2019版高三数学一轮复习 3.8应用举例课件 .ppt

第八节应用举例,【知识梳理】1.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高).(2)S=bcsinA=.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).,2.实际应用中的常用术语,【考点自测】1.(思考)给出下列命题：面积公式中S=bcsinA=absinC=acsinB，其实质就是面积公式S=ah=bh=ch(h为相应边上的高)的变形;俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0,;方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系;,方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0,).其中正确的是()A.B.C.D.,【解析】选B.正确.如S=absinC=ah(h=bsinC)，h即为边a上的高.错误.俯角是视线与水平线所构成的角.正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的.正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为0,).,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【解析】选D.由条件可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.,3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB等于()【解析】选B.因为DACACBD603030，所以ACCDa，在RtABC中，ABACsin60a.,4某工程中要将一长为100m,倾斜角为75的斜坡，改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()【解析】选A.设坡底需加长xm，由正弦定理得解得x=100.,5.(2014绍兴模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度)的方向前进.【解析】设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且由正弦定理得又0BAC60，所以BAC30.答案：30,6.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛的距离是nmile.【解析】画出示意图如图，由题意可知，CAB=60，CBA=75,所以C=45，由正弦定理得所以答案：,考点1测量距离问题【典例1】(1)(2014宁波模拟)如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,在河岸选取相距40米的C,D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60,则A,B间距离为米.,(2)(2014泰安模拟)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?,【解题视点】(1)观察AB所在的三角形,根据已知条件求出有关的边角再求解.(2)已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.,【规范解答】(1)由已知得，BCD=30+60=90,又因为BDC=45,CD=40米，所以BD=40米，在ADC中，ADC=60+45=105,所以CAD=180-105-30=45，由正弦定理，得在ADB中，由余弦定理，得AB2=AD2+DB22ADDBcosADB所以AB=(米).答案：,(2)由题意知AB5(3)海里，因为DAB=90-45=45，DBA=90-60=30，所以ADB=180-(45+30)=105，在ADB中，由正弦定理，得所以=(海里)，,又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60，所以在DBC中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC所以CD=30(海里)，所以需要的时间t=1(小时)，即救援船到达D点需要1小时.,【互动探究】本例(2)中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由例题解析可求得CD=30海里,由得v45.即救援船的最小速度为45海里/小时.,【易错警示】注意开方本例第(1)题在利用余弦定理时,很容易忽略对最后的结果开方,从而导致结果错误,在应用余弦定理时一定要注意对最后的结果开方.,【规律方法】距离问题的类型及解法(1)类型:测量距离问题分为三种类型:两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.,解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,【变式训练】(2014温州模拟)如图,某地举行烟花燃放表演,观众席设置在地面上线段OA,OB处,烟花燃放点在地面C处,现测得CBO=30,BOC=OAC=45,CO=50米,若点A,B离点C的距离相等,则观众席OA的长度等于米.,【解析】设AC=BC=x，由正弦定理则即所以x=50.又OAC=45,OC=50,AC=50,所以即所以AOC=90,所以OA=OC=50.答案：50,【加固训练】1.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在A,B之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是(),【解析】选A.如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行到D处,在BCD中,BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,两船相距S千米,根据余弦定理可得,DC2=BD2+BC2-2BCBDcosCBD=(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos120,即S2=28x2-20 x+100所以当时,S2最小,从而S也最小,即航行分钟时两船相距最近.故选A.,2.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为海里/分钟.,【解析】由已知得ACB45，B60，由正弦定理得所以所以海轮航行的速度为(海里/分钟).答案：,考点2测量高度、角度问题【典例2】(1)(2014吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度为m.,(2)在海岸A处,发现北偏东45方向,距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?,【解题视点】(1)点A与点B,C,D不在同一个平面内,且AB平面BCD,故本题的数学模型为三棱锥,根据已知条件和所求三角形的联系求解.(2)注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.,【规范解答】(1)如图,设电视塔AB高为xm,则在RtABC中,由ACB=45,得BC=x.在RtADB中,ADB=30,所以BD=x.在BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120,即(x)2=x2+402-2x40cos120,解得x=40,所以电视塔高为40m.答案:40,(2)设缉私船用th在D处追上走私船,如图,则有CD=10t,BD=10t,在ABC中,因为AB=-1,AC=2,BAC=120,所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC所以BC=,在ABC中,由正弦定理,得所以所以ABC=45,所以BC与正北方向垂直.因为CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得所以所以BCD=30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.,【规律方法】1.求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.,2.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒:方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【变式训练】(2014大连模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得BCD=15,BDC=135,CD=30m,并在点C处测得塔顶A的仰角为30,则塔高AB为(),【解析】选D.在BCD中，CBD180-15-13530，由正弦定理，得所以在RtABC中，ABBCtanACB30tan3010(m).,【加固训练】1.地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米,【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为,在O点望高塔仰角为b.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即根据倍角公式有,在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为即根据诱导公式有,联立得H=90,h=40.即两座塔的高度为40米,90米,故选B.,2.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75方向前进,若侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10 x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos120,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得解得所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角的正弦值为.,考点3三角形的面积公式的应用【考情】与三角形的面积有关的问题是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现,考查面积的计算、最值,根据面积求边、角等问题.,高频考点通关,【典例3】(1)(2013新课标全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2，则ABC的面积为()(2)(2014三亚模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，若ABC的面积等于，则a=，b=.,【解题视点】(1)先由正弦定理求出边c,再由面积公式求解.(2)根据余弦定理及面积构造含有a,b的方程组求解.,【规范解答】(1)选B.因为所以由正弦定理得解得所以三角形的面积为因为所以选B.,(2)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4，又因为ABC的面积等于，即absinC，所以ab4.由解得答案：22,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】1.(2014丽水模拟)在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，则BC的长为()【解析】选A.S=ABACsin60=所以AC=1，所以BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=3，所以BC=.,2.(2014厦门模拟)若ABC中，b=3，B=，则该三角形面积的最大值为.【解析】由b=3，B=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac，所以ac9，当a=c=3时，取“=”，所以所以SABC的最大值为当a=b=c=3时取得.答案：,3.(2014嘉兴模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且c=b+1=a+2，C=2A,则ABC的面积等于_.,【解析】由题意知b=c-1,a=c-2，又由正弦定理得,得又cosA=所以整理得解得c=6.,故b=5,a=4,因此故答案：,【加固训练】1.(2011福建高考)若ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于.,【解析】在ABC中，由面积公式，得S=BCCAsinC=2ACsin60所以AC=2,再由余弦定理，得AB2BC2+AC22ACBCcosC=22+22222=4，所以AB=2.答案：2,2.(2014南昌模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则ABC的面积等于.【解析】由余弦定理，得又0A，所以A=.又所以bc=8.所以答案：,3.(2012江西高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA.(2)若a=3，ABC的面积为求b，c.,【解析】(1)3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC，3cosBcosC-3sinBsinC=-1，3cos(B+C)=-1，cos(-A)=则cosA=(2)由(1)得sinA=由面积可得bc=6，则根据余弦定理则b2+c2=13，两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.,【规范答题5】三角形面积公式的应用【典例】(14分)(2013新课标全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,