近世代数课件-3.5子环、环的同态.ppt

近世代数(AbstractAlgebra),2019/12/3,数学与计算科学学院,近世代数,代数系统（带有运算的集合）,1、研究其子系统、商系统,（从内部入手）,（从外部入手）,2、研究其同态和同构,子系统：子群、子环、子域商系统：商群、商环、商域,3.5：子环、环的同态,2019/12/3,数学与计算科学学院,教学目的：,3.5：子环、环的同态,（1）掌握子环（子除环，子整环，子域）的定义及其等价条件；,（2）掌握环的同态及其若干性质；,（3）理解并能使用“挖补定理”;,（4）掌握类比的数学思想.,2019/12/3,数学与计算科学学院,一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）：,下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群，即设想加群是基础，而乘法是环的“灵魂”。,甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。法国数学家拉普拉斯,类比是通过两类不同对象A,B间的某些属性的相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。,2019/12/3,数学与计算科学学院,在群论中,在环论中,2019/12/3,数学与计算科学学院,例1：一个环R至少包含两个子环R和。,例2：设R=Z,则是R的子环。,二、子环的存在性及其例子：,（平凡子环）,例3：设R=Mn(F)(域F上的全矩阵环），则是R的子环。,（因为，的元素可交换）,（子除环、子域）,2019/12/3,数学与计算科学学院,例4：设，。,可以验证，,例5：设。,则容易验证：,2019/12/3,数学与计算科学学院,例6：设。现定义的运算：,（1）容易验证，关于所定义的运算构成一个环。,（2）容易验证,令。,2019/12/3,数学与计算科学学院,定义：设和是两个环，则称和同态（同构），若满足,三、环的同态及其若干性质,（2）保持运算（保持加法和乘法运算）,此时记和的同态（同构）为：。,（1）存在满射（双射）；,2019/12/3,数学与计算科学学院,例7：设，,作。,容易验证是同态。,例8：设，。现定义的运算：,（1）可以验证，关于所定义的运算构成一个环。,（2）容易验证是同态。,2019/12/3,数学与计算科学学院,具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的结合律、交换律和分配律。,定理2（1.8,P22）：假定，都是集合A的代数运算，都是集合的代数运算，和同态，那么，（i）若适合第一分配律，也适合第一分配律；（ii）若适合第二分配律，也适合第二分配律。,定理1（1.8,P22）：假定，对于代数运算和来说，和同态，那么，（i）若适合结合律，也适合结合律；（ii）若适合交换律，也适合交换律。,2019/12/3,数学与计算科学学院,在群论中,在环论中,2019/12/3,数学与计算科学学院,由上面的讨论我们可以看出，经过了一个同态满射之后，环的单位元和交换律是可以保持的。,我们知道，若干普通计算方法在一个一般的环里不成立，它们要在有附加条件的环里才能成立。由3.2知，环里的三种非常重要附加条件是：交换律、单位元和零因子。,那么现在的问题是：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持呢？,2019/12/3,数学与计算科学学院,例7：设，,作。,（1）容易验证是同态。,（2）可以看出无零因子，而却有零因子，因为。,注：此例表明：，无零因子，但却有零因子。,反过来，结论又会如何呢？,即若，无零因子，是否有零因子呢？,2019/12/3,数学与计算科学学院,例8：设，。现定义的运算：,（1）容易验证，关于所定义的运算构成一个环。,作。,（2）容易验证是同态。,（3）可以看出无零因子，而却有零因子，因为对于，我们有。,注：此例表明：，有零因子，但却没有零因子。,2019/12/3,数学与计算科学学院,但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性质当然没有什么区别了，所以有：,上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射后不一定能保持的。,（除环、域）,（除环、域）,定理3：设和是两个环，并且，那么若是整环，则也是整环。,R,图1,图2,本节最后，我们介绍在环论中常用到的一个定理：挖补定理。,2019/12/3,数学与计算科学学院,定理4：(挖补定理）设是环的一个子环，且与环同构，即。又若，即同在里的余集无公共元素，则存在环，使得，。,2019/12/3,数学与计算科学学院,思路分析：,(1)构造；,(2)作到的对应关系并证明是双射；,(4)证明。,（只需证明原有的运算和新定义的运算是一致的）,2019/12/3,数学与计算科学学院,证明：令，。且在该同构之下，。的元素我们用来表示。这样，,（1）现在我们作一个新的集合：并规定一个法则：。,2019/12/3,数学与计算科学学院,（2）容易验证是个双射。,（3）利用这个双射在中定义运算：,容易证明，这些运算是的两个代数运算。,事实上，给定了，因而可在中找到唯一的，从而也可以找到唯一的。,综上，我们可以得到。,2019/12/3,数学与计算科学学院,.(我们只须证明原有的运算和新定义的运算是一致的即可）,假设上原有的运算为和，下证：,事实上，,（上所定义的加法运算）,（因为为同构，从而保持加法运算）,（因为为同构）,（由的定义）,2019/12/3,数学与计算科学学院,（因为为同构，从而保持乘法运算）,（由的定义）,（上所定义的乘法运算）,（因为为同构）,综上，。证毕,2019/12/3,数学与计算科学学院,例9：设，。现定义的运算：,（1）容易验证，关于所定义的运算构成一个环。,（2）容易验证是同态。,令。作。,又，因此由挖补定理知，,且。,注：在上例中，实际上就是把元素与整数完全等同起来，从而我们有,2019/12/3,数学与计算科学学院,定理4：(挖补定理）设是环的一个子环，且与环同构，即。又若，即同在里的余集无公共元素，则存在环，使得，。,最后我们再次回顾下“挖补定理”。,2019/12/3,数学与计算科学学院,回顾总结,（1）与群相类比，介绍了子环（子除环，子整环，子域）的定义及其等价条件，并给出了若干