高考数学 5.2 等差数列及其前n项和课件.ppt

第二节等差数列及其前n项和,【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)等差数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于_,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,一般用字母d表示;定义的表达式为:_.,同一个常数,公差,an+1-an=d(nN*),(2)等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=_.(3)等差数列的通项公式:若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_.,a1+(n-1)d,(4)等差数列的前n项和公式:,2.必备结论教材提炼记一记(1)通项公式的推广:an=am+_(n,mN*).(2)等差数列的性质:若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则_;k+l=2m_(k,l,mN*).若an,bn是等差数列,则pan+qbn(nN*)是等差数列.Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,_成等差数列.,(n-m)d,ak+al=am+an,ak+al=2am,S3m-S2m,两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差数列的_条件.(3)等差数列的增减性:d0时为_数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.,充分,递增,递减,3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:整体代入法、待定系数法,等差数列的判定方法,求等差数列前n项和的最大(小)值的方法等.(2)数学思想:函数与方程、分类讨论、化归与转化.,【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.(),(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(),【解析】(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.(2)正确.如果数列an为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意nN*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根据定义数列an为等差数列.(3)正确.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;da1an.由等差数列的公差为d知,an-an-1=d,所以a1an-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0,即所以则n9,当n9时，an0，同理可得n10时，an0,设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解析】(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36,解得d=2或d=5(舍去).所以(2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k1)(k+1)，所以(2m+k1)(k+1)=65，由m,kN*知，2m+k1k+11，故所以,【加固训练】1.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6,【解析】选C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列an为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为所以m(a1+2)=0，因为m0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.方法二：因为Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差d=am+1-am=1,由由得代入可得m=5.,方法三：因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn,所以数列也为等差数列.所以解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,2.数列an满足an+1+an=4n-3(nN*).(1)若an是等差数列,求其通项公式.(2)若an满足a1=2,Sn为an的前n项和,求S2n+1.,【解析】(1)因为an+1+an=4n-3,所以an+2+an+1=4n+1,两式相减得an+2-an=4.因为an是等差数列,设公差为d,所以d=2.又因为a1+a2=1,即a1+a1+d=1,所以所以,(2)因为a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1.又因为an+2-an=4,所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4,所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5.所以S2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(a2+a4+a2n),考点2等差数列的判定与证明【典例2】(1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),则下列命题中不正确的是()A.an+1-an是等差数列B.bn+1-bn是等差数列C.an-bn是等差数列D.an+bn是等差数列,(2)(2015上海模拟)已知数列an,对于任意n2,在an-1与an之间插入n个数,构成的新数列bn成等差数列,并记在an-1与an之间插入的这n个数的算术平均值为cn-1.若an=求c1,c2,c3的值;在的条件下是否存在常数,使cn+1-cn是等差数列?如果存在,求出满足条件的;如果不存在,请说明理由.,【解题提示】(1)根据等差数列的定义,逐一验证答案后作出判断.(2)先分别求出a1,a2,a3,a4的值,再由已知分别解出c1,c2,c3的值;根据的结论,求出cn-1,再根据(cn+1-cn)-(cn-cn-1)为常数,求的值,视的值是否存在则得结论.,【规范解答】(1)选D.等差数列的通项公式是关于n的一次式形式的函数(一次项系数可以为0).而an+1-an=2n+3,bn+1-bn=2n,an-bn=3n+1,故A、B、C均正确.(2)由题意知a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,在-2,1之间插入两个数,使之成为等差数列,则可得公差为1.故在a1与a2之间插入-1,0,得c1=在a2与a3之间插入2,3,4,得c2=3;在a3与a4之间插入6,7,8,9,得c3=,在an-1与an之间插入n个数构成等差数列，则假设存在使得cn+1-cn是等差数列，则(cn+1-cn)-(cn-cn-1)=cn+1-cn-(cn-cn-1)=为常数，所以=1.即当=1时，cn+1-cn是等差数列.,【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.,(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列.提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断.,【变式训练】(2015南昌模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列an的通项及前n项和公式.(2)设数列bn的通项公式为bn=问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)设公差为d,由题意得解得a1=1,d=2，故an=2n-1,Sn=n2.(2)由(1)知要使b1,b2,bm成等差数列，必须2b2=b1+bm,即整理得,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.,【加固训练】已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)设数列bn的通项bn=证明数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.,【解析】(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10.,(2)由(1)得则故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列,所以,考点3等差数列性质的应用知考情对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及,有时以选择题、填空题出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.,明角度命题角度1:根据等差数列的性质求基本量【典例3】(2015广州模拟)等差数列an前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51【解题提示】利用等差数列的前n项和公式及性质求解.,【规范解答】选A.由于S17=17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.,命题角度2:根据等差数列的性质求前n项和的最值【典例4】(2015乌鲁木齐模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130,S130,S130,S130，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.,2.函数法：利用等差数列的前n项和(d0),Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,借助二次函数的图象或配方法解决最值问题，注意nN*.,通一类1.(2015济南模拟)在等差数列an中，a2+a6=则=()【解析】选D.因为a2+a6=所以所以,2.(2015成都模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160.由得a9+a80,则又S8S7S6,a8a70,所以a3a4,所以a3=9,a4=13,所以所以所以通项an=4n-3.,(2)由(1)知a1=1,d=4,所以=所以当n=1时，Sn最小，最小值为S1=a1=1.,(3)由(2)知Sn=2n2-n,所以所以因为数列bn是等差数列，所以2b2=b1+b3,即所以2c2+c=0,所以或c=0(舍去)，故,巧思妙解7巧用等差数列的性质求前n项和【典例】(2015日照模拟)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为.,【常规解法】记等差数列an的前n项和为Sn,公差为d,由已知得根据等差数列的前n项和公式得由可得把代入得,化简得d=0,再由得所以答案：60,【巧妙解法一】由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列，可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即答案：60,【巧妙解法二】由得所以是以a1为首项，为公差的等差数列,从而成等差数列，所以所以答案：60,【方法指导】1.熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.,2.应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若m+n=p