常微分方程简明教程 王玉文等编 习题解答 (1).doc

1.4习题答案1. (1) 12150, (2) 2.52.2(1) , (2) , (3) .3.(1) , (2) , (3) .4.解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 将减少. 由知, (1) 当, 即时, 将保持不变.(2) 当, 即 或 时, 将增加.(3) 当, 即 或 时, 将减少.5. 7071.6.解: (1) 设 为在时刻的放射性同位素质量. 则模型为, 为比例系数, 方程的解为 , 由 时, , 得,于是, 又因为 时, , 得 , 因此 .(2) 当 时, (3) 质量减半时 , 得, .7. (1) , (2) , (3) 一样.8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1) . (2) . (3) , 其中 是捕获量与总量平方根的比例系数.10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0.11.12.13.(1) 为任意常数. (2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.(5) 为任意常数, 此外也是解.(6) 为任意常数.(7) 为任意常数, 此外也是解.(8) 为任意常数.(9) 为任意常数, 此外也是解.(10) 为任意常数.14.(1) .(2) .(3) .(4) .15.解: 设, 则可导且, 这样有, 得 , 又, 得. 从而 ,进而 .16.解: 首先令 , 由已知可得 , 化简有 , 知 . 由函数的导数定义 变形为 , 积分得 , 由, 知 , 所以满足条件的函数为 17.18.(1) 为任意常数. (2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) .(5) .(6) .(7) .19.(1) 为任意常数.(2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.20.直接代入方程验证即可.21.22.(1) 为任意常数.(2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.23.(1) 为任意常数.(2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.(5) 为任意常数, 此外也是解.(6) 为任意常数.注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在附近的所有解是递减的, 对的解, 当不可能趋于.25.(1) 取,如图1-22: (2) 取, 如图1-23. 图1-22 图1-2327., 在的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始条件的特解的有用信息.28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量为千克, 则可释得 .(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 可解得 .(2) 218010.30.设C处电压为, 则有, 因此 .31.(1) .(2) , .(3) .(4) , 32.(1) , (2) , (3) , (4) .33. 解: 由方程的右端项为 仅为 的函数在全平面上连续可微, 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由知方程有三个平衡解. (1) 初始条件为 , 初值位于的上方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定大于 , 且 , 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间内爆破,趋向于 . 当 减少时, 递减, 并且随着的递减趋于, 也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 , . (2) 初始条件为 , 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件的解就是平衡解. (3) 初始条件为 , 初值位于这两个平衡解的中间, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定满足 , 且 由, 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, . 同样, , . (4) 初始条件为 , 初值位于的下方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定小于, 且 , 与前面类似讨论知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于. 当时, .34. 证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理的条件. 因为是方程的一个解, 必可微, 又因为在 处取得极值, 则由极值的必要条件知, 从而 , 知是方程的一个平衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样的初始条件, 由解的唯一性, 知 .35., 其中为任意常数, 这些解的定义区间为.36解: 由 , 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去的区域内连续, 从而在除去的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.当 时, 函数是方程过 (0,0) 的解.当时, 方程可变形为 , 积分得 , 为任意常数.当 时, 得特解 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为, , 其中是满足,的任意常数, 这些解的定义区间为, 但本质上在充分小的邻域 内方程所确定的过(0,0)的解只有四个, 即 函数, 及.37. 解: (1) 由得平衡点为 和 . 因为, 所以是汇; 而, 所以是源. (2) 由得平衡点为 和 . 当时, , 知为汇; 而, 知为源. 相反, 当时, , 知为源; 而, 知为汇. 同样和都为汇. (3) 总是大于0, 知方程无平衡点. (4) 由 得平衡点, 且当时, , 知, 都为结点.38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27. 图1-24 图1-25 图1-26 图1-2739.(1) 减少时, 在有限时间内趋于.(2) .(3) 同(1).(4) 增加时, 在有限时间内趋于.40. 图1-11 解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于 (6), (d) 对应于(3).例21.41.如图1-28 图1-2842(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理.43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程没有平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12. (2) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或 . 当或时, 方程有一个平衡点, 当 或 时, 方程有两个平衡点和, 当 时, 方程没有平衡点, 知和是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图1-13. (3) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14. (4) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或. 当, 方程有两个平衡点, 当时,方程也有两个平衡点. 或 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有三个平衡点, 知和是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设, 方程的实根