随机变量及其分布1-3节.ppt

2019/12/3,1,一、随机变量的概念二、离散随机变量(超几何分布、二项分布泊松分布)三、连续随机变量(均匀分布、指数分布)四、随机变量的分布函数,第二章,随机变量及其分布,基本内容：,2019/12/3,2,第二章,许多随机试验的样本空间，,可用数量直接表示.,引例：,(1)投掷一颗骰子.,(2)某电话总机在1分钟内收到的呼叫次数.,第一节随机变量的概念,2019/12/3,3,但是有些随机试验的样本空间并不是数量化的,而是表现为某种属性.,(3)投掷一枚质量均匀的硬币.,R,这种对应关系在数学上理解为定义一种实值函数.,2019/12/3,4,引例(1).掷骰子试验,令,X(i)=i,(i=1,2,3,4,5,6),则X为定义在,上的单值实函数.,引例(3).投硬币试验,令,则Y为定义在,上的单值实函数.,通常称定义在,上的单值实函数X，Y为随机变量.,“骰子的点数不超过3”这一事件,“出现正面朝上”这一事件,可用X3来表示;,可用Y=1表示.,2019/12/3,5,定义.,设随机试验E的样本空间为,若对于每,一个样本点,变量X都有确定实数值与之对应,则X是定义在,上的实值函数,即,我们称,这样的变量X为随机变量.,常用大写字母X,Y,Z等或,希腊字母,等表示,而表示随机变量所取的值,时,通常采用小写字母x,y,z等.,注：,(1)随机变量是定义在样本空间,上的单值实函数;,这种对应关系可以为一对一或多对一的关系.,2019/12/3,6,(2)随机变量的取值依赖于样本点,因而随机变量取,随机变量X的分类：,1.离散随机变量:,取值只有有限个或可列无穷多个值,2.连续随机变量:,取值是在某个实数区间(有界或无界),(3)引入随机变量后，随机事件的发生可以用随机变,引例中,P(X2)=1/3,P(Y=1)=1/2.,各个值都有一定的概率.,它与普通函数不同,区别在,于它具有随机性.,量的取值表示.,因此随机事件概率的研究就转化为,随机变量取值概率的研究.,2019/12/3,7,可列无穷多个数值,若随机变量X只能取得有限个数值,第二节离散随机变量,第二章,（discreterandomvariable）,则称X为离散随机,变量.,一、离散随机变量的定义,或,例如:,X:“掷一颗骰子所出现的点数”（有限）,Y:“某电话总机在1分钟内收到的呼唤次数”(可列),Z:“灯泡寿命试验中的灯泡寿命”,2019/12/3,8,二、离散随机变量的概率分布(分布律),引例:一射手进行打靶练习(如图),规定射入区域,e1得2分,射入区域e2得1分,射入区域e3得0分.,射击一次所得分数X是一离散随机变量,它的可能取,值为0，1，2.,e3,e2,e1,尽管在射击前X取什么值是不知道的,但取各个值的概率是确定的(由射手的射击水平确定）,如:甲射手取各个值的概率如下表,2019/12/3,9,如：乙射手取各个值的概率如下表,由实践可知,对于不同的选手,随机变量X的所,有可能取值仍为0,1,2,但由于射手射击水平不同,取这些值的概率也就不一样.,因此我们要完整地了解离散随机变量,不仅要知,道它的所有可能取值,还需要知道它的所有可能,取值相应的概率,为此我们引入概率分布(分布律).,2019/12/3,10,定义.,或记为,概率分布pi的性质:,设X为离散随机变量,则称pi(i=1,2,)为X的概率分布或概率函数(分布律).,其所有可能取值为,且,2019/12/3,11,并且击中1环、2环、4环的概率,例1.,某人参加射击游戏，,射击的靶如图.,射击不会发生脱靶，,设每次,分别与各环的面积成正比，,求此人两次独立射击所,得环数的乘积的概率分布.,解：,随机试验的样本空间,设随机变量X表示此人两次射击所得环数的乘积,则,2019/12/3,12,分别为,每次射击“击中4环”、,“击中2环”，,“击中1环”的概率,由于两次射击是独立的，有,2019/12/3,13,随机变量X的概率分布,2019/12/3,14,随机变量X的所有可能取值为,例2.盒中装有5只注射针头,现从盒中任取2只,其中3只新的,2只旧的,以X表示取到的新针头数,求,X的概率分布.,解：,(k=0,1,2),那么随机变量X的概率分布为,0，1，2.,2019/12/3,15,超几何分布二项分布泊松分布,第二章,第三节,2019/12/3,16,(1)在不放回抽样的方式下,设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,n),那么X的概率分布为,设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则,(2)在放回抽样的方式下,设随机变量Y表示取出的次品数(Y=0,1,2,n),那么Y的概率分布为,2019/12/3,17,定义.设随机变量X的概率分布为,随机变量X服从超几何分布,其中n,M,N是分布的参数.,1.超几何分布(Hypergeometricdistribution),其中n,M,N都是正整数，,且nN,MN;,则称,记作XH(n,M,N),2019/12/3,18,例3.,已知20个产品中有5个一等品，,若从中随机,取出8个，,(2)其中一等品数X不多于3个的概率.,求：,(1)其中一等品数X的概率分布；,一等品数X服从超几何分布，,解:,随机变量X的可能取值为,据题意,即,(1),0,1,2,3,4,5,2019/12/3,19,所以一等品数X的概率分布：,(2)按概率可加性得所求概率为,2019/12/3,20,定义.设随机变量X的概率分布为,则称随机变量X服,其中n,p为分布的参数.,二项分布B(1,p)称为“0-1”分布.,随机变量只可能取两个数值X=0,1,2.二项分布（Binomialdistribution）,其中n为正整数，,从二项分布，,记作XB(n,p),当n=1时,此时,且概率,函数为,2019/12/3,21,例4.,从甲地飞往乙地，,有两种飞机可供选择，,一种是有两个发动机的，,另一种是有四个发动机的.,设每个发动机出故障的概率都等于p,且各发动机,是否出故障是相互独立的，,无论哪种飞机都必须至,少有半数或半数以上的发动机在正常工作才能保证,飞机从甲地安全到达乙地.,为了您的安全，,您将选择,哪一种飞机从甲地飞往乙地？,解：,设随机变量X表示正常工作的发动机数,二项分布.,它服从,2019/12/3,22,对于有四个发动机的飞机来说,安全飞行的概率为,对于有两个发动机的飞机来说，,安全飞行的概率为,2019/12/3,23,比较,与,取决于p值.,当,选择有四个发动机的飞机,即,则有,解得,2019/12/3,24,所以当p1/3时,我们应选择有两个发动机的飞机.,2019/12/3,25,出正确判断的概率均为p，,求陪审团作出正确判断,例5.,某陪审团的审判由12名审判员参加.,为宣判,被告有罪,必须其中至少8名陪审员投他有罪的票.,假设陪审员的判断是相互独立的,且每位陪审员作,的概率.,解：,设X为陪审团中作出正确判断的陪审员人数,则,事件A表示陪审团作出正确判断,事件B表示被告的确有罪.,如果被告的确有罪,陪审团作出正确判断的概率是,2019/12/3,26,则由全概率公式,陪审团作出正确判断的概率是,如果被告无罪,陪审团作出正确判断的概率是,2019/12/3,27,函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数，即,结论：,数量n远小于N,当N充分大时，,超几何分布H(n,M,N)的概率,因此,当一批产品的总量N很大，,则不放回抽样与放回抽样,而抽取样品的,没有多大差异.,2019/12/3,28,放回地抽取10件样品共有基本事件数,设随机变量X1表示“取出的10件样品中的次品数m”,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.,例8.,设一批产品共100件,其中共有95件正品和,5件次品,按放回抽样的方式从这批产品中抽取10,件样本,解：,X1=m(m=1,2,n),回顾第一章的例子,2019/12/3,29,基本事件的,相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.,例9.,上题按不放回抽样方式从这批产品中抽取,10件样品,解：,从这批产品中不放回抽样抽取10件样品,总数为,设随机变量X2表示“取出的10件样品中的次品数”,X1=m(m=1,2,n),2019/12/3,30,是单位时间内随机事件的平均发生率(次数).,其中,是分布的参数.,3.泊松分布(Poissonsdistribution),定义.设随机变量X的概率分布为,则称随机变量X服从泊松分布，,记作,泊松分布是由法国数学家S.D.Poisson(1983)提出.,它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数,而,参数,2019/12/3,31,泊松分布在生物、医学、工业及公共事业等领域,例如：,2.汽车站台一天的侯客人数；,4.某公路段上一天中出事故的次数；,3.某电话交换台在1分钟内收到的呼唤次数；,1.某服务设施在一定时间内到达的人数；,5.自然灾害发生的次数.,有着广泛的应用.,2019/12/3,32,当n充分大,p很小即np比较适中时，,B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布,的概率,二项分布,泊松分布,可以看作是二项分布B(n,p)当,时的极限分布.,即,函数,2019/12/3,33,例6.,已知某地区的人群中患某种病的概率为0.001,试求在检查5000人中至少有两人患此病的概率.,设随机变量X表示患此病的人数,解:,X服从二项,分布,由于n=5000较大,而p=0.001较小,np=5,病的人数近似服从泊松分布P(5),所以患此,检查5000人中至少2人,患病的概率为,2019/12/3,34,如果直接根据二项分布求解，得,所求结果与泊松分布结果近似相等.,2019/12/3,35,例7.,若抽样方式是：(1)不放回抽样；(2)放回抽样.,设一批产品共2000个，其中40个次品.,随机抽取100个样品,求样品中次品数X的概率分布,解:,超几何分布H(100,40,2000),其概率函数：,由于这批产品总量N=2000很大,n=100比N较小(n/N=5%),因此可近似等于二项分布,样品中的次品数X1服从,(1)不放回抽样时,而抽取的样品量,2019/12/3,36,(2)放回抽样