杨圣洪第三章习题一解答.pdf

第三章习题一第三章习题一 一、求下列集合的幂集 1、杨,李,石 P(杨,李,石)=A000, A001, A010, A011, A100, A101, A110, A111 =,石,李,石,杨,杨, 石,杨,李,杨,李,石 2、1,2,2,1,1,2,1,1,2 原集合=1,2,2,1,2,1=1,2，只有一个元素，其幂集只有 2 个元素 P=,1,2 二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对 60 人调查，25 读每周新闻 ，26 读时代 ，26 人读财富 ，9 人读每周新 闻和财富 ，11 读每周新闻和时代 ，8 人读时代与财富 ，还有 8 人什么 都不读，请计算： (1)阅读全部三种杂志的人数。 (2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。 解：令 A=每周新闻的读者，B=时代的读者，C=财富的读者。 由于 8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即|ABC|=52 |A|=25，|B|=26，|C|=26 |AC|=9，|AB|=11，|BC|=8 由包含排斥原理可知 |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AC|-|AB|-|BC|+| ABC|，故 52=25+26+26-9-11-8+| ABC| 故| ABC|=3 即同时读三种杂志的人为 3 人 |A-B-C|=|A|-|AB|-|AC|+| ABC|=25-9-11+3=8 人只读每周新闻的人 |B-A-C|=|B|-|BA|-|BC|+| ABC|=26-11-8+3=10 人只读时代的人 |C-A-B|=|C|-|CA|-|CB|+| ABC|=26-9-8+3=12 人只读财富的人 3 新闻 时代 财富 6 8 5 8 12 10 2、某班 25 个学生，14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会篮球和排球，5 人会打篮球 和网球，还有 2 人会打这三种球，已知 6 人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。 解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。 |篮|=14,|排|=12,|篮排|=6,|篮网|=5,|篮排网|=2，|网|=6， 又 |网篮|+|网排|-|网篮排|=6 故 5+|网排|-2=6， 故 |网排|=3 由包含排斥原理可知 |篮排网|=|篮|+|排|+|网|-|篮排|-|篮网|-|排网|+|篮排网| =14+12+6- 6- 5-3+2=20 故不会打球有 5 人。 2 篮球 网球 排球 4 3 1 5 5 3、在 1 到 300 的整数中（1 和 300 包含在内） ，分别求满足以下条件的整数个数 (1)同时能被 3，5，7 整除； (2)不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数； (3)可以被 3 整除，但是不能被 5 和 7 整除； (4)可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除； (5)只被 3,5,7 中一个整除的数； 解：A3示能被 3 整除的数，A5能被 5 整除，A7能被 7 整除的数 |A3|=300/3=100 |A5|=300/5=60 |A7|=300/7=42 |A3A5|=300/15=20 |A3A7|=300/21=100/7=14 |A5A7|=300/35=60/7=8 |A3A5A7|=2 |A3A5A7|= |A3|+|A5|+|A7|-|A3A5|-|A3A7|-|A5A7|+|A3A5A7|=100+60+42-20-14-8+2 =162 (1)同时能被 3，5，7 整除 解：能被3,5,7即其最小公倍数 105 整除的数，300/105=2.x，只有 2 个数，分别 105， 210 |A3A5A7|=2 (2)不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数 解：所有的数-能被 3 或能被 5 或能被 7 整除的数 =300-|A3A5A7|=300-162=138 (3)可以被 3 整除，但是不能被 5 和 7 整除 解：|A3-A5-A7|=|A3|-|A3A5|-|A3A7|+|A3A5A7|=100-20-14+2=68 (4)可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除 |A3A5-A7| =|A3A5|-|(A3A5)A7| =|A3A5|-|(A3A7)(A5A7)| |A3A5|=|A3|+|A5|-|A3A5|=100+60-20=140 |(A3A7)(A5A7)|= |(A3A7)|+ |(A5A7)|- |(A3A7) (A5A7)| =|(A3A7)|+ |(A5A7)|- |A3A7 A5| =14+8-2=20 |A3A5-A7|=140-20=120 (5)只被 3,5,7 中一个整除的数 解： 只被 3 整除的数=|A3|-|A3A5|-|A3A7|+|A3A5A7|=100-20-14+2=68 只被 5 整除的数=|A5|-|A3A5|-|A5A7|+|A3A5A7|=60-20-8+2=34 只被 7 整除的数=|A7|-|A3A7|-|A5A7|+|A3A5A7|=42-14-8+2=22 2 A3=100 A5=60 A7=42 12 18 6 22 34 68 4、求 1120 之间的素数。 提示：采用筛选法求不超过 120 之间的素数。由 120121，故 120 平方根11，只要去 掉 2,3,4,5,6,7,8,9,10 的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。而 6、8、10 为 2 倍数，9 为 3 的倍数，10 为 5 的倍数，因此只要去掉2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能 有因数存在，即为素数。 素数=120-1-2,3,5,7的倍数+4，其中“减 1”表示 1 不是素数， “+4”表示加上 2,3,5,7 这 4 个数，这 4 个数在2,3,5,7的倍数中已被减去过一次。 令 A2 为 2 倍数，A3 为 3 的倍数， A5 为 5 的倍数，A7 为 7 的倍数，故2,3,5,7的倍 数=|A2A3A5A7|。 |A2|=120/2=60 能被 2 整除的 |A3|=120/3=40 能被 3 整除 |A5|=120/5=24 能被 5 整除 |A7|=120/7=17 能被 7 整除 |A2A3|=120/6=20 C(4,2)=6 |A2A5|=120/10=12 |A2A7|=120/14=60/7=8 |A3A5|=120/15=40/5=8 |A3A7|=120/21=40/7=5 |A5A7|=120/35=24/7=3 |A2A3A5|=120/(2*3*5)=60/(3*5)=20/5=4 C(4,3)=C(4,1)=4 |A2A3A7|=120/(2*3*7)=60/(3*7)=20/7=2 |A3A5A7|=120/(3*5*7)=40/(5*7)=8/7=1 |A2A5A7|=120/(2*5*7)=60/(5*7)=12/7=1 |A2A3A5A7|=120/(2*3*5*7)=60/(3*5*7)=20/(5*7)=4/7=0 |A2A3A5A7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 故素数=120-1-2,3,5,7的倍数+4=120-1-93+4=124-94=30 素数 它们分别是 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 4 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 4 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 2 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40 2 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 3 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 2 61,62,63,64,65,66,68,67,69,70 2 71,72,73,74,75,76,77,78,79,80 3 81,82,83,84,85,86,87,88,89,90 2 91,92,93,94,95,96,97,98,99,100 1 101,102,103,104,105,106,107,108,109,110 4 111,112,113,114,115,116,117,118,119,120 1 共 30 个 5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被 4、5、6 整除的数有多少个？ 解 A 表示被 4 整除的数，B 表示被 5 整除的数，C 表示被 6 整除的数 |A|=10000/4=2500 |B|=10000/5=2000 |C|=10000/6=1666 |AB|=10000/4,5=10000/20=1000/2=500 |AC|=10000/4,6=10000/12=2500/3=833 |BC|=10000/6,5=10000/30=1000/3=333 |ABC|=10000/6,5,4=10000/60=1000/6=166 |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|=2500+2000+1666-(500+833+333)+1 66=6166-1666+166=4666 10000-|ABC|=10000-4666=5334 6、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数 的立方的数有多少？ 解： 设A=x|1=x=10000,x=a2 ， 则a2=10000， 则a=100， 这样的a有 1100 个， |A|=100。 设B=y|1=y=10000,y=b3，则b3=10000，则b=21，这样b有 21 个，|B|=21 |AB|=x|1=x=10000，x=a2，x=b3， 既是某个数的平方，又是某个数的立方，这样的数必须是 121 之间的某些数， 要求a2=b3，即要求a=b*sqrt(b)， sqrt(b)必须整数，即 b 必须可开平方， 而 b 在1,21之间能开平方的数，b 只能是 1,4,9,16， 对应的a= b*sqrt(b)=1,8,27,64，这时a2=1,64,729,4096，b3=1,64,729,4096 |AB|=4 |AB|=|A|+|B|-|AB|=100+21-4=117 满足题意的数=10000-117=9883 7、在 1 和 1000000 之间（包括 1 和 10000）在多少个整数包含了 1，2，3 和 4。 110000 同时包含 1，2，3，4，则至少有 4 位，最小 1234，最大 4321，共有 4!=16 若 是 11000000 ， 则 为 6 位 整 数 ， 相 当 于 6 个 格 子 让 4 个 数 去 选 ， 则 为 P(6,4)=6!/3!=6*5*4*3=30*12=360， 剩下的 2 个格子可填数字 09 任何一个，并且可以重复，共有 10*10=100 可能性 根据乘法原则应有=360*100=36000 个。 分析：这中间可能存在一些重复的情况数字，如 102344，红色的数字是 1，2，3，4 选定的位置，而黑色数字是 09 十个数字去选的位置 它也可以看成是 102344，其中红色是的是 1，2，3，4 的另一种选定，这是二种不同的红 色即 1，2，3，4 的不同排列方式，但却是同一个数字，显然重复了。 另解： A1=表示不含数字 1 的整数，让 0，2，3，4，5，6，7，8，9 去构成 6 位整数，这 6 个格 子中数字可以重复出现，每个格子有 9 种可能性，故有 96= 531441 显然|A1|= 531441 A2=表示不含数字 2 的整数，显然|A2|= 531441 A3=表示不含数字 3 的整数，显然|A3|= 531441 A3=表示不含数字 4 的整数，显然|A4|= 531441 同时含有 1， 2， 3， 4 应是A1A2A3A4=(A1A2A3A4)=S-(A1A2A3A4)， 所以关键要求出|(A1A2A3A4)|，计算过程如下： |A1A2|=|不含有数字 1 与数字 2|=|含有数字 0,3,4,5,6,7,8,9|=86=262144 |A1A3|=|不含有数字 1 与数字 3|=|含有数字 0,2,4,5,6,7,8,9|=86=262144 |A1A4|=|不含有数字 1 与数字 4|=|含有数字 0,2,3,5,6,7,8,9|=86=262144 |A2A3|=|不含有数字 2 与数字 3|=86=262144 |A2A4|=|不含有数字 2 与数字 3|=86=262144 |A3A4|=|不含有数字 2 与数字 3|=86=262144 |A1A2A3|=|不含有数字 1，2 与 3|=76=117649 |A1A2A4|=|不含有数字 1，2 与 4|=76=117