分形定价技术一种更有效的权证定价方法.doc

分形定价技术：一种更有效的权证定价方分形定价技术：一种更有效的权证定价方 法法 课题课题研究人：研究人：严严高高剑剑、胡浩、胡浩 报报 送送 单单 位位 ：中信：中信证证券股份有限公司券股份有限公司 内容提要内容提要 权证，是一种特殊的期权。根据不同的标准，权证可以被分成很多 种类。目前中国金融市场为了完成股权分置改革而引入的权证基本上 为备兑权证，不会带来股本稀释效应，是和期权最为相近的一种权证。 权证的价值可以分为内在价值和时间价值。影响权证价值的因素 有标的资产市场价格、行权价格、标的资产市场价格波动率、剩余期 限、无风险利率等。 有效市场假说（Efficient Market Hypothesis, EMH）是现代资本市场 理论体系的重要支柱，也是现代金融经济学的理论基石之一。在有效 市场假说下，标的资产价格变动是个布朗运动。通过偏微分法和鞅定 价方法可以得出权证的 BS 定价公式。本文通过权证 BS 定价公式对 宝钢、鞍钢、钢钒、沪场四支欧式权证进行定价分析发现，市场价格 与 BS 理论价格之间差异很大，BS 定价方法不理想。 BS 定价方法失效的原因一方面是由于中国权证市场初期由于制 度原因，其价格严重背离理论价值，另一方面可能是模型假设存在问 题。本文通过一系列的检验方法发现中国市场收益率正态性假设不成 立，因此有效市场假说不成立。进一步地，通过 R/S 分析发现中国证 券市场具有大于 0.5 的 Hurst 指数。 金融市场很多模型，包括 Black-Scholes 模型和 Merton 模型都是 建立在正态分布和随机游动的假设下的。80 年代以后随着对该假设 质疑的研究的不断出现，很多研究针对股价运动并非随机游走对衍生 证券定价模型做出很多修正。随着是市场实证研究的深入，越来越多 的人意识到有效市场假说不能很好地解释市场，线性范式失灵。 Peters 提出的分形市场假说（FMH）成为有效市场假说的替代物。在分 形市场假说前提下，资本资产定价模型得到了重构，期权等衍生品定 价公式也得到了发展。 通过对宝钢、鞍钢、钢钒三支权证分形定价分析发现在 2006 年权 证市场制度相对完善之后，权证市场价格围绕分形理论价格上下波动。 运用权证分形定价公式对中国权证市场进行估值比运用 BS 定价公 式更加准确，分形定价更加适合中国市场，权证分形定价方法给出的 权证理论价格误差相对更小。 本文通过运用分形定价技术探讨权证定价问题十分有意义，不仅 能够为投资者进行投资选择提供参考，也为可转债定价以及以后出现 的股票期权定价提供指导和参考。2005 年中国证券市场重新引入权 证，建立新兴的权证市场。在这种背景下，本文创造性地选择分形技 术作为定价工具对中国权证市场进行实证分析，不仅充分的体现分形 技术和金融工程学科的发展前沿，还对中国资本市场估值体系的构建 具有重要意义。 目目 录录 1、引言 .4 2、权证定价模型发展 .6 2.1、BS 定价方法的局限 .6 2.2、分形技术的兴起 .7 3、权证分形定价公式及避险参数 .7 3.1、两种定价公式对比 .7 3.1.1、分形布朗运动 .7 3.1.2、欧式认购权证 BS 定价公式 .8 3.1.3、欧式认沽权证 BS 定价公式 .8 3.1.4、欧式认购权证分形定价公式 .8 3.1.5、欧式认沽权证分形定价公式 .9 3.2、分形避险参数 .9 3.2.1、对标的资产价格的依赖关系 .9 3.2.2、对标的资产波动率的依赖关系 .10 3.2.3、对无风险利率的依赖关系 .10 3.2.4、对时刻t依赖关系 .10 3.2.5、对行权价格 K 的依赖关系 .11 3.2.6、对到期日 T 的依赖关系.11 3.2.7、对 Hurst 指数H的依赖关系 .11 4、我国市场正态性检验 .11 5、我国市场的分形结构 .17 6、权证分形定价应用 .19 7、结论与展望 .22 1 1、引言、引言 2005 年中国金融市场最为引人注目的莫过于“金融创新”。ETF 产品、认股权证、资产证券化产品以及即将推出的与股票相关的 期权期货等产品。一系列的产品创新大大丰富了证券市场交易品种， 为投资者提供更多的投资工具。 2005 年 08 月 22 日宝钢权证于上海证券交易所挂牌上市。这是 我国证券市场在阔别数年后迎来的第一个权证产品。 截至 2006 年 3 月 17 日，已上市权证 10 支，已通过审议未上市 权证 5 支，已公布但未审议权证 10 支。其中包括认购权证、认沽权证、 美式权证、欧式权证、百慕大权证等类型。全周权证总成交额逾百亿。 近年来，海外权证市场庞大的交易规模和快速的增长速度说明这 一市场孕育着无限的商机，具有广阔的发展前景。权证出现不仅增加 中国金融市场的交易品种，还会促进金融市场规模的扩大，改变金融 市场的结构。同时也标志着我国证券市场掀开了新的一页金融衍 生品市场的大幕已经拉开。 本次国内权证的引入是作为股权分置改革对价工具。但是伴随着 国内证券市场金融产品创新的深入和国际化进程的加速，权证的投资、 融资、避险功能将不断的突现。基础证券市场的发展壮大也为权证的 引入提供了必要的市场基础。各市场参与主体对权证这一兼具投资、 融资与避险等多重功能的创新产品需求日益增加。 在这种背景下，探讨权证定价问题十分有意义，不仅能够为投资 者进行投资选择提供参考，也为可转债定价以及以后出现的股票期权 定价提供指导。 本文对经典的有效市场假说和最前沿的分形市场假说两种不同 前提下权证定价公式进行对比。并且将它们运用于目前中国权证市场 定价分析，发现经典的权证 BS 定价公式并不适合中国证券市场。通 过对中国证券市场正态性检验，R/S 分析之后发现中国证券市场存在 分形结构。进一步的研究发现运用权证分形定价公式对中国权证进行 定价较为合理。 本文第二部分对权证定价方法进行总结。第三部分对比分析了权 证定价模型与分形定价模型。第四部分对于我国证券市场正态性进行 检验，文中选择了上海证券交易所、深圳证券交易所多个指数日收盘 价作为数据样本进正态性实证检验发现该假设不成立。这也是权证 BS 理论价格与权证市场价格之间存在很大差异的重要原因之一。第 五部分运用 R/S 分析方法对我国证券市场分形结构进行分析，发现 无论是上海证券交易所还是深圳证券交易所各指数都具有大于 0.5 的 Hurst 指数，因此两个市场指数是一种具有长期记忆性的分形结构 而不是随机游走（Hurst 指数 H=0.5 的特殊情形）。最后一部分运用分 形技术对国内市场权证进行定价分析。本文对宝钢、鞍钢、钢钒三支 权证发行以来市场价格、分形理论价格、BS 理论价格进行分析，发现 权证市场价格高于 BS 理论价格很多，而分形理论价格与市场价格比 较相近。权证分形定价方法给出的权证理论价格误差相对更小。从权 证市场价格与权证分形理论价值的比值来看，大多数权证市场价格在 分形理论价格附近波动，其中市场价格与理论价格之比超过 2 的只 有 2 只；市场价格与理论价格之比小于等于 0.5 也只有 1 只。 2 2、权证定价模型发展、权证定价模型发展 如何为衍生工具进行定价在金融领域已经有很长的历史了。早 在 1900 年，法国数学家 Bachelier 在其“Theory of Speculation”一文中 就利用“公平赌博的方法（Fair Game Approach）”得出到期日看涨期权 的预期价格公式并且给出最早的期权回报图，但是他的工作并没有引 起金融界的重视。在其后的半个多世纪中，期权定价理论进展甚微。 直到二十世纪六十年代，以 Sprenkle (1961)看涨期权价格模型、 Samuelson (1965)欧式看涨期权模型为代表的期权定价模型的出现， 标志着期权定价理论新发展的开始。但是这些模型都存在着可套利的 参数（Black and Scholes,1973）。 2.12.1、BSBS 定价方法的局限定价方法的局限 现代期权定价理论最新革命则开始于 1973 年。Fisher Black 和 Myron Scholes（1973）发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文。在一系列严格假设下，作者通过严密的数学推导和 论证，提出 Black-Scholes 模型，成为期权定价理论研究中开创性成果 。在有效市场假说前提下，基于众所周知的无套利定价原理，Black- Scholes 模型和 Merton 模型几乎立即得到学术界和投资界广泛认同， 这在经济科学历史上是空前的 。 Black-Scholes 模型和 Merton 模型的基本原理是在一定条件下期 权的收益可以通过只包括标的资产和无风险资产的动态自融资投资 策略来完全复制。根据无套利原理这个自融资投资策略的初始成本必 须等于期权的价格。这种定价思想和方法被应用到成百上千种其他衍 生证券上。严密的逻辑，优美的形式以及简单的计算使得 Black- Scholes 模型（简称为 BS 方法）在实践应用方面的得到了广泛地采用。 80 年代以前在学术界占有统治地位的是 Bachelier 追随者的有效 市场假说，它符合新古典经济学的理性人假定和理性预期假定，对市 场价格的波动做出一定的解释。金融市场很多模型，包括 Black- Scholes 模型和 Merton 模型都是建立在正态分布和随机游动的假设 下的。 80 年代以后随着对该假设质疑的不断出现，很多研究针对股价 运动非随机游走对衍生证券定价作出很多修正。Merton（1976）提出股 票价格路径应该是一个跳跃扩散过程。为了吻合市场实际的结果,同 时兼顾数学处理上的需要,合适的收益模型应该至少具备以下几个性 质：短时间上收益分布具有比正态分布更厚的尾部,长时间上则趋近 正态分布；描述收益过程的分布与其独立增量族的分布一致。基于以 上考虑，MadanD.B.与 E.Seneta 于 1990 年选择 gamma 过程作为时变 过程来构造时变布朗运动,从而得到相应的资产收益模型。但是在实 际运用中，由于参数估计困难，微分方程求解困难等原因使得这些扩 展模型相比 Black-Scholes 模型而言较少使用。 2.22.2、分形技术的兴起、分形技术的兴起 随着市场实证研究的深入，越来越多的人意识到有效市场假说不 能很好地解释市场，线性范式失灵。Peters(1994)提出的分形市场假说 （FMH）成为有效市场假说的替代物。在分形市场假说前提下，资本资 产定价模型得到了重构（Calvet and Fisher,2002），期权等衍生品定价 公式也得到了发展。 McCulloch（1985）提出稳定分布下的期权定价公式，而 Lin（1995）,Decreusefond and Ustunel（1999）运用路径依赖积分 （Stratonovich 型积分）发展了基于分形布朗运动的期权定价公式。但 是由于分形布朗运动不具备马尔科夫性等特点使得这种积分下分形 布朗运动驱动的市场存在套利。因此人们曾经一度认为分形布朗运动 不适合于金融定价。但是在 Duncan,Hu and Pasik-Duncan(2000),Hu and Oksendal(2000)推导出 Hurst 指数属于（0.5，1）时基于 Wick 算子 的分形布朗运动积分，分形布朗运动开始被广泛应用于金融定价。Hu and Oksendal(2000)证明分形布朗运动假设下市场是无套利的，是完 全的。Hu, Y. and B. Oksendal 等给出了分形布朗运动下欧式看涨期权 的定价公式。 3 3、权证分形定价公式及避险参数、权证分形定价公式及避险参数 3.13.1、两种定价公式对比、两种定价公式对比 3.1.13.1.1、分形布朗运动、分形布朗运动 对于，称连续高斯过程为分形布朗运动，若满 (0,1)H ( ),0 H Bt t 足条件：，且对 ( )0 H E Bt 2221 ( )( ) 2 HHH HH E Bt Bststs 成立。 , t sR 由上述定义知布朗运动是 Hurst 指数时的分形布朗运动。 1/2H 3.1.23.1.2、欧式认购权证、欧式认购权证 BSBS 定价公式定价公式 假定市场满足下列几个条件： （1），市场是无摩擦的；存在卖空机制； （2），市场不存在套利机会； （3），标的资产不支付红利； （4），标的资产交易可以连续进行而且标的资产具有可分割性； （5）存在无风险利率 ； r （6）标的资产价格满足式 t S tttt dSS dtS dB 则行权价格为，到期日为 的欧式认购权证在时刻 ，标的资产 KTt 价格为时的价值为 t S () 12 ( , )()() cr T t tt VV S tS N dKeN d 其中，为标准正态分布 2 1,2 ln(/)(/2)()/ t dSKrTtTt ()N 的累积概率分布函数。 3.1.33.1.3、欧式认沽权证、欧式认沽权证 BSBS 定价公式定价公式 假设条件（1）-（6）成立，行权价格为，到期日为 的欧式认 KT 沽权证在时刻 ，标的资产价格为时的价值为 tt S () 21 ( , )()() pr T t tt VV S tKeNdS Nd 其中，为标准正态分布 2 1,2 ln(/)(/2)()/ t dSKrTtTt ()N 的累积概率分布函数。 3.1.43.1.4、欧式认购权证分形定价公式、欧式认购权证分形定价公式 假设市场满足（1）-（5）条件，而且标的资产价格满足分形布朗运 动： ， ( )( )( )( ) H dS tS t dtS t dBt 0 (0)0SS0tT 则行权价格为，到期日为 的欧式认购权证在时刻 ，标的资产 KTt 价格为时的价值为 t S () 12 ( , ( )( )()() cr T t Vt S tS t N dKeN d 其中，为 22222 1,2 ln( ( )/)()()/2/ HHHH dS tKr TtTtTt ()N 标准正态分布的累积概率分布函数。 3.1.53.1.5、欧式认沽权证分形定价公式、欧式认沽权证分形定价公式 假设市场满足（1）-（5）条件，而且标的资产价格满足分形布朗运 动： ， ( )( )( )( ) H dS tS t dtS t dBt 0 (0)0SS 0tT 则行权价格为，到期日为 的欧式认沽权证在时刻 ，标的资产 KTt 价格为时的价值为 t S () 21 ( , ( )()( )() pr T t Vt S tKeNdS t Nd 其中，为 22222 1,2 ln( ( )/)()()/2/ HHHH dS tKr TtTtTt ()N 标准正态分布的累积概率分布函数。 比较上述公式可以发现分形定价公式中用代替 BS 定价 22HH Tt 公式中的。因此当给定不同的时刻 ，相同的剩余期限限时， TttTt BS 定价公式给出的权证价格相同，而分形定价公式得到的权证价格 是不同的。分形布朗运动不具备马尔科夫性的特点使得权证价值依赖 于时刻 标的资产价格的变化路径。这在某种程度上更好的体现了证 t 券市场的长期记忆性。由于长期记忆性的存在，标的资产价格波动会 受到起初始状态的影响，进而影响到权证等衍生品的价值。权证 BS 定价公式没有反映出这种影响，而权证分形定价公式体现出这种影响。 这也是分形市场假说对市场刻画比有效市场假说更加合理的表现之 一。 3.23.2、分形避险参数、分形避险参数 根据权证分形定价公式可知，影响欧式权证价格的因素有七个： 标的资产价格 ，行权价格，无风险利率 ，到期期限 ，时刻 ，标 SKrTt 的资产波动率，Hurst 指数。 H 3.2.13.2.1、对标的资产价格的依赖关系、对标的资产价格的依赖关系 1 ()0 c c t t V DeltaN d S 1 ()0 p p t t V DeltaNd S 当标的资产价格上升时，认购权证价格上升，认沽权证价格下降。 2 22 1 11 2 ()()/ cc cHH t t ttt Vd GammaN dN dSTt SSS 2 22 1 11 2 ()()/ pp pHH t t ttt Vd GammaNdNdSTt SSS 3.2.23.2.2、对标的资产波动率的依赖关系、对标的资产波动率的依赖关系 22 1 ()0 cp cpHH tt t VV VegaS N dTt 认购权证认沽权证价值均随标的资产波动率上升而上升。 3.2.33.2.3、对无风险利率的依赖关系、对无风险利率的依赖关系 () 2 ()()0 c cr T t t V RhoK Tt eN d r () 2 ()()0 p pr T t t V RhoK Tt eNd r 无风险利率上升，认购权证价格上升，认沽权证价格下降。 3.2.43.2.4、对时刻、对时刻 依赖关系依赖关系 t ()21 1 2 22 () () cr T tH t HH S N d ThetarKeN dHt Tt ()21 1 2 22 () () pr T tH t HH S Nd ThetarKeNdHt Tt 3.2.53.2.5、对行权价格、对行权价格 K K 的依赖关系的依赖关系 () 2 ()0 c cr T t t V eN d K () 2 ()0 p pr T t t V eNd K 对于不同行权价格，越大认购权证价值越小，认沽权证价值 KK 越大。 3.2.63.2.6、对到期日、对到期日 T T 的依赖关系的依赖关系 cc c tt VV Tt pp p tt VV Tt 3.2.73.2.7、对、对 HurstHurst 指数指数的依赖关系的依赖关系 H () 12 12 ()() c r T t t ddV S N dKeN d HHH () 12 12 ()() p r T t t ddV S NdKeN d HHH 其中 22 1 22223 ln/() ()(lnln ) 2() HH t HHHH SKr Ttd TTtt H TtTt 22 2 22223 ln/()3 ()(lnln ) 2() HH t HHHH SKr Ttd TTtt H TtTt 4 4、我国市场正态性检验、我国市场正态性检验 本文选择了上海证券交易所、深圳证券交易所多个指数日收盘价 作为数据样本进正态性实证检验。设第 日的对数收益率为 ，则 tt r ，其中为第 日收盘价格。 1 lnln ttt ppr t p t 从图 1 至 10 知，无论是上海交易所还是深证交易所日收益直方 图与正态分布曲线之间存在差异。相对于正态分布，日收益直方图明 显的表现出“尖峰”和“厚尾”态势。在均值附近聚集了大量的样本，而 在两侧尾部仍散落着一些不可忽视的样本。尤其是以 2003/3/21 2006/3/21 三年数据作分析时这种态势更为明显。因此股票资产收益 率的正态性得到一定的质疑。 进一步地，对所研究四支权证的标的股票收益率绘制直方图（见 附图 至图 ）发现其收益率分布与正态分布曲线之间也存在差异，而 其差异比市场指数收益率和正态分布间的差异更显著。其中钢钒和沪 场两支认沽权证的标的资产收益率分布与正态分布间的差异尤其突 出。 Jarque-Bera 检验方法可以用来检验股票收益率正态性。对不同 时间段、不同股票资产和市场指数收益率的 JB 检验结果如表 1。由 表 1 结果知，所有的样本序列均无法通过 JB 检验。从偏度来看，所有 指数均呈右偏，而沪场，钢钒有显著的左偏。从峰度来看，均呈尖峰态 势。各个 JB 检验统计量均远大于 1%，5%对应的临界点，尾概率接近 零，拒绝收益序列服从正态分布的零假设。 表 1：收益率 JB 检验结果 收益序列均值方差偏度峰度JB 统计量尾概率 分析时间段：2003/3/21-2006/3/21 上证指数-0.0001750.01260.67515.4898242.32680.0000 上证综指-0.0002130.01410.49984.459294.50320.0000 上证 A 指-0.0001700.01250.67665.5049244.85290.0000 深证综指-0.0003780.01320.43344.8957131.15800.0000 深证成指0.0001720.01350.55975.1451176.85900.0000 深证 A 指-0.0004070.01330.42674.9104132.25630.0000 宝钢-0.0002170.0177-0.597110.21871617.2170.0000 鞍钢0.0005430.02300.08115.2713156.63600.0000 沪场0.0001910.0222-5.591178.3735175396.10.0000 钢钒 -0.0005550.0282-11.115230.20515743400.0000 分析时间段：2005/3/21-2006/3/21 上证指数0.0002060.01300.84227.7554257.69440.0000 上证综指0.0004920.01420.52695.796790.43340.0000 上证 A 指0.0002040.01300.85007.8460267.03110.0000 深证综指0.0000560.01420.46135.692782.02690.0000 深证成指0.0001440.01430.75776.8188170.90730.0000 深证 A 指0.0000640.01430.45485.732383.96610.0000 宝钢-0.0014930.0175-2.106019.15142820.9160.0000 鞍钢-0.0002390.02450.04086.137699.74310.0000 沪场-0.0013500.0263-5.710672.371950046.900.0000 钢钒 -0.0012530.0412-10.699149.927223208.70.0000 从一年数据和三年数据对比来看，除上证 A 指、深证成指外各指 数偏度和峰度变化较小，而上证 A 指、深证成指一年数据比三年数据 更加右偏，峰度更尖。 对不同时间段、不同收益序列运用单样本 Kolmogorov-Smirnov 过程进行检验，可得结果如表 2 至 5。表 2 表 3 中 2003/3/21- 2006/3/21 三年数据检验结果表明,所有的统计量均较大，在 5%的显 著性水平下可以拒绝原假设，认为所有的收益序列均不服从正态分布。 但在 1%显著性水平下，无法拒绝上证综指，深证综指，深证 A 指收 益率服从正态分布的假设。 表 2：各指数三年数据 KS 检验结果 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 725725725725725725 -.00040718.00017180-.00037848-.00017029-.00021318-.00017461 .01327131.01347128.01323958.01256410.01406180.01256211 .054.066.053.070.052.070 .054.066.053.070.052.070 -.024-.034-.028-.025-.024-.025 1.4501.7901.4291.8961.3901.889 .030.003.034.002.042.002 N Mean Std. Dev Normal Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) 上上A上上上上上上上上上上上A上上上上上上上上上 Test distribution is Normal. a. Calculated from data. b. 表 3：各标的股票三年数据 KS 检验结果 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 725725725725 -.00055461.000543408-.00021681.00019115 .028207768.0230275919.01771447.022203728 .132.069.084.123 .124.069.084.097 -.132-.056-.084-.123 3.5441.8572.2643.304 .000.002.000.000 N Mean Std. Dev Normal Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) G上上G上上G上上G上上 Test distribution is Normal. a. Calculated from data. b. 表 4 表 5 中 2005/3/21-2006/3/21 一年数据检验结果表明在 1% 显著水平下，无法拒绝任何一个市场指数收益率服从正态分布的假设。 但是却可以拒绝四支权证标的股票收益率服从正态分布的假设。在 5%显 著水平下，仍旧无法拒绝深证 A 指收益率服从正态分布的假设。 表 4：各指数一年数据 KS 检验结果 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 243243243243243243 .00006387.00014358.00005641.00020416.00049173.00020596 .01427907.01426210.01424133.01299569.01415272.01303001 .052.066.052.055.062.055 .052.066.052.053.062.053 -.046-.043-.050-.055-.047-.055 .8131.028.816.852.970.858 .523.241.518.462.304.453 N Mean Std. Dev Normal Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) 上上A上上上上上上上上上上上A上上上上上上上上上 Test distribution is Normal. a. Calculated from data. b. 表 5：各标的股票一年数据 KS 检验结果 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 243243243243 -.00149302-.000238742-.00134993-.00125343 .01749125.0244719555.026282323.04124792 .149.091.156.222 .111.089.144.199 -.149-.091-.156-.222 2.3211.4152.4283.465 .000.036.000.000 N Mean Std. Dev Normal Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) G上上G上上G上上G上上 Test distribution is Normal. a. Calculated from data. b. 综上所述，单支股票收益率的正态假设不成立。这也是权证 BS 理论价格与权证市场价格之间存在很大差异的重要原因之一。因此运 用有效市场假说下权证 BS 定价公式对中国权证进行定价分析可能 存在一定问题。 图 1：上证指数收益率直方图 图 2：上证综指收益率直方图 图 3：上证 A 指收益率直方图 图 4：深证综指收益率直方图 图 5：深证成指收益率直方图 图 6：深证 A 指收益率直方图 图 7：宝钢收益率直方图 图 8：鞍钢收益率直方图 图 9：钢钒收益率直方图 图 10：沪场收益率直方图 5 5、我国市场的分形结构、我国市场的分形结构 自去年宝钢权证发行以来，我国权证市场价格与 BS 理论价格之 间存在很大差异，其中市场正态性的不满足是重要原因之一。附录中 给出了我国证券市场正态性检验的实证结果。这部分，讨论市场的分 形结构。 分形市场假说下，标的股票价格变动满足微分方程： ( )( )( )( ) H dS tS t dtS t dBt 其中为分形布朗运动，而，和 Hurst 指数都是需要估 ( ) H Bt H 计的参数。Hurst 指数，最早由英国水文学家 H.E.Hurst 提出来。 H Hurst 1951 提供了重标极差法，即 R/S 分析用于区分分形序列。经过 Mandelbrot、Wallias、Matalas、Peters 等的一系列精心提炼，该方法已 经成为研究随机结构和非随机结构之间的统计结构的重要方法。通 过 R/S 分析可以计算出 Hurst 指数，判断状态的持续性。 Hurst 在研究水库存储能力的水流入量和流出量序列时发现， (/ ) H l R SCl 其中，为序列重标极差， 为时间区间长度，为常数，为 /R SlCH Hurst 指数。 两边去对数可得 。 ln(/ )ln( )ln( ) l R SCHl 因此只需要计算出不同时间区间长度 对应下的重标极差 l 之后就可以利用回归分析来计算 Hurst 指数了。 (/ )lR S 表 6：Hurst 指数估计结果 分析时间段：2003/3/21-2006/3/21 HStd.ErrTSig.RFSig. 上证指数.618.004149.159.000.99222248.35.000 上证综指.586.004134.139.000.99017993.16.000 上证 A 指.620.004149.189.000.99222257.45.000 深证综指.629.003180.388.000.99532521.97.000 深证成指.551.00699.992.000.9839998.336.000 深证 A 指.637.003185.345.000.99534352.68.000 宝钢.712.004169.453.000.99016757.96.000 鞍钢.653.003205.193.000.99642104.32.000 钢钒 .530.00690.421.000.9808175.899.000 沪场.447.00589.311.000.9797976.429.000 分析时间段：2005/3/21-2006/3/21 上证指数.669.00971.009.000.9895042.258.000 上证综指.618.00874.055.000.9905484.135.000 上证 A 指.669.00971.192.000.9895068.361.000 深证综指.696.01068.074.000.9884634.021.000 深证成指.691.00885.498.000.9937309.886.000 深证 A 指.695.01068.537.000.9884697.347.000 宝钢.688.01151.550.000.9822657.435.000 鞍钢.645.01348.507.000.9802352.890.000 钢钒 .561.00960.991.000.9873719.895.000 沪场.466.01238.833.001.9802395.663.000 由表 6 知，无论是上海证券交易所还是深圳证券交易所各指数都 具有大于 0.5 的 Hurst 指数，因此两个市场指数是一种具有长期记忆 性的分形结构而不是随机游走（Hurst 指数的特殊情形）。分形 0.5H 结构也从另外一个方面说明了正态假设不成立。这和国内很多 0.5H 有关中国证券市场有效性以及其分形结构研究得出的结论是一致的。 2005/3/21-2006/3/21 数据表明过去一年来看沪市、深市大致分 别有，得分形结构。而从 2003/3/212006/3/21 三年数 0.66H 0.69H 据看，两个市场的分形结构都在附近。这和国内很多研究是一 0.61H 致的，中国证券市场具有附近的分形结构，即具有长期记忆性。 0.6H 虽然选择不同的样本数据段对市场指数的 R/S 分析得到的 Hurst 指 数可能存在一定的差异，但是对单支股票而言，不同数据段 R/S 分析 结果相对稳定。 其中沪场 Hurst 指数，说明沪场收益率具有反持续性。这 0.5H 可能是沪场权证市场价格低于 BS 定价公式给出的理论价值的重要 原因。 6 6、权证分形定价权证分形定价应用应用 选择宝钢、鞍钢、钢钒的 Hurst 指数估计值分别为 0.7，0.65，0.55。运用分形定价公式对三支权证发行日进行定价分析， 其结果见表 17。 表 7 表明，在发行日宝钢权证、鞍钢权证市场价格高于分形理论 价格，而钢钒权证市场价格低于分形理论价格。不过除了宝钢权证外， 其他两支权证式行价格与理论价格之间差异很小。因此权证分形定价 公式对三支权证发行日的定价还是比较准确的。 从值看，钢钒权证值对标的股票价格依赖程度相对 GammaDelta 较大；从值来看，鞍钢权证对标的股票价格波动率依赖程度相对 Vega 较小，宝钢权证较大；从值看钢钒权证对无风险利率的依赖程度 Rho 较大，而鞍钢权证较小；从值看钢钒权证对到期日的依赖较小， Theta 宝钢权证对到期日的依赖较大。 从总体看，鞍钢权证对标的资产波动率、无风险利率、到期日等 依赖程度较适中，而且其对标的股票价格的依赖程度也较小， Delta 对冲时不需要频繁调整投资组合。 Delta 表 7：发行日三支权证分形定价分析 权证代码SH580000SZ030001SZ038001 权证名称宝钢 JTB1鞍钢 JTC1钢钒 PGP1 权证类型欧式认购欧式认购欧式认沽 发行日06.8.2205.12.505.12.5 到期日06.8.3006.12.507.5.3 存续期 (年) T 1.02411.5 现在时刻 （年） t 000 行权价（元）4.503.604.85 发行日标的股票价格(元)4.634.213.30 发行日权证市场价格(元)1.2631.6082.111 权证分形理论价格(元)1.6971.6932.042 Delta0.69500.7406-0.4177 Gamma0.08350.08680.1104 Vega1.6491.36401.6432 Rho1.55761.3640-5.6697 Theta-0.0342-0.0321-0.0205 由图 11 至 13 可看出，分形理论价格与权证市场价格拟合得较好， 尤其是宝钢权证发行 100 个交易日以后，鞍钢和钢钒发行 30 交易日 以后。这说明在中国权证市场推出实时创设制度，市场机制逐步完善， 权证市场价格回归之后，通过权证的分形定价公式对其估值是比较合 理的。 图 11：宝钢权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图 0 0.5 1 1.5 2 2.5 115294357718599113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 权证分形价格权证BS价格权证实际价格 图 12：鞍钢权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图 0 1 2 3 4 5 1112131415161718191101 111 121 131 141 151 161 171 权证分形价格权证BS价格权证实际价格 图 13：钢钒权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图 0.5 1 1.5 2 1112131415161718191101 111 121 131 141 151 161 171 FBM价值BS价值市场价格 图 14 反映了三支权证分形理论价格对 Hurst 指数的敏感性。可 以看出随着 Hurst 指数的上升其分形理论价格不断上升，但总体上敏 感性较低。其中鞍钢对 Hurst 指数的敏感性最低，因此 Hurst 指数的 选择对其定价影响不是很大。而宝钢权证对 Hurst 指数敏感性最高。 因此与两种情形下权证理论价值会存在较大差异。而前 0.5H 0.5H 者正好是其分形理论价格，后者为 BS 理论价格。因此对于宝钢这种 对 Hurst 指数敏感性较高的权证，当市场存在分形结构时，运用 BS 定价公式进行定价分析会严重低估其价值。根据分形理论价格与 Hurst 指数负相关的关系可知沪场权证 BS 定价公式给出的理论价格 低于其市场价格的原因就是未考虑沪场的 Hurst 指数小于 0.5 的分形 结构。 图 14：三支权证分形理论价格对 Hurst 指数的敏感性 0.8 1.3 1.8 2.3 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 Hurst指数 权证分形理论价值 宝钢鞍钢钢钒 从权证市场价格与权证分形理论价值的比值来看，大多数权证市 场价格在分形理论价格附近波动，其中市场价格与理论价格之比超 过 2 的只有 2 只；市场价格与理论价格之比小于等于 0.5 也只有 1 只。 表 8：权证分形估值（2006-08-25） 权证名称权证价格 分形理论 价值 权证价格/ 理论价值 Hurst 指数 标的历史 波动率到期日 武钢 JTB10.640.135.100.5130%2006-11-22 包钢 JTB10.890.631.410.6048%2007-3-30 邯钢 JTB11.391.311.060.5949%2007-4-4 首创 JTB11.771.241.430.6440%2007-4-23 万华 HXB110.628.241.290.5750%2007-4-26 雅戈 QCB12.972.261.310.5546%2007-5-21 长电 CWB1 2.701.671.620.5830%2007-5-24 鞍钢 JTC11.082.170.500.6541%2006-12-5 五粮 YGC16.996.561.070.5656%2008-4-2 武钢 JTP10.550.331.650.5130%2006-11-22 机场 JTP11.100.601.810.5