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文档简介

2叶果洛夫(EropoB)定理,一致收敛与几乎处处收敛的关系,1,函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数的Weirstrass定理，还有用三角级数逼近可测函数的Fourier分析都可归类为逼近问题由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念,2,很自然地，有两个问题是必须考虑的：1、什么样的函数可以用“好”的函数按某种收敛意义逼近？2、几种收敛性关系如何？这正是本节要讨论的内容关于第二个问题，前面已作过初步讨论，显然“一致收敛”强于“处处收敛”、“处处收敛”强于“几乎处处收敛”本节则是要考察反方向的结论几乎处处收敛能否推出一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的,3,例如，f(x)=xn在(0,1)上处处收敛到0，但不一致收敛到0。然而，假如我们将1的一个小邻域挖掉，即考虑区间(0,1，则不管多么小，xn在(0,1上总是一致收敛到0的这就是说，可以将(0,1)挖去长度充分小的区间，使xn在剩下的集合上一致收敛对Rn中一般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的Egoroff定理给出了一个肯定的回答,4,定理(EropoB,1911年)设mE0，存在可测子集EE,使得fn在E上一致收敛于f(x),且,证由条件不妨设fn(x)，f(x)都是有限函数，且,在E上几乎处处成立即,而,5,于是对任意固定的,由于,而mE0和任意正整数k,存在,使,6,令,下证:fn在E上一致收敛于f,且,由,7,由于,对任意0，存在k使得,令,对任意0,存在正整数N,使得当nN时,对,因此,当nN时,对,所以fn在E上一致收敛于f.,8,叶果洛夫定理的逆定理设fn是E上一列几乎处处有限的可测函数；|f(x)|0，存在可测子集EE,M(EE)，使得fn在E上一致收敛于f(x)则,注：当时，叶果洛夫定理
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