污水排放问题数学建模.pdf

2 2017017 年河南科技大学模拟训练一年河南科技大学模拟训练一 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等） 与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： D 队员签名 ：1. 郭剑鹏 2. 李瑞锋 3. 王晨 日期： 2017 年 8 月 19 日 20172017 年河南科技大学数学建模竞赛选拔年河南科技大学数学建模竞赛选拔 编编 号号 专专 用用 页页 评阅编号（评阅前进行编号）： 评阅记录（评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 1 污水排放问题 摘要 随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重 视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发 展，是许多企业亟待解决的重要问题。假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量 的污水， 这些污水必须经过处理才能排入河中。 通常的解决办法是建造污水处理站， 将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。而每个厂家单独建立污水处理 站必定会产生较大的花费，所以就需要建立一个最优建站方案评测模型，并且在联 合建站的情况中建立一套合理的费用分担机制。 针对问题一我们在通过相关性检验后运用回归分析建立了建站费与排污量以及 管道费与管道长之间的函数模型。运用了排列组合的知识确定了 N 个厂建站时总共 多少种方案的计算模型。然后运用层次分析法建立一套综合评价体系，从而确定最 优的建站方案。 对于联合建站的工厂， 运用 shapley 值法建立一套费用分配的方案， 让各工厂按既得利益来承担费用。 针对问题二将题目中所给的数据与第一问的数学模型进行匹配，量化模型，具 体求解。层次分析所得的权重最少的方案就是最优的方案，然后对于联合建站的工 厂运用第一问的模型可以容易的得出具体的分配方案。 针对问题三采用穷举法列出题目中所有可能的方案的具体花费，通过直接比较 各个方案的费用来确定出最优的方案，从而验证所建立模型的正确性。 关键词：关键词： 相关性检验相关性检验 多元回归分析多元回归分析 shapleyshapley 值值法法 层次分析法层次分析法 穷举法穷举法 2 1. 问题重述 1.11.1 引言 随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环 境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展， 是许多企业亟待解决的重要问题。 假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排 入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准 后再予以排放。 1.2 1.2 问题提出 污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。联合建造时，处 理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。处 理 站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，表 1 给出了不同污水处理 量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。 (1) 请建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案。如果是联合建造， 应给出建造费用的分担方法。 (2) 若沿河从上游到下游有 A， B， C 三家工厂， 各厂的排污量分别为 4.5 t/s， 2.5 t/s 和 6 t/s。已知 AB 之间的距离为 20 km，BC 之间的距离为 40 km。请用你建立的模 型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。 (3) 分析说明你所给方案的合理性。 2.问题分析 2.12.1 问题一 问题一要求建立适当的建站方案，并且给出联合建站工厂的费用承担方案。首先应 该弄清楚共有多少种可能的建站方案。然后建立一个量化的评价模型来评判出最优 的方案，最省钱的就是最合理的。然后构建一个费用分担的体制，这个体制应该让 联合建站的工厂都达到利益最大化。 2.2 2.2 问题二 问题二要求在给定的条件下建立具体的建造方案和费用分担方法。只需将问题一中 所建立的模型具体化就可以。此问中并不需要计算出每一种方案需要花费的具体费 用，只需量化模型中所需要的代数量即可。 3 2.32.3 问题三 问题三要求所建立模型的合理性，我们采用穷举的方法。列出每一种方案所需要的 具体数额，直接进行比较得出最优的建站方案，若结果与所建模型的相同，就能证 明我们所建立模型的合理性。 3.模型假设： 1.每个厂到处理站的距离和管道长度是相等的。 2.单独建站时管道长 L 为 0，即只存在建站费。 3.假设管道的输送能力无限大，即管道费与排污量无关。 4.污水处理厂的能力是无限的，即排出污水能够及时处理。 5.A,B,C 三厂均在河的同一侧且位于一条直线上。 6.如果河上游的厂建设的排污管通过下游的厂，则下游的厂可以共用，不需要另外铺设 管道。 4.符号说明 L 管道长 X 排污量 F 总费用 f1 管道费 f2 建站费 W(p) 联合建站费用 W(p/k) 除去第 k 厂之后集合 P 中剩余厂的联合建站费用 W(p) W(p/k) 享有联合建站优惠后厂所需支付的建站费 Q(|p|) 加权因子 5.模型的建立与求解 问题一： 根据模型假设以及常识我们认为建站费只与排污量有关，管道费只与管道长有关，为了 探究上述两组变量之间的关系，我们做出了 5-1 和 5-2 两个散点图。通过观察散点图发 4 现这两组变量之间都接近线性、二次、三次以及幂函数的关系。SPSS 软件对两组变量的 相关性分析如表 1 表 2 所示：均显示了很强的相关性。接下来再运用 SPSS 软件对这三 种函数进行曲线估计得到系数及模型评价如表 5-3,5-4.5-6，5-7 所示。各个函数模型 与数据散点的拟合情况如图 5-5 和 5-8 所示。 5-1 5-2 5 相关性 建站费 排污量 建站费 Pearson 相关 性 1 .983* 显著性（双侧） .000 N 10 10 排污量 Pearson 相关 性 .983* 1 显著性（双侧） .000 N 10 10 *. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。 表 1 相关性 管道费 管道长 管道费 Pearson 相关 性 1 .990* 显著性（双侧） .000 N 10 10 管道长 Pearson 相关 性 .990* 1 显著性（双侧） .000 N 10 10 *. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。 表 2 模型汇总和参数估计值 因变量:管道费 方程 模型汇总 R 方 F df1 df2 Sig. 线性 .981 407.974 1 8 .000 二次 .996 807.337 2 7 .000 三次 .998 1224.806 3 6 .000 幂 .995 1581.071 1 8 .000 5-3 模型汇总和参数估计值 因变量:管道费 自变量：管道长度 6 方程 参数估计值 常数 b1 b2 b3 线性 -25.404 2.943 二次 -2.647 1.301 .023 三次 -18.567 3.268 -.041 .001 幂 .343 1.501 5-4 5-5 模型汇总和参数估计值 因变量:建站费 方程 模型汇总 R 方 F df1 df2 Sig. 线性 .967 232.649 1 8 .000 二次 .986 238.505 2 7 .000 三次 .986 136.705 3 6 .000 幂 .991 865.937 1 8 .000 5-6 模型汇总和参数估计值 因变量:建站费 7 程 参数估计值 常数 b1 b2 b3 线性 94.549 26.242 二次 47.110 40.438 -.853 三次 51.668 37.979 -.521 -.013 幂 79.198 .661 自变量为 排污量。 5-7 5-8 通过对表 5-3,5-4 以及图 5-5 的综合分析得到管道费与管道长的关系： f1() = 0.3431.501 通过对表 5-6,5-7 以及图 5-8 的综合分析得到建站费与排污量的关系： f2(x) = 79.189x0.661 假设有 n 个工厂，每个工厂的排污量分别是 X1,X2,X3Xn; 8 管道长分别为 L1，L2，L3Ln; 可能性一:：每个工厂单独建站。 总费用即为建站费: F1=f2i n i=1 ; 可能性二：所有工厂联合建厂。 联合建站费为 f=79.189(Xi n i=1 )0.661。总费用为建站费与管道费的总和 F2=f+f1i n i=1 可能性三：部分工厂联合建厂。 假设个工厂中有个联合建站，剩余的个单独建站。则由排列组合知识可得共 有: Cn kn k=2 + 1 = n! k!(nk)! + 1 n k=1 （1）种建站的方案。 5 5. .1 1.1.1 假设单独建站的 n-k 个工厂中，排污量分别为x1,x2 ,x3xj；则建厂的总费用 F(1) 3 = f2j 5 5. .1 1.2.2 由模型假设 1 可得联合建站的 k 个工厂中离处理站的距离可用管道长度表示。 假设联合建站的 k 个工厂中，离处理站的距离分别为l1,l2 ,l3lk； 建厂的总费用： F(2) 3 =f2+f1 此问中我们采用层次分析法对所给的五组方案进行综合评判，得出最优的方案。接下来 进行算法的说明： 5 5.2.2.1.1 ：首先确定出层次分析的各个评价因素，层次图如图 5-2-1 所示： 由上述方案分析整理出各个方案所需对应的 B1，B2 的花费数据如表 5-2-2 所示： 其中 B1,B2 表示评定的两个因素，C1Cn 对应问题可能的 n 个方案 5-2-1 9 方案 C1 C2 C3 Cn B1 D1 D2 D3 Dn B2 E1 E2 E3 En 5-2-2 5 5.2.2.2.2 : 根据图 2-2-1 和表 2-2-2 所示的数据我们可以确定出相对 n 个建厂方案对于两 个评价量 B1，B2 的成对比较阵。以及第二层对第一层的成对比较阵 Q 如下： ： Q = B1 B1 B1 B2 B2 B1 B2 B2 G1= D1 D1 D1 Dn Dn D1 Dn Dn G2= E1 E1 E1 En En E1 En En 通过 MATLAB 软件可以求出上述三个矩阵的最大特征根，1, 2，对应的特征向量为 （2），1 （3）， 2 （3）；对最大特征根进行一致性检验，如果检验通过，三个矩阵归一 化的特征向量即可作为第二层对第一层的权向量（2）以及第三层对第二层的权向量 1 （3）和 2 （3）。 （若一致性检验未通过则需要查找并去除掉有问题的样本点再次重复上 述过程）构造矩阵: （3）= 1 （3）， 2 （3） 则第三层对第一层的组合权向量: = （3） （2）=1，2 T 组合权向量中最小的数所对的方案即为最省的方案。 5 5.3.3 ： 对于联合建站 （全部联合或部分联合） 的费用分担问题， 采用 shapley 算法原则： 假设有 k 个厂联合建站，记这些厂为集合 P； 则花费的联合建站费用为W(p)； 记W(p/k)为除去第 k 厂之后集合 P 中剩余厂的联合建站费用； 则W(p) W(p/k)即为享有联合建站优惠后厂所需支付的建站费； Q(|p|)代表加权因子，Q(|p|) = (K|)!(|1)! ! ； 则由 shapley 利益分配原则可得： 第 k 厂所需支付的费用W = Q(|p|) W(p) W(p/k) 问题二： 由问题一式（1）的排列模型可得当工厂数目为 3 时共有 C3 2 + C3 3 + 1 = 5种方案。 即：A,B,C(三个工厂均单独建站)，AB,C（AB 合作 C 单独建站） ，AC,B(AC 合作 B 单独建 站),A,BC(BC 合作 A 单独建站)，ABC(ABC 均合作建站)。 10 下面对五个方案用层次分析法进行综合评判。 5.45.4.1.1 ：构造五个方案的层次分析图如 2-1-1 所示： 五个方案对应评价因素层的数值如表 5-4-1 所示： 5-4-1 方案 C1 C2 C3 C4 C5 B1 617.9603 545.4350 519.8013 5139.8567 431.5006 B2 1 30.7709 160.0602 87.0935 160.0602 5-4-2 5.45.4. .2 2 ：由 2.1 中的数据可得成对比较阵： 11 利用 MATLAB（具体程序见附录）求出三者的最大特征值分别为： =2，1= 5, 2= 5， 都通过了一致性检验，所以三个特征值所对应的归一化特征向量可以作为权向量。 构造矩阵 5.45.4.3.3 ：计算可得第三层对第一层的组合权向量: 从上式可以看出方案二是最为省钱的方案，即选取 AB 联合建站 C 单独建站的方案。 5.5 ：接下来运用 shapley 利益分配原则计算各个厂应该承担的建厂费用，各指标如表 5-5-1 所示 P A A,B A,C A,B,C () 214.012 317.3699 534.7511 591.5666 (/) 0 145.1123 258.836 412.9384 () (/) 214.012 172.2576 257.9191 178.6282 |p|p| 1 2 2 3 (|) 1/3 1/6 1/6 1/3 () (/) (|) 71.3373 28.7096 42.9865 59.5427 5-5-1 由上表所呈现的各个数据综合可得三个厂所应分担的费用为： 12 () = . + . + . + . = .( (万元万元) ) () = . . = .( (万元万元) ) () = .( (万元万元) ) 问题三： 此问题要求说明第二问中所给出的方案的合理性， 我们对各个方案的建造费用直接进行 比较，钱少的就是最优的。 对于给定的三个厂，一共有五种建站的方案： C1C1:A，B,C 厂均单独建站，所需费用 FA+ FB+ FC= f2(4.5) + f2(2.5) + f2(6) = 617.961(万元) C2C2 :A,B 厂联合建站（必须建在处于下游的 B 厂） ，所需费用 FAB= f2(4.5 + 2.5) + f1(20) = 317.3699(万元) 比各自单独建厂节省 41.7544(万元) C3C3 :A,C 厂联合建站（必须建在处于下游的 C 厂） ，所需费用 FAC= f2(4.5 + 6) + f1(60) = 534.7551(万元) 比各自单独建厂节省-61.9071(万元) C4C4 :B,C 厂联合建站（必须建在处于下游的 C 厂） ，所需费用 FBC= f2(2.5 + 6) + f1(40) = 412.9384(万元) 比各自单独建厂节省-8.9901(万元) C5C5 :A,B,C 厂联合建站（必须建在处于下游的 C 厂） ，所需费用 FABC= f2(4.5 + 2.5 + 6) + f1(60) = 591.5666(万元) 比各自单独建厂节省 26.3937(万元) 表 5-5-2 汇总了各个方案节省的建厂费用， 可以很明显的看出方案 2.22.2 为最为合适的方 案。 这验证了我们所建立模型的正确性。 方案号方案号 C1 C2C2 C3 C4 C5 节省的钱节省的钱 0 41.754441.7544 -61.9071 -8.9901 26.3937 5-5-2 6.模型的评价 模型的优点： （1）引入层次分析法可表示建站方案，清晰明确，简洁实用。 （2）利用多元线性回归分析可以得到任意两者之间的关系，从而便于分析，很清楚的 去朝着这个方向去确定模型。 （3）我们利用穷举法可以得到所有可能性的建站方案，避免了对具体建站方案分组方 法的讨论的困难，降低了模型的复杂程度 （4）我们利用 shapley 合作对策，有着公正效益的合理分配。 模型的缺点： 13 层次分析法对于超过 9 个以上的工厂可信度会降低，有一定的局限性。 7.参考文献 1 刘承平 数学建模方法 北京.高等教育出版社 2 姜启源 数学模型 第二版 高等教育出版社 3 叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 长沙湖南教育出版社，1993 附录 （注：以下为此次建模过程在 MATLAB 中的数据） clear all a=1 1031/910 277/233 720/629 865/604; 910/1031 1 383/365 880/871 225/178 ; 233/277 365/383 1 959/996 1195/992; 629/720 871/880 996/959 1 842/673; 604/865 178/225 992/1195 673/842 1; x,y=eig(a) x = 1 至 4 列 0.5173 + 0.0000i 0.6436 + 0.0000i 0.6436 + 0.0000i -0.2819 - 0.1101i 0.4566 + 0.0000i 0.0745 - 0.0906i 0.0745 + 0.0906i 0.6649 + 0.0000i 0.4351 + 0.0000i -0.2016 + 0.5317i -0.2016 - 0.5317i -0.0503 - 0.1610i 0.4519 + 0.0000i -0.2894 - 0.3861i -0.2894 + 0.3861i -0.1949 - 0.3631i 0.3612 + 0.0000i -0.1097 - 0.0611i -0.1097 + 0.0611i -0.1317 + 0.5007i 5 列 -0.2819 + 0.1101i 0.6649 + 0.0000i -0.0503 + 0.1610i -0.1949 + 0.3631i -0.1317 - 0.5007i y = 1 至 4 列 5.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 14 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 5 列 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i b=1 13/400 1/160 11/958 1/160; 400/13 1 119/619 283/801 119/619; 160 619/119 1 1167/635 1; 958/11 801/283 635/1167 1 524/963; 160 619/119 1 963/524 1; X,Y=eig(b) X = 1 至 4 列 -0.0041 + 0.0000i -0.0028 - 0.0061i -0.0028 + 0.0061i -0.0000 + 0.0000i -0.1259 + 0.0000i -0.0755 + 0.0920i -0.0755 - 0.092