振动与波 机械运动.doc

第二篇 振动与波第6章 机械运动6.1内容提要.1.1 简谐运动的特征1. 简谐运动的特征动力学特征：质点在弹性力或准弹性力作用下的运动是简谐运动。合外力的大小和位移成正比且方向相反： 简谐振动的运动微分方程 运动学特征：物体做简谐振动的过程中，任意时刻相对平衡位置的位移，可表示为时间的余弦（或正弦）函数能量特征：，2特征量角频率（或圆频率）、频率、周期：表征振动往复的快慢。三者的关系：单摆 ，复摆振幅：给出振动的范围或幅度。初相：相位是描述谐振物体瞬时运动状态的物理量。初相 则对应于振动物体在初始时刻的运动状态，其值取决于初始时刻的选择。对于给定的振动系统，和的值可由初始条件确定，3. 表示方法数学解析法：用简谐振动的运动方程表示。图形法：用振动曲线表示。旋转矢量法：旋转矢量的长度表示简谐振动的振幅，旋转矢量匀速转动的角速度为简谐振动的圆频率，初始时刻旋转矢量与轴的夹角为初相，任意时刻旋转矢量与轴的夹角为相位.4. 速度和加速度6.1.2 简谐运动的合成1. 同一直线上两个同频率简谐运动的合成，仍为简谐运动。分振动：，合振动： 合振动的振幅和初相分别为：，2. 同一直线上两个不同频率简谐运动的合成，不是简谐运动。当和都很大，但很小时，产生拍的现象。拍频：.3. 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成4. 两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成，不是简谐运动。当两个分振动的频率比为简单的整数比时，合振动的轨迹为李萨如图形。6.1.3 阻尼振动（受迫振动、共振）系统作阻尼振动时，振幅不断减小，能量不断损失。系统在强迫力作用下的振动叫受迫振动，稳定时与简谐运动同型，其振动角频率等于强迫力的角频率. 当时，发生共振现象，这时受迫振动的振幅达到最大值。6.2 典型例题例6.1 假想沿地球的南北极直径开凿一条贯穿地球的隧道，且将地球当作一密度的均匀球体。（1）若不计阻力，试证明一物体由地面落入此隧道后作简谐振动。（2）求此物体由地球表面落至地心的时间。解 （1）选地心为坐标原点，向上为轴正方向。质量为的物体在地球内部距地心为处受到的地心引力为：由牛顿第二定律得 令 则 显然物体作简谐振动。（2）已知，代入上式 O0.5-442物体从地面落到地心的时间例62 已知某物体作简谐振动的振动曲线如图所示，求其振动方程。解法1 旋转矢量法时，物体的初位移：MPO，且所对应的旋转矢量如图所示，由图显见，在时的相位（初相位）为：或，通常取由图还可以看出，在时，从旋转矢量图可知，旋转矢量由点到点历时，转过的角度为，所以 从而解得 于是得到物体的振动方程为 解法2 解析法将时代入设定的振动方程，有解得： 由于时刻，物体位于处，下一时刻它将向平衡位置运动，即向正方向运动，因此，时物体的速度大于零，即 即 所以，取将，代入振动方程，有即 ，于是 即时， 则，于是，所以物体的振动方程为 第7章 机械波71内容提要7.1.1 机械波1. 产生的条件产生机械波应具备两个条件：波源和弹性介质。在振动传播的过程中，介质质元只是在其平衡位置附近作振动，并不随波移动，波传播的只是振动状态（相位）。2. 描述波动的特征量波长：波线上振动状态完全相同的两个相邻质元之间的距离。反映了波在传播过程中的空间周期性。波的周期（或频率、角频率）：波向前推进一个波长所需的时间为波的周期，它反映了波的时间周期性。波的周期等于波源的振动周期。周期的倒数为波的频率。波速：某一振动状态（相位）在单位时间内传播的距离。波速又称相速。关系式：，7.1.2 平面简谐波1. 平面简谐波的波函数（波动方程、表达式）沿轴正方向传播：沿轴负方向传播：2. 平面波的波动微分方程3. 简谐波的能量波动过程是振动状态（相位）和能量的传播过程。波动中任一质元的动能和势能时时都相等。质元的机械能不守恒。平均能量密度：平均能流密度（波的强度）：波的吸收：，7.1.3 惠更斯原理和波的叠加原理1. 惠更斯原理波动传到的各点都可以看成是发射球面子波的波源，任一时刻这些子波的包络面就是新的波前。2. 波的叠加原理几列波可以各自保持其原有特性通过同一介质，好象其他波不存在一样。在它们相遇的区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该点引起的振动的合成。7.1.4 波的干涉1. 相干条件：在相遇点振动方向平行、频率相同、相位相同或相位差恒定。满足相干条件的两列波称为相干波，其波源称为相干波源。两列相干波在空间相遇叠加时，将使空间某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减弱，产生波的干涉现象。2. 干涉相长和干涉相消的条件若，可用波程差表示，即7.1.5 驻波1. 形成驻波的条件两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，叠加形成驻波。2. 驻波的特性有波节和波腹，相邻波节和相邻波腹之间的距离为；相邻波节间各点相位相同，波节两侧各点相位相反；没有能量和波形的传播。驻波实际上是分段稳定的振动。3. 驻波的能量势能集中在波节附近，动能集中在波腹附近。动能势能不断来回转换，平均能流为零。7.1.6 声波1. 频率范围2020000为可听声波；低于20为次声波；高于20000为超声波。2. 声强和声强级，7.1.7 多谱勒效应观察者O和波源S相对介质运动时，接收到的波的频率不同于波源的振动频率。考虑波源和接收器在同一直线上运动，有：其中，当波源和观察者相向运动（彼此靠近）时，；相背运动（彼此远离）时，.0.04-0.04O0.2P0.4x(m)72典型例题例7.1 如图所示为某平面简谐波在时刻的波形曲线，求：（1）波长、周期、频率；（2）两点的运动方向；（3）该波的波函数；（4）点的振动方程，并画出振动曲线；（5）时刻的波形方程，并画出该波形曲线。解 （1）由时刻的波形曲线可知 ，所以，（2）由于波沿轴正方向传播，可见，在时刻点沿轴负方向运动，点沿轴正方向运动。（3）设波函数为 由时刻的波形曲线可知，对于的质点，所以有 所以 因此，波函数为 （4）对于点：将代入波函数，得到点的振动方程为 0.4O-0.040.20.04波形曲线5O-0.042.50.04P点振动曲线振动曲线如图所示： （5） 将代入波函数，得到时刻波形方程为波形曲线如上图所示。例7.2 一简谐波，振动周期，波长，振幅，当时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）时刻，处质点的位移；（3）时刻，质点的振动速度。 解 （1）根据题中所给条件，可得波动方程为：（2）当，处质点的位移 （3）振动速度 当时，在处质点的振动速度为OO2-5O-1010m2BMC例7.3 一平面波沿轴正方向传播到介质分界面，在点发生反射并形成波节，已知坐标原点到介质分界面的垂直距离，波长，原点处的振动方程为，并设反射波不衰减，求：（1）入射波的波动方程；（2）反射波的波动方程；（3）OB之间波节的位置；（4）离原点为处质点的振幅。解 （1）已知坐标原点的振动方程为则入射波的方程为 （2）已知反射点为波节，故要考虑半波损失。入射波到达点的振动方程为：考虑半波损失，在点反射波的振动方程为设由的距离为，故点的位相比点落后，所以，反射波的波动方程为 （3）入射波与反射波在某点相遇后干涉减弱的位置，即为波节的位置。故处入射波与反射波的位相差为： 当时振动减弱，即在，所以，当，当，当（4）离原点为处质点的振幅。在该处的位相差为：因为不衰减，故，其合振幅 O例7.4 如图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直于纸面）的简谐波，传播过程中在点相遇；若三个简谐波各自单独在、和振动方程分别为；和 ；且，（为波长），求点的合振动方程（设传播过程中各波振幅不变）。解 每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以在O点的振动方程可写成：O其中，在点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程：自测习题自测题A一、选择题（共21分）1（本题3分）劲度系数分别为和的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为的物体，构成一个竖挂的振子，则该系统的振动周期为（ ）k1k2m（A） （B） （C） （D） 2（本题3分）A-AO(B)A-AO(A)已知一质点沿轴作简谐振动，其振动方程可表示为：，与之对应的振动曲线是（ ） A-AO(D)A-AO(C)3（本题3分）频率为，传播速度为的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为，则此两点相距（ ）（A） （B） （C） （D） A-AOP4（本题3分）图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，波由点反射，则反射波在时刻的波形图为（ ） A-AOP（B）A-AOP（A）A-AOP（D）A-AOP（C）0.0050.01O100Pu=200m/s5（本题3分）图中画出一平面简谐波在时刻的波形图，则平衡位置在点的质点振动方程是（ ）（A）（B）（C）（D） 6（本题3分）一平面简谐波，沿轴负方向传播，角频率为，波速为，设时刻的波形如图所示，则该波的表达式为（ ）A-AAu y O（A）（B）（C）（D） 7（本题3分）在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是，则两列波的振幅之比是（ ）（A） （B）（C） （D） 二、填空题（共21分）8（本题3分）AO42一作简谐振动的振动系统，振子质量为，系统振动频率为1000Hz，振幅为，则其振动能量为 。9（本题3分）如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们合成的余弦振动的初相为 。10（本题3分）两相干波源和的振动方程分别是和.距点3个波长，距点4.5个波长。设波传播过程中振幅不变，则两波同时传到点时的合振幅是 。11（本题3分）一驻波表达式为.位于的质元与位于处的质元的振动相位差为 。Oo12（本题5分）在真空中沿轴负方向传播的平面电磁波，O点处电场强度为。则O点处磁场强度为 。在图上表示出电场强度，磁场强度和传播速度之间的关系。13（本题5分）一静止的报警器，其频率为，有一汽车以的时速驶向和背离报警器时，坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是 和 （设空气中声速为）三、计算题（共58分）14（本题5分）质量为的质点，按方程沿着轴振动。求：（1）时。作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。15（本题5分）10-10O-52t(s)一简谐振动的振动曲线如图所示。求振动方程。OO2-5O-1010m2F16（本题5分）一质量为的质点在力的作用下沿轴运动。求其运动的周期。17（本题5分）一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为，画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。18（本题10分）已知一平面简谐波的表达式为（1）求出该波的波长，频率和波速的值；（2）写出时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；A160O2080x(m)（3）求时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻.19（本题10分）一平面余弦波向左传播，图示为在时刻与（T）时刻的波形图。已知波向左传播，波速为，求（1）坐标原点处介质质点的运动方程；（2）该波的波动表达式。20（本题5分）一平面简谐波，频率，波速为在截面面积为的管内空气中传播，若在内通过截面的能量为，求（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。21（本题8分）一微波探测器位于湖岸水面以上处。一发射波长的单色微波的射电星从地平线上缓慢升起，探测器将相继指出信号强度的极大值和极小值。当接收到第一个极大值时，射电星位于湖面以上什么角度？22（本题5分）一驻波中相邻两波节的距离为，质元的振动频率为，求形成该驻波的两个相干行波的传播速度和波长.参考答案一、选择题1.（C） 2.（B） 3.（C） 4.（B） 5.（C） 6.（D） 7.（C）O二、填空题8 9 或 10 111213，三、计算题14解 （1）时， （2），其时， （振幅端点）15解 设振动方程为：由曲线知，解上面两式，可得 由图可知质点由位移为和的状态到和的状态所需时间，代入振动方程得：则有 ， 故所求振动方程为 16解 将与比较，知质点作简谐振动， 又 O 17解作两振动的旋转矢量图，如图所示。由图得：合振动的振幅和初相位分别为 ，合振动的方程为 18解 这是一个向轴负向传播的波（1）由波数 得波长 由 得频率 波速 （2）波峰的位置，即的位置。由 有 解上式，有 当 时，所谓离坐标原点最近，即最小的波峰。在上式中取，可得的波峰离坐标原点最近。（3）设该波峰由原点传播到处所需的时间为则 该波峰经过原点的时刻 19解 （1）比较时刻波形图与时刻波形图，可知此波向左传播。在时刻，处质点 ，故 又，处质点位移为 所以 ， 振动方程为 （2）波速 波长 波动表达式 20解 （1） （2） （3） 21解 如图，P为探测器，射电星直接发射到P点的波与经过湖面反射有相位突变的波在P点相干叠加，波程差为O DP22波长 波速 自测题B一、选择题（共24分）k1k2m1.（本题3分）如图所示，质量为m的物体由劲度系数为和的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统振动频率为（ ）（A） （B）（C） （D） 4mm2.（本题3分）如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为（ ）m（A） （B）（C） （D） 3.（本题3分）已知某谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒，则此简谐振动方程为（ ）-2O-11t(s)（A）（B）（C）（D）（E） 4.（本题3分）一平面简谐波沿x轴负方向传播。已知处质点的振动方程为.若波速为u，则此波的表达式为（ ）（A）（B）（C）（D） 5.（本题3分）一平面简谐波，其振幅为A，频率为，波沿x轴正方向传播。设时刻波形如图所示。则处质点的振动方程为（ ）O（A） （B）（C）（D） 6.（本题3分）当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在（ ）（A）媒质质元离开其平衡位置最大位移处。（B）媒质质元离开其平衡位置处（A是振动振幅）。（C）媒质质元在其平衡位置处。（D）媒质质元离开其平衡位置处（A是振动振幅）。 7.（本题3分）P如图所示，和为两个相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波，点是两列波相遇区域的一点，已知，两列波在点发生相消干涉，若的振动方程为，则的振动方程为（ ） （A） （B）（C） （D）8.（本题3分）两相干波源和相距（为波长），的相位比的相位超前，在，的连线上，外侧各点（例如P点）两波引起的两谐P振动的相位差是（ ）（A）0， （B）， （C）， （D） 二、填空题（共23分）9.（本题3分）一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为，此振子的周期T= 。10.（本题3分）一单摆的悬线长，在顶端固定点的竖直下方处有一小钉，如图示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为 。11（本题3分）一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为，其合成运动的运动方程为x = 。12（本题3分）一列平面简谐波沿x轴正向无衰减地传播，波的振幅为m，周期为0.01s，波速为400m/s，当时x轴原点处的质元正通过平衡位置向y轴正方向运动，则该简谐波的表达为 。13（本题4分），为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相距（为波长）如图，已知的初相位为。NMC（1）若使射线上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则的初相位应为 。（2）若使连线的中垂线MN上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则的初相位应为 。14（本题3分）设入射波的表达式为，波在处发生反射，反射点为固定端，则形成的驻波表达为 。15（本题4分）一列火车以20m/s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600Hz，一静止观测者在机车前和后所听到的声音频率分别为 和 （设空气中声速为）。 三 计算题（共53分）16（本题8分）一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长m，摆锤可上、下移动以调节其周期，假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？17（本题5分）OOF2-5O-1010m2A一质点作简谐振动，其振动方程为，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（的状态）运动到，的状态所需最短时间。18（本题5分）一物体质量，受到的作用力为。若该物体偏离坐标原点O的最大位移为m，则物体动能的最大值为多少？19（本题5分）一物体同时参与两个同方向的简谐振动：， 求此物体的振动方程。20（本题10分）在弹性媒体中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为。若在x = 5.00m处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变，设反射波的强度不变，试写出反射波