.1.5)式! 书中(p80010-p80119)所作的解释和说明, 欠准确, 不和ARCH模型的本义. 况且, 从原理上来说, 得到了yt2的解,还不能说就得到了原序列yt的解. 好在当我们只关心yt的条件方差时, 只用yt2的解也够了. 不过, 用(21.1.5)式讲解ARCH模型, 对初学者容易产生误解. 用推导出的21.1.9式作为一种变形方式, 是严格的, 而且, 也可放心地使用它. 所谓使用它, 就是将原数据平方后得到: y12 , y22 , , yT2, 对它们建立AR(p)模型, 便得到参数a0,a1,ap的一种估计.如果对yt2=htet2两边取对数可得 log(yt2)=log(ht)+log(et2) =log(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)+log(et2)记xt=log(yt2), c=Elog(et2), ht=log(et2)-c, 于是上式可写成x(t)=c+log(a0+a1ex(t-1)+a2ex(t-2)+ap ex(t-p)+ ht. 21.1.10于是又得到一种变形. 此式是关于序列x(t)的非线性自回归模型, 注意, 上式中的序列ht是i.i.d.的. 此外, ARCH模型还有别的表示方法, 不再一一介绍了.其七, 根据数据y1,y2,yT, 要作自回归条件异方差模型的统计分析, 包含两项内容, 首先是用假设检验方法, 判别这些数据是否有条件异方差条件性, 即, S(yt-1, yt-2, )=常数? 如果是否定回答, 第二项内容就是对ARCH模型未知参数的估计. 欲知检验方法, 请查阅有关文献, 或见此书(p8083-p80813)提供的较早出现的检验方法. 欲知参数的估计方法, 可参看Hamilton的书(p8033-p80413).21.2 GARCH(Generalized ARCH) 模型:在Engle(1982)提出ARCH模型后, 受到应用者的关注, 特别是金融界. 稍后几年, 也被时间序列分析理论研究所重视. 从前面对新息列et限制条件的放宽过程可见, 提出ARCH模型, 无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓性的意义. 在对ARCH模型的理论研究和应用中, 人们自然会发问: 在21.1.6式中, yt的条件方差S(yt-1, yt-2, ) ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, 只依赖于p个历史值, 能否考虑依赖全部历史值的情况? Bollerslev(1986)给出了回答, 他提出了如下的更广的模型, 即GARCH模型:yt=S(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, 21.2.1ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+b1ht-1+bqht-q, 21.2.2a00, ai0, i=1,2,p; bj0, j=1,2,q. 21.2.3其中et为i.i.d.的N(0,1)分布, 且et与 yt-1, yt-2, 独立.对此GARCH模型作如下说明:其一, 利用第三章反复使用的模型迭代法, 由21.2.2式可得知, ht= S(yt-1, yt-2, )确实依赖序列的全部历史值. 尽管此依赖函数被有限参数所确定.其二, 在1997年诺贝尔经济学奖, 被两位研究期权定价理论的Black-Scholes方程的学者获得. 从理论上人们发现, Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程, 对它等间隔离散化采样序列, 恰好满足GARCH模型. 于是, GARCH模型更被认可, 而且, 金融界特偏爱GARCH模型.其三, 如前所述, 21.2.3式的条件 a00, 仍不能放宽为a00. 而且, 21.2.3式中的条件 ai0, i=1,2,p, 还应附加一个限制: a1+a2+ ap0, 否则, 如全部 ai=0 (i=1,2,p)将导致21.2.2式的ht为常数(仍用迭代法证明). 这一点未在文献中指出, 一个潜在原因是: 应用者默认p 1,且ap0. 其四, 与对ARCH模型的说明中的其四很类似. 为使GARCH模型有平稳解, 对系数ai(i=1,2,p)和bj0, j=1,2,q. 还要加限制. 较早的限制(也是较强)是 a1+ap+b1+ bq 0, ai0, i=1,2,p.其中0b1, 当 b=1时就是ARCH模型, 当 b0, ai0, 也不讨人喜欢, 因为它导致参数估计算法的复交杂性. 于是, 有人提出对log(ht)建立模型(其优点见p812-5).(3) 多元ARCH模型:在金融领域, 多元序列有广泛的实际背景, 因此他们关心多元ARCH和GARCH模型. 而且特别关心不同量之间的条件相关系数. 这就要设及如何定义此类模型的问题. 为实际使用此模型, 要使用半拉直运算, 即将对称方阵的对交线和上半部分的元素列成向量. 用记号ht=vech(Ht), Xt=vech(YtYt)表示. 于是, 按照一元GARCH模型的形式上的推广, 多元GARCH可写为 YtYt-1,Yt-2,Y1 N(0