类神经网路於选择权价格之预测.doc

類神經網路於選擇權價格之預測以台灣股價指數選擇權為例Option Price Forecasting Using Neural NetworksEvidence from the TSE Index Option林進財Chin-Tsai Lin1 葉欣怡Hsin-Yi Yeh21元培科學技術學院 經營管理研究所2銘傳大學管理科學研究所1 Graduate Institute of Business and Management, Yuanpei University of Science and Technology, Hsin Chu 300, Taiwan, R.O.C.2 Graduate School of Management, Ming Chung University, Taipei, R.O.C.【摘 要】本文利用2002年1月1日至2003年12月31日間，台灣期貨交易所發行台灣股價指數選擇權之交易資料，應用類神經網路的倒傳遞模型與Black and Sholes(1973)選擇權評價模型(B-S評價模型)進行實證，並比較其預測評價績效。本文之研究結果發現，在台股指數選擇權之價格預測上，類神經網路之預測績效較傳統的B-S模型為佳。關鍵詞：台指選擇權、類神經網路、B-S評價模型、波動度ABSTRACTIn this study, forecasting of the option prices of Taiwan stock index options (TXO) is carried out using backpropagation neural network pricing model and B-S pricing model (Black and Scholes, 1973) from January 1, 2002 to December 31, 2003. The results show that for volatile markets the neural network option pricing model outperforms the B-S pricing model.Keywords：Taiwan Index Option, Artificial Neural Network, Black-Scholes Option Pricing Model, Volatility一、緒 論隨著台灣金融市場之自由化，央行於1994年陸續開放利率選擇權、外幣選擇權及外幣利率選擇權之交易，但都僅屬於店頭市場交易。直至1997年由台灣證券交易所推出之本土認購權證，開始了衍生性金融商品之交易。1998年7月，台灣期貨交易所正式營運，並陸續推出各式台灣股價指數期貨契約，而台灣股價指數選擇權也於2001年12年24日由台灣期貨交易所正式推出上路。由於，選擇權有規避市場利率波動風險的功能，因此合理的選擇權價格預測便成為交易者重視之課題。然而，直至Black and Scholes (1973)依據標的物價格波動符合幾何布朗寧運動的假設，再透過偏微分方程式，推導出歐式買權評價模型(即Black-Scholes評價模型，以下簡稱B-S模型)，方才奠定後續選擇權評價研究之主要參考依據。但是，由於如股價變動服從幾何布朗寧運動、選擇權只能在到期日履約、固定利率等假設皆與真實市場不符。因此，針對修正假設的後續相關研究有蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation) 、有限差分法(Finite-Difference Method)與二項式訂價模型(Binomial Option Pricing Model)等 針對修正傳統B-S模型的諸多假設，後續發展出不同的相關評價模型，例如：Boyle(1977) 推導出蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation）；Schwartz(1977) 推導出有限差分法（Finite-Difference Method）；及 Cox, Ross and Rubinstein(1979)推導出二項式評價模型（Binomial Option Pricing Method）等。，而上述研究皆以諸多假設為依據，因此在假設成立下，選擇權價格便得以求出；然而，這些模型本身卻無自我學習能力，所以一旦模型設立錯誤，將無法適應瞬息萬變的金融市場，而造成錯誤訂價的情況。近年來，隨著類神經網路、基因演算法等人工智慧的快速發展，在財經等相關領域之應用研究皆有顯著性突破。其中，類神經網路無需找出系統模型，僅根據輸入及輸出變數間之關係，再經學習後便可模擬出決策模型進而產生預測能力。雖然類神經網路運用複雜，但樣本資料卻不需事先加以處理。何況在許多統計模型在非線性問題之處理上，都有其先天上的限制，較無法令人滿意；相反地，類神經網路能藉由所謂的隱藏層而適當的呈現非線性問題。因此，具有自我學習、高速計算與非線性處理等特性之類神經網路訂價模型，已深深吸引財經學者和投資者的青睞。目前，國內選擇權市場成立時間不長，加上受到國內權證市場之規模較大與推出時間較早，而且投資者對於權證了解程度較深。因此，林丙輝、王明傳 (2001)與巫春洲 (2002)等主要針對認購權證為研究對象，而且著重藉由不同波動度衡量，來探討傳統訂價模型的配適與否。台灣股價指數選擇權契約發展較晚，相關實證研究或預測模型皆較為缺乏。此外，國外研究趨勢已漸將不同的人工智慧方法，應用於選擇權評價的問題解決上，且有優於傳統評價模型之研究結論。因此，本文以類神經網路建立預測模型來預測台指選擇權，並與傳統B-S模型之評價結果比較，以期找出台指選擇權價格預測之最佳模型。本文共分為五部分：第一部分為緒論，第二部分為相關文獻探討，第三部分為研究方法，第四部分為實證分析結果，最後則為本文結論與建議。二、文獻探討選擇權評價方法不外乎模型驅動理論（Model-driven Approach）與資料驅動理論（Data-driven Approach）二大類。其中，模型驅動理論是在諸多假設成立下求出選擇權價格，若假設偏於真實下，則易造成錯誤訂價之情形。Cox, Ross and Rubinstein (1979) 提出二項式選擇權訂價模型，假設在無套利機會下且期數趨近於無窮大時，多期二項式模型與B-S模型是相通的，而且該訂價模型同時適用於歐式與美式選擇權的訂價。MacBeth and Merville (1979)以六家在CBOE交易公司，1975年12月至1976年12月之每日收盤價，與B-S模型比較，發現B-S評價模型存有高估價內選擇權，而低估價外選擇權的現象。Sheikh (1991)以1983年7月5日至1983年12月31日之S&P 100股價指數選擇權買權市場價格，測試B-S評價模型的正確性。研究結果發現，履約價格與到期期間的長短對隱含波動度有高度相關性，愈深價外的買權和到期期間較短的買權，其隱含波動度皆較高。林丙輝、王明傳 (2001)以B-S、資訊時間及Merton模型三種選擇權評價模型，比較台灣認購權證評價之適用性，結果顯示三種模型在評價誤差、避險誤差標準差、避險比率及投資組合套力能力上，並無顯著差異。巫春洲 (2002)以1997年9月至1999年12月，共16檔個股型認購權證，在股票價格服從GARCH過程之條件下，利用馬可夫鏈矩陣演算法對認購權證進行評價，並和B-S評價模型及二項式模型所求之理論價格比較，結果顯示三種模型之理論價格皆低估了市場價格，而以GARCH模型評價結果最接近市場價格。雖然，上述研究多以B-S與二項式評價模型為主的模型驅動理論，然而因資料驅動理論在研究應用上較具彈性，且類神經網路運用於選擇權訂價問題上，亦有不錯的研究結果。Hutchinson, Lo and Poggio (1994) 探討1987年到1991年間的S&P 500期貨選擇權訂價，研究發現當價格變動未知時，類神經網路訂價模型較為準確且有效率。Malliaris and Salchenberger (1996)以1992年S&P 100指數選擇權資料，利用波動度和其他影響選擇權市場價格因素，預測選擇權市場的未來趨勢。實證發現類神經網路建構之投資組合優於傳統B-S模型。Qi (1999)利用線性和非線性模型對1954年1月至1992年12月之S&P 500指數報酬做預測。發現非線性之類神經網路模型不僅在樣本內資料配適較線性模型佳，對樣本外資料亦能提供準確的預測。另，不論有無交易成本，相較於線性模型，類神經網路模型預測有較高報酬。Yao, Li and Tan (2000)以倒傳遞類神經網路預測1995年1月4日至1995年12月29日之日經225指數選擇權。發現類神經網路模型預測能力較B-S模型佳。並建議偏好高風險、高報酬的投資人，可使用類神經網路為預測模型，偏好低風險、低報酬的投資人，則可使用B-S模型的預測結果。此外，李沃牆(1998) 以認購權證市場為主，結果顯示以歷史波動度為基礎之類神經網路對台股認購權證價格預測之評價績效較B-S與二項式模型為佳。吳宗正、溫敏杰和侯惠月（2001）以1998年9月2日至1999年12月28日之台股指數期貨為研究標的，以類神經網路和統計方法比較。結果顯示在台指期貨之收盤指數預測上，類神經網路與迴歸分析之預測績效較時間序列佳。李天行、陳能靜、蔡榮裕 (2001)以類神經網路模型和GARCH模型探討新加坡交易所日經225指數現貨盤後期貨交易資訊，結果顯示類神經網路模型預測能力較GARCH模型為佳。綜合上述文獻可知，大體而言類神經網路模型在預測績效上優於傳統模型，但仍得視樣本資料特性而定。因此，在主張類神經模型優於B-S模型結論前，必須在不同的市場與不同類神經網路模型下進行謹慎驗證，方能精確比較其不同模型之預測能力。然而，台灣針對B-S模型和類神經網路模型之相關研究，主要是應用於認購權證市場上，而以台指選擇權為主要研究市場的相關文獻則付之如闕。因此，本文嘗試以台指選擇權為新標的資產，進行傳統B-S模型和類神經網路模型訂價模型之績效比較。三、研究方法1. 研究對象與資料來源本文的實證模型包含兩部分。一是應用類神經網路學習後所架構出之選擇權評價模型，另一是應用傳統B-S選擇權評價模型。研究期間從2002年1月1日至2003年12月31日，在台灣期貨交易所發行的台灣股價指數選擇權為研究對象。所有市場交易資料來自台灣期貨交易所資料庫。交易資料內容包括日期、履約價格及其他買賣的價格資訊。在擷取每日資料時是依照當日最後成交價為當日價格，為避免交易量少的資料不具代表性，乃使用當日交易量大於5之市場交易資料，其餘資料則捨去不用。2. 選擇權評價模型(1) Black-Sholes 選擇權評價模型Black and Sholes(1973)假設標的股價(S)變動為標準擴散過程，此種隨機過程稱之為幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)，即：其中為漂浮項 (Drift Rate)，為標的證券價格的波動度，遵循一標準之韋那過程 (Wiener Process)。在此情況下買權之價格為： (1) 其中，為標的物市價、為履約價格、r為無風險利率(年)、為距到期日期間、為波動度(年)。N(d1)，N(d2)為標準常態分配之累積機率函數。在Black-Scholes模型中，重要且不知的參數為股價報酬波動度。B-S模型認為不論是買權或賣權之選擇權價格，皆是資產價格、履約價格、到期日、資產價格波動度和無風險利率之函數。因此等式(1)可簡單表示為下列函數： (2) 類神經網路評價模型倒傳遞類神經網路模型是目前類神經網路學習模型中最具代表性，最被普遍應用的模型。典型倒傳遞類神經網路通常包含輸入層、數個隱藏層及輸出層。倒傳遞類神經網路的演算流程是由輸入層將資料傳給隱藏層，經計算與資料轉換後送至輸出層，計算與實際值的差距後，再回傳隱藏層修正連結的權值，使輸出層的輸出值與真實值的誤差達最小，此訓練過程會重複至誤差收斂到假設之條件為止。倒傳遞網路最常用的非線性轉換函數為雙彎曲函數（Sigmoid Function），其型式為。 理論上，類神經網路在經過充分訓練後，能模仿任何資料模型。故當使用類神經網路為預測工具，需要先訓練網路。本文採用的倒傳遞類神經模型為：其中，C為類神經網路選擇權評價價格；S為標的物股價；X為履約價；r為無風險利率；為距到期日時間。3. 波動度估計模型(1) 歷史波動度估計模型歷史波動度是取得一段期間的股價資料後，計算其報酬的標準差。本文以台股大盤指數之歷史資料，利用樣本滾動(Rolling)方式進行估計，歷史波動度的估計方法如下： 其中，為t時之台股股票報酬率、為之平均數、為t時台股大盤股價。(2) 隱含波動度估計模型隱含波動度是使模型訂價等於選擇權市價之波動度，將市場有關台股指數選擇權的交易資料，藉由B-S選擇權評價模型，反推台指選擇權每一筆交易應有波動度，本文利用等加權平方法估計隱含波動度，估計方法如下：其中，為第j個交易的隱含波動度。4. 衡量評價績效方法根據Chu and Freund (1996)，本文採用平均誤差平方根(Root of Mean Square Error, RMSE)來計算模型配對之評價績效。 , i =1, 2 其中，為第j個觀察值之選擇權市價，則為第j個觀察值使用第i種波動度估計方式所得出的選擇權價格，為歷史波動度，為隱含波動度。四、實證分析由於交易日當天有不同履約價格呈現，因此，本文為縮小資料範圍以利類神經網路預測模型有較佳的學習效果，因而使用價位狀況來分割樣本資料。其中，價位狀況等於台股加權股價指數除以履約價格。選擇權分為價內(in-the-money)、價平(at-the-money)和價外(out-of-the-money)。設S表台股加權股價指數，X表履約價格，當SX時，則為價內買權；當SX時，則為價外買權；當S=X時，則為價平買權，在無交易成本情況下，價平買權也不容易發生。故當SX時，本文稱其為價平選擇權。為此，使用以表示SX的情形以決訂價平資料集。表1為依據值所選擇的每一資料集數目。為平衡每一資料集，本文使用=4%之資料集數目。表1 依據價位狀況分類之資料分割OutAtIn(%)(S/X1+)256572120369244446417028535386251652442632996036213410167186601138 選擇權中之履約價格是未來唯一同意的價格。當契約履行時，市場價格應和履約價格一樣。如果標的資產之市場價格低於履約價格時，則選擇權持有人將不會執行選擇權，因為執行選擇權會無法獲利或損失金錢。反之，如果標的資產之市場價格高於履約價格，則選擇權持有人執行選擇權會獲利或達到避險目的。因此，經由價位狀況分割資料集之目的，是為找出哪一樣本集合之類神經網路能配適的最好。本文利用價位狀況將樣本資料分割為，當價位狀況小於 0.96，介於0.96 和 1.04，及大於 1.04 三個資料集。每一資料集所使用樣本數如表1所示。波動度在傳統訂價模型中是單獨計算，然而在類神經網路預測模型中卻往往將波動納入黑箱中，視為研究限制之一。因此，本文依據Yao et al.(2000)所建構的類神經網路預測模型，將波動度變數置於研究限制當中。此外，在無風險利率變數之設定下，Yao et al.(2000)發現，對類神經網路學習效果之提升無一致性結論，因而本文之類神經預測模型亦納入無風險利率為輸入變數，冀希透過無風險利率變數之設定，能對台股指數選擇權價格預測能力有所提升。本文共分為三群資料集，其中第一集群中的op與opr分別為不包含與包含無風險利率的資料集，而第二群則利用價位狀況所決定之資料集，分別為s-in、s-at與s-out。最後一群則是包含無風險利率的r-s-in、 r-s-at 與r-s-out資料集。類神經網路模型所使用之各資料集樣本數列於表2中，模型先依據資料時間順序將樣本資料進行區分，前面70%之樣本資料用以訓練，根據訓練結果再將後面30%之樣本資料輸入進行測試。表2 每一資料集之樣本數目資料集全部樣本訓練樣本測試樣本op1146980283441opr1146980283441s-in28531997856s-at417029191251s-out444631121334r-s-in28531997856r-s-at417029191251r-s-out444631121334經上述樣本設定，類神經網路模型對不同資料集之測試結果置於表3。首先，在所有樣本資料中，加入無風險利率之模型，其測試誤差值雖與無加入無風險利率變數之模型無差別，但在訓練誤差上確有較大之誤差值。可能原因是和其他輸入變數相比，無風險利率是穩定無變化的，因而使類神經網路模型在學習時感到疑惑，增加其訓練誤差值。此外，依據價位狀況分群之資料顯示，加入無風險利率之訓練範例，大致上言有較小的誤差值，在測試範例上則有較大的誤差值。顯示加入無風險利率無法增加類神經網路的學習效果，反而使誤差值增加。結果亦顯示，無加入無風險利率之價內及價平買權預測結果則較有加入之模型為佳。加入無風險利率之價外選擇權則較無加入無風險利率在價外買權有較佳表現。表3 不同模型的類神經網路結果資料集訓練誤差測試誤差op0.02470.0373opr0.02500.0372s-in0.02580.0325s-at0.03200.0328s-out0.02910.0507r-s-in0.02440.0337r-s-at0.03280.0335r-s-out0.02860.0494本文利用公式求出的歷史波動度和隱含波動度估計值，代入B-S評價模型求出股價指數選擇權的理論價格，並以RMSE評價績效指標，衡量何種波動度估計模型較佳，結果如表4所示。台股指數選擇權實際價格和理論價格有很大的差異，致RMSE值相當高。其可能原因係由於台灣股市規模較小、有漲跌幅之限制、及其他人為因素之干預，以致市場無法充分反應市場資訊。另，由於台灣的選擇權市場剛剛起步，國內投資人在操作此新金融工具並非成熟且有效率，而產生許多不合理的交易行為所致。表4之資料可看出，以歷史波動度計算的理論價格，不論是在價內、價平和價外買權上的預測能力皆較以隱含波動度的預測值表現良好。表4 B-S模型不同波動度的RMSE值價位狀況歷史波動度隱含波動度價內選擇權40.09570.099價平選擇權36.03591.709價外選擇權26.04874.551經由在不同資料集下，比較各類神經網路預測模型之輸出後。本文選擇出較佳之類神經網路預測模型，來進一步與歷史波動度B-S模型進行比較，其結果如表5所示。由表5可知，無論是在價內、價平與價外間，類神經網路模型其預測效果皆顯著優於傳統B-S模型。表5 類神經網路結果和Black-Scholes模型比較價位狀況NN測試誤差Black-Scholes 誤差價內選擇權0.032540.095價平選擇權0.032836.035價外選擇權0.050726.048五、結論與建議本文以台灣股價指數選擇權為研究標的，比較類神經網路模型與傳統B-S模型之價格預測能力。研究結果發現，在台股大盤呈現波動下，類神經網路模型較B-S有較佳之預測能力。這可能是因為由於台灣的選擇權市場剛剛起步，國內投資人對此新金融工具的操作並非成熟且有效率，可能會產生許多不合理的交易行為。且在接近到期日時，在市場上的投資人面臨其擁有部位即將到期的壓力，很可能在此時會有較不合理的買賣交易產生，造成波動度的扭曲。此外，本文也發現有些選擇權的價格是不合理的，譬如違反無風險套利價格的下方界限。這些都導致依據B-S模型所產生的理論價格有更大的偏誤產生。尤其B-S模型是以完美市場假設為前提。在波動市場下便超出該理論所預期，使預測能力有所偏誤。然而，若依據實證結果認定類神經網路在選擇權價格上之預測能力，將優於傳統模型可能過於偏頗，但是，為減少如波動度估計等，參數估計上產生偏誤情況發生，使用類神經網路模型是值得考慮的價格預測模型。依據價位狀況分群結果，價內及價平買權投資者在使用類神經網路預測時，無加入無風險利率之模型會有較佳預測結果。而價外買權投資者則可使用加入無風險利率之模型為預測方法。儘管將波動度置於黑箱中，惟類神經網路模型並不能完全保證波動度能完全收斂，而影響預測模型之表現。因此，建議在未來的後續相關研究中，可加入相關波動度之變數設定來加以驗證比較。此外，如類神經網路模型確實能克服B-S假設上之諸多限制，如此一來亦可與其他B-S的衍生相關模型進行實證比較，藉以找出最適的預測模型。參考文獻1. 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