高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件文.ppt

文数课标版,第三节导数与函数的极值与最值,1.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,教材研读,(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点,答案C设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0,f(x)为增函数,当x1x0;当x0),f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-(a0),由f(x)=0,解得x=a.当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna.,考点一运用导数研究函数的极值典例1(2016广西桂林、崇左联考)设a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处切线的斜率;(2)求函数f(x)的极值.解析(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=2时,f(x)=x-3+,曲线y=f(x)在点(3,f(3)处切线的斜率为f(3)=.(2)f(x)=x-(a+1)+=.由f(x)=0得x=1或x=a.若00,函数f(x)单调递增;,考点突破,当x(a,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增.当x=a时,f(x)取极大值f(a)=-a2-a+alna,当x=1时,f(x)取极小值f(1)=-a-.若a1,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(1,a)时,f(x)0,函数f(x)单调递增.当x=1时,f(x)取极大值f(1)=-a-;当x=a时,f(x)取极小值f(a)=-a2-a+alna.若a=1,当x0时,f(x)0,函数f(x)单调递增,没有极值点.,综上,当01时,f(x)的极大值为-a-,极小值为-a2-a+alna;当a=1时,f(x)没有极值.方法技巧运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f(x);求方程f(x)=0的根;检查f(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右符号相同,则此根处不是极值点.,1-1若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为()A.B.C.D.,答案D若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f(x)=3x2-4cx+1=0有两个不相等的实根,故=(-4c)2-120,从而c或c-.,1-2(2016黑龙江哈三中期末)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为()A.15B.16C.17D.18,答案Dx=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,即x=2是f(x)=3x2-3a=0的根,将x=2代入得a=4,所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2,则由3x2-12=0,得x=2,故函数在(-2,2)上是减函数,在(-,-2),(2,+)上是增函数,由此可知当x=-2时函数f(x)取得极大值f(-2)=18.,考点二运用导数研究函数的最值典例2(2016甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解析(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的变化情况如下表:,所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即10,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等价于lna+a-11时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).,考点三函数的极值与最值的综合问题典例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,当x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.由曲线y=f(x)在点x=1处的切线l的斜率为3,可得31+2a+b=3,当x=时,y=f(x)有极值,则f=0,即3+2a+b=0,由,解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,得c=5.,(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=.f(x),f(x)的取值及变化情况如下表:,所以y=f(x)在-3,1上的最大值为13,最小值为.,方法技巧1.当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点;,2.极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.,3-1已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.解