概率论 王松桂 第一章 课后习题解答.pdf

第一章第一章 随机事件随机事件 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故, 7 , 6 , 5 1 ； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解： 2 2,3,4,12 ； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以, 2 , 1 , 0 3 ； (4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： 4 ,15, ,1,2,3,4,5. ;i jiji j (5) 检查两件产品是否合格; 解：用 0 表示合格, 1 表示不合格，则 1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 0 5 ； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2); 解：用x表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： y 61 , x y TxyT 2 ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解： 7 02xx ； (8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解： 8 ,0,0,x y xyxyl 。 1.2 设 A，B，C 为三事件, 用 A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; CAB； (2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生;)(CB； A (3) A,B,C 中至少有一个发生; CB； A (4) A,B,C 中恰有一个发生;CBACBACBA； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC； ACAB (6) A,B,C 中至多有一个发生;CBCABA或ABACBC； (7) A,B,C 中至多有两个发生;ABC； (8) A,B,C 中恰有两个发生.CABCBABCA ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 1.3 设样本空间20xx, 事件A=15 . 0xx,0.81.6Bxx 具体写出下列各事件： (1) AB; (2) BA ; (3) BA; (4) BA （1）AB0.81xx； (2) BA=8 . 05 . 0xx； (3) BA=00.50.8xxx2; (4) BA=00.51.6xxx2 1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(BPAPABPBAPAP, 并说明理由. 解：由于故),(,BAAAAB)()()(BAPAPABP，而由加法公式，有： )()(BPAP)(BAP 从而，有()( )()P ABP AP AB( )( )P AP B. 1.7 若 W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且 P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛; (2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛. 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： 175. 0)()()()(WEPEPWPEWP (2) 因为W=WE WE ，且()()WE WE，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1 . 0)()()(PWEPWPEW (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为： ()()1()0.825P W EP WEP WE . 1.8 设 A 与 B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下 P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下 P(AB) 取到最小值? 最小值是多少? 解：(1) 由于，故BABAAB,),()(),()(BPABPAPABP显然当时 P(AB) 取到最大值。 最大值是 0.6. BA (2) 由于)()()()(BAPBPAPABP 1) B 。因为 P(A) = 0.6，P(B) = 0.8，于是，当 时，P(AB) 取到最小值，最小值是 0.4. (AP 1.9 设 P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率. 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0. 至少有一个发生的概率为：CBA, )(7 . 0)()()()()()()(ABCPACPBCPABPBPAPCBAPCP 1.10 计算下列各题： (1) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求 P(AB); (2) 设 P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求 P(AB); (3) 设 P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求 P(B)。 解： （1）法一：通过作图，可以知道，3 . 0)()()(BPBAPBAP； 法二：由于AABAB且()()AB AB，()( )(P ABP AP AB)，从而，有 ()( )( )()( )()P ABP AP BP ABP BP AB， 于是，3 . 0)()()(BPBAPBAP （2）6 . 0)()(1)(1)(BAPAPABPABP （3）()()1()1 ( ( )( )()P ABP ABP ABP AP BP AB 于是有， ()1( )( )(P ABP AP BP AB ) ( )1( )0.7P BP A 1.11 把 3 个球随机地放入 4 个杯子中， 求有球最多的杯子中球数是 1， 2， 3 概率各为多少？ 分析：用表示事件“杯中球的最大个数为 个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有 种，每种放法等可能。 i A 4 4 4 ii 64 对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种，故 1 A 8 3 )( 1 AP (选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)。 对事件：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4 种)，故 3 A 16 1 )( 3 AP。 16 9 16 1 8 3 1)( 2 AP 解：设=杯中球的最大个数为 个， =1,2,3。 i Aii 3 4 1 3 3 () 48 A P A ， 16 1 )( 3 AP， 16 9 16 1 8 3 1)( 2 AP。 1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为 3; 4; 5 的概率各是多少? 分析：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现点数和为 “3”对应两个基本事件（1，2） ， （2，1） 。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为 18 1 。 同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4，5 的概率各是 9 1 , 12 1 。 解：设=前后两次出现的点数之和为 ， i Ai3,4,5i 。 3 A=（1，2） ， （2，1），=（1，3） ， （3，1） ， （2，2）， 4 A 5 A=（2，3） ， （3，2） ， （1，4） ， （4，1） 3 21 () 6 618 P A ， 4 31 () 6 612 P A ， 5 41 () 6 69 P A 。 1.13 在整数0,中任取三个数, 求下列事件的概率： 1,2,9 (1) 三个数中最小的一个是 5; (2) 三个数中最大的一个是 5. 分析：从 10 个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为 120。 120 3 10 C (1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法有 6 2 4 C种，故所求概率为 20 1 。 (2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法 有种，故所求概率为10 2 5 C 12 1 。 解：设A=三个数中最小的一个是 5，B=三个数中最大的一个是 5 2 4 3 10 1 ( ) 20 C P A C ， 2 5 3 10 1 ( ) 20 C P B C 1.14 12 只乒乓球中有 4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这 12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：设=取到两只黄球，=取到两只白球，=取到一只白球, 一只黄球， 1 A 2 A 3 A 则, 11 1 66 6 )(, 33 14 66 28 )( 2 12 2 4 2 2 12 2 8 1 C C AP C C AP 33 16 )()(1)( 213 APAPAP。 注意：也可以这样求解： 3 ()P A 11 84 3 2 12 16 () 33 C C P A C 。 1.15 已知，4 . 0)(, 7 . 0)(BPAP5 . 0)(BAP, 求).)(BBAP 解： )( )()( )( )( )( BP BBABP BP BBAP BBAP 由于0)(BBP，故5 . 0 )( )()( )( )( )( BP BAPAP BP ABP BBAP 1.16 已知,4 . 0)(, 6 . 0)(BPAP5 . 0)(BAP。 计算下列二式： (1) );(BA（2）P);(BAP 解： （1）; 8 . 05 . 04 . 01)()(1)()()()(BAPBPABPBPAPBAP （2）()( )( )()1( ) ()0.80.4 0.50.6;P ABP AP BP ABP B P A B 注意：因为5 . 0)(BAP，所以5 . 0)(1)(BAPBAP。 1.17 一批产品共 20 件, 其中有 5 件是次品, 其余为正品。现从这 20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率： (1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品. 解：用表示事件“第i次取到的是正品” （ i A3 , 2 , 1i） ，则 i A表示事件“第i次取到的是次 品” （） 。3 , 2 , 1i 112) ()P A 121 153314 , () 204419 P AP A AP A A 21 38 () (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： 312 5 () 18 P A A A 。 (2) 事件“第三次才取到次品”的概率为： 123121312 1514535 ()() () () 201918228 P A A AP A P A A P A A A (3) 事件“第三次取到次品”的概率为： 3123123123123 ()()()()()P AP A A AP A A AP A A AP A A A= 4 1 注意：此题要注意区分事件（1） 、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再 例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第i次取到的是正品” （） ， 则事件 “在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品” 的概率为： i A 2 , 1i1)( 12 AAP； 而事件“第二次才取到次品”的概率为： 2 1 )()( 1221 AAPPAAP( 1 A。区别是显然的。 1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共 14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二 批有 10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二 箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。 解 ： 设= 在 第 一 箱 中 取 出 两 件 产 品 的 次 品 数i ， i A0,1,2i 2112 1222 012 222 1414 66241 (), (), (), 919191 CCCC P AP AP A CCC 12 14 设B=从第二箱中取到的是次品， 0 1 () 12 P B A ， 1 2 () 12 P B A ， 2 3 () 12 P B A ， 根据全概率公式，有： 28 3 )()()()()()()( 221100 ABPAPABPAPABPAPBP 1.19 一等小麦种子中混有 5%的二等种子和 3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长 出的穗有 50 颗以上麦粒的概率分别为 50%, 15% 和 10%。假设一、二、三等种子的发芽率 相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有 50 颗以上麦粒的概率. 解：设=所用小麦种子为 等种子， i Ai1,2,3i， 123 ()0.92, ()0.05, ()0.03,P AP AP A B表示事件“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒” ， 1 ()0.P B A 5， 2 ()0.15P B A， 3 ()0P B A.1， 根据全概率公式，有： 4705. 0)()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 1.20 设男女两性人口之比为 51 : 49, 男性中的 5% 是色盲患者, 女性中的 2.5% 是色盲患者. 今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。 解：设 A=男性，则A=女性，由已知条件，显然有： ( )0.51P A ，( )0.49P A 设B=色盲，由题意， 又可得： ()0.05, ()0.025,P B AP B A 根据贝叶斯公式，所求概率为： 151 102 )()()()( )()( )()( )( )( )( )( ABPAPABPAP ABPAP BAPABP ABP BP ABP BAP 1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为 0.95, 非癌症患 者因对这试验呈阳性反应的概率为 0.01, 被试验者患有癌症的概率为 0.005。若某人对试验 呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率 解：设 A=癌症患者，则A=非癌症患者，由已知条件，显然有： ( )0.005, ( )0.995,P AP A 设B=对试验呈阳性反应，由题意， 又可得： ()0.95, ()0.01,P B AP B A 因此根据贝叶斯公式，所求概率为： 294 95 )()()()( )()( )()( )( )( )( )( ABPAPABPAP ABPAP BAPABP ABP BP ABP BAP 1.22 仓库中有 10 箱同一规格的产品, 其中 2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂 生产, 三厂产品的合格率分别为 95%; 90% 和 96%. (1) 求该批产品的合格率; (2) 从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是