高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课件 .ppt

第六节简单的三角恒等变换,【知识梳理】1.半角公式,2sin2,2cos2,2,2.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+)，其中sin=,cos=.,【考点自测】1.(思考)给出下列命题：当是第一象限角时，；对任意角，都成立；半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的；公式中的取值与a,b的值无关；函数y=sinx+cosx的最大值为2.其中正确的是()A.B.C.D.,【解析】选C.错误.在第一象限时，在第一或第三象限.当在第一象限时，,当在第三象限时，错误.此式子必须使tan有意义且1+cos0.即k+且2k+,即(2k+1)(kZ).正确.由半角公式推导过程可知正确.错误.由可知的取值与a,b的值有关.错误.故其最大值为.,2.已知(，2)，则cos等于()【解析】选B.因为(，2)，所以所以,3.化简等于()A.sinB.cosC.sinD.cos【解析】选C.,4如果，且sin那么【解析】选D.因为所以cos，而,5.函数ycos4xsin4x的最小正周期为_【解析】ycos4xsin4x答案：,6.(2014湖州模拟)若则_.【解析】答案：2014,考点1利用三角恒等变换化简求值【典例1】(1)已知450540，则的值是()(2)化简：sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2_.,【解题视点】(1)利用倍角公式化简.(2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.,【规范解答】(1)选A.原式因为450540，所以225270.所以原式sin.故选A.,(2)方法一:(从“角”入手，复角单角)原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.,方法二:(从“名”入手,异名化同名)原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2(sin2+cos2),方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式=,方法四:(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)-2cos2(+)-1=.答案：,【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂.提醒:在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值.(2)尽量使函数种数最少.(3)尽量使项数最少.(4)尽量使分母不含三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.,【变式训练】化简:【解析】原式因为0,所以,所以所以原式=-cos.答案：-cos,【加固训练】1.化简：【解析】原式答案：,2.化简：【解析】原式答案：,考点2三角恒等变换在实际问题中的应用【典例2】如图,现要在一块半径为1m,圆心角为的扇形报纸AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M，N在OB上,设BOP,平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的角.,【解题视点】虽然P点变化但OP不变，通过构造与角所在的直角三角形，将平行四边形的底和高用角表示，从而求出S关于的函数关系式，进而求解相关问题.,【规范解答】(1)分别过P，Q作PDOB于D，QEOB于E，则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m，得PD=sin,OD=cos.在RtOEQ中,OE=QE=PD,MN=QP=DEODOEcossin,S=MNPD=(cossin)sin=sincossin2,(0,).,(2)S=sin2(1cos2)=sin2+cos2=sin(2+),因为所以当=时，Smax=(m2).,【互动探究】在本例中若点M与O重合，图形变为下图，记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,【解析】如图，过P作PDOB于D，则由扇形半径为1m，得PD=sin，OD=cos,在RtPND中,因为PND=AOB=,所以ONODNDcossin,S=ONPD=(cossin)sin=sincossin2=sin2(1cos2)=sin2+cos2=sin(2+)，因为(0,)，所以2+()，sin(2+)(,1.当=时,Smax=(m2).,【易错警示】关注变量的范围本例在求解时容易忽略的范围而直接求最值，导致错解，在解决实际问题时，要关注变量的范围，否则容易出错.,【规律方法】三角函数应用题的处理方法(1)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.,【变式训练】(2014吉安模拟)已知直线l1l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,则ABC面积的最小值为.,【解析】如图，设ABD，则CAE，所以SABCABAC(0).当2，即时，SABC的最小值为h1h2.答案：h1h2,【加固训练】1.(2014台州模拟)如图，已知四边形ABCD中ABCD，ADAB，BPAC，BP=PC，CDAB，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是()A.AB与ADB.AB与BCC.BD与BCD.AD与AP,【解析】选D.设AB=a,CAB=,则AP=acos,PC=BP=asin,AC=a(cos+sin),AD=ACsin=a(cos+sin)sin,CD=ACcos=a(cos+sin)cos，因为CDAB,故cos2+sincos1，即sin（2+）,即，故0.A选项：假设AB=AD，则有sin2+sincos=1,即，无解.,B选项：假设AB=BC，则有sin=1,则sin=，无解.C选项：假设BD=BC，则有sin即1+2sin3cos=sin2，无解.D选项：假设AD=AP，则有sin2+sincos=cos,令f()=sin2+sincos-cos=则f(0)=-10,故必存在0使得:f(0)=0，故AD与AP可能重合.D选项正确.,2.(2013三亚模拟)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B,C两点在圆弧上，OE是POQ的平分线，连接OC，记COE=，问：角为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积.,【解析】设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在RtONC中，CN=sin,ON=cos.所以MN=ONOM=cossin，即AB=cossin,所以BC=2CN=2sin,故S矩形=ABBC=(cossin)2sin=2sincos2sin2=sin2(1cos2)=sin2+cos2=2sin（2+）.因为0,所以02,2+,故当2+=,即=时，S矩形取得最大值，此时S矩形=2.,考点3三角恒等变换在研究图象性质中的应用【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.,高频考点通关,【典例3】(1)(2013湖北高考)将函数y=cosx+sinx(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()(2)(2014杭州模拟)若函数f(x)=则函数f(x)是()A.周期为的偶函数B.周期为2的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为的奇函数,【解题视点】(1)将函数化为y=Asin(x)的形式再求解.(2)降幂将角统一再化为y=Asin(x)的形式后进行判断,【规范解答】(1)选B.由已知当m=时，平移后函数为y=2sin(x+)=2cosx，其图象关于y轴对称，且此时m最小.(2)选D.f(x)=因此f(x)的周期T=，且f(x)是奇函数.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】1.(2014舟山模拟)函数f(x)=sin2x-4sin3xcosx(xR)的最小正周期为()【解析】选C.f(x)=sin2x-4sin3xcosx=2sinxcosx-4sin3xcosx=2sinxcosx(1-2sin2x)=sin2xcos2x=sin4x，所以函数f(x)的最小正周期,2.(2014郑州模拟)已知函数f(x)=则f(x)()A.周期为,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2，且图象关于点(,0)对称C.周期为2,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2，且图象关于x=对称,【解析】选B.f(x)=,因为xR,所以所以-1sin(x-)1,则f(x)的最大值为2.因为=1,所以周期T=2.当x-=k(kZ)时，f(x)图象关于某一点对称，所以当k=0时，求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称，故选B.,3.(2013新课标全国卷)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cos=.【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+)，其中tan=-2，当x+=2k+时，函数f(x)取得最大值，即=2k+-.所以cos=cos(-)=sin，又因为tan=-2，在第四象限，所以sin=-，即cos=-.答案：-,4.(2013温州模拟)函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2，最小值-1，则实数(ab)2的值为_.【解析】y=acos2x+bsinxcosx所以所以a=1,b2=8，所以(ab)2=8.答案：8,【加固训练】1.(2014泰安模拟)已知函数f(x)=sinx-cosx，xR，若f(x)1，则x的取值范围为(),【解析】选B.根据题意，得f(x)2sin(x-)，f(x)1，所以2sin(x-)1，即sin(x-)，由图象可知满足解得2kx2k(kZ),2.(2013南宁模拟)设a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，c=.则a，b，c按从小到大的顺序排列为【解析】a=sin14+cos14=sin59，b=sin16+cos16sin61，csin60.因为596061，所以sin59sin60sin61，所以acb.答案：acb,3.(2011上海高考)函数的最大值为.【解析】故函数的最大值是答案：,4.(2012北京高考)已知函数f(x)=(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递减区间.,【解析】(1)由sinx0，得xk,kZ，所以定义域为x|xk,kZ.f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=所以最小正周期T=.,【规范解答3】三角变换在研究三角函数中的应用【典例】(14分)(2013陕西高考)已知向量a=(cosx,),b=(sinx,cos2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在上的最大值和最小值.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成(1)f(x)=ab=cosxsinxcos2x2分=sin（2x）,5分最小正周期T